第60講、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（學(xué)生版）

②點在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．（2）常見圓的切線方程過圓上一點的切線方程是；過圓上一點的切線方程是．題型四：切點弦問題例10．（2024·浙江·高三浙江省富陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）從拋物線上一點作圓：得兩條切線，切點為，則當(dāng)四邊形面積最小時直線方程為.例11．（2024·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓，過直線上任意一點，作圓的兩條切線，切點分別為兩點，則的最小值為.例12．（2024·北京·高三強(qiáng)基計劃）如圖，過橢圓上一點M作圓的兩條切線，過切點的直線與坐標(biāo)軸于P，Q兩點，O為坐標(biāo)原點，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．前三個答案都不對變式23．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知直線與圓，過直線上的任意一點向圓引切線，設(shè)切點為，若線段長度的最小值為，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．變式24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（

）A． B． C．1 D．變式25．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若圓關(guān)于直線對稱，動點在直線上，過點引圓的兩條切線、，切點分別為、，則直線恒過定點，點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．變式26．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，點M在拋物線：上運(yùn)動，過點引直線與圓相切，切點分別為，則下列選項中能取到的值有（

）A．2 B． C． D．變式27．（2024·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）過拋物線上一點作圓的切線，切點為、，則當(dāng)四邊形的面積最小時，直線的方程為（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】過圓外一點作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結(jié)論．題型五：圓上的點到直線距離個數(shù)問題例13．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┤魣A上有四個不同的點到直線的距離為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例14．（2024·陜西咸陽·高三武功縣普集高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓C：上恰好存在2個點，它到直線的距離為1，則R的一個取值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點至少有2個，則a的取值范圍為()A． B．C． D．變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若圓上恰有2個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式29．（1991·全國·高考真題）圓上到直線的距離為的點共有A．個 B．個 C．個 D．個變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若圓上僅有4個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】臨界法題型六：直線與圓位置關(guān)系中的最值（范圍）問題例16．（2024·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點在圓運(yùn)動，若對任意點，在直線上均存在兩點，使得恒成立，則線段長度的最小值是（

）A． B． C． D．例17．（2024·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓，點在直線上，過點作直線與圓相切于點，則的周長的最小值為.例18．（2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為4，是邊上的一動點，交于點，且直線平分正方形的周長，當(dāng)線段的長度最小時，點到直線的距離為.

變式31．（2024·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點P在圓上，則面積的取值范圍是.變式32．（2024·上海徐匯·高三上海民辦南模中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則的最小值為.變式33．（2024·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓與直線相切，函數(shù)過定點，過點作圓的兩條互相垂直的弦，則四邊形面積的最大值為.變式34．（2024·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預(yù)測）已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值是．變式35．（2024·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，直線為上的動點，過點作的切線，切點為，當(dāng)最小時，直線的方程為.變式36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，點A為直線上的動點，過點A作直線與相切于點P，若，則的最小值為.變式37．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預(yù)測）若直線與相交于點，過點作圓的切線，切點為，則|PM|的最大值為．變式38．（2024·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象恒過定點A，圓上兩點，滿足，則的最小值為．變式39．（2024·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓C：與直線l：交與A，B兩點，當(dāng)|AB|最小值時，直線l的一般式方程是.變式40．（2024·北京西城·高三北京市回民學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知圓與直線相交于兩點，則的最小值是.變式41．（2024·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知分別是圓，圓上動點，是直線上的動點，則的最小值為．變式42．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足：，則的取值范圍是．變式43．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┮阎菆A上兩點，若，則的最大值為.變式44．（2024·廣東廣州·高三廣州市白云中學(xué)?？计谥校┮阎狿是直線上的動點，是圓的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為．變式45．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，O為坐標(biāo)原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式46．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點，是的邊上的兩個定點，是邊上的一個動點，當(dāng)在何處時，最大？問題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點時最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點，的坐標(biāo)分別是，，是軸正半軸上的一動點.若的最大值為，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．3 C．或 D．2或4變式47．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）已知直線與軸和軸分別交于A，兩點，以點A為圓心，2為半徑的圓與軸的交點為（在點A右側(cè)），點在圓上，當(dāng)最大時，的面積為（

）A． B．8 C． D．變式48．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓C：，圓是以圓上任意一點為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A，B兩點，則當(dāng)最大時，（

）A．1 B． C． D．2變式49．（2024·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥校┮阎cP在圓上，點，，則錯誤的是（

）A．點P到直線AB的距離小于10 B．點P到直線AB的距離大于2C．當(dāng)最小時， D．當(dāng)最大時，變式50．（2024·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械谝恢袑W(xué)?？计谀┑聡鴶?shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的“最大視角原理”：對定點、和在直線上的動點，當(dāng)與的外接圓相切時，最大．若，，是軸正半軸上一動點，當(dāng)對線段的視角最大時，的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【解題方法總結(jié)】直線上的點與圓上的點的最近或最遠(yuǎn)距離問題，這樣的題目往往要轉(zhuǎn)化為直線上的點與圓心距離的最近和最遠(yuǎn)距離再加減半徑長的問題．題型七：圓與圓的位置關(guān)系例19．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線l的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例20．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知直線是圓的切線，并且點到直線的距離是2，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條例21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，則與的位置關(guān)系是（

）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離變式51．（2024·全國·高三專題練習(xí)）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式52．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條變式53．（2024·甘肅蘭州·蘭州五十九中校考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點A(－1,0)，B(1,2)，在圓C上存在點P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，則點P的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式54．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點，到直線的距離分別是1與4，則滿足條件的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條變式55．（2024·湖南常德·常德市一中?？级＃┮阎獔A和兩點，若圓C上存在點P，使得，則a的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3變式56．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（

）A．3 B．8 C．4 D．9【解題方法總結(jié)】已知兩圓半徑分別為，兩圓的圓心距為，則：（1）兩圓外離；（2）兩圓外切；（3）兩圓相交；（4）兩圓內(nèi)切；（5）兩圓內(nèi)含；題型八：兩圓的公共弦問題例22．（2024·天津和平·耀華中學(xué)?？级＃﹫A與圓的公共弦所在的直線方程為．例23．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若圓與圓交于P，Q兩點，則直線PQ的方程為.例24．（2024·天津濱海新·統(tǒng)考三模）已知圓：與圓：，若兩圓相交于A，B兩點，則變式57．（2024·天津和平·耀華中學(xué)校考一模）圓與圓的公共弦的長為．變式58．（2024·浙江麗水·高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知圓與圓相交于兩點，則.變式59．（2024·吉林通化·高三梅河口市第五中學(xué)校考期末）已知圓與圓相交于兩點，則.【解題方法總結(jié)】兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得．題型九：兩圓的公切線問題例25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）點，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個滿足條件的直線l的方程：.例26．（2024·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）寫出與圓和都相切的一條直線方程．例27．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程.變式60．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知圓與圓有三條公切線，則．