《等邊三角形》練習試題附答案

...wd......wd......wd...《等邊三角形》練習題1．〔2012?深圳〕如圖，：∠MON=30°，點A1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，假設OA1=1，則△A6B6A7的邊長為〔〕A．6B．12C．32D．642．〔2012?涼山州〕如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中∠α+∠β的度數是〔〕A．180°B．220°C．240°D．300°3．〔2012?荊門〕如圖，△ABC是等邊三角形，P是∠ABC的平分線BD上一點，PE⊥AB于點E，線段BP的垂直平分線交BC于點F，垂足為點Q．假設BF=2，則PE的長為〔〕A．2B．2C．D．34．〔2011?南平〕邊長為4的正三角形的高為〔〕A．2B．4C．D．25．〔2010?隨州〕如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，當PA=CQ時，連PQ交AC邊于D，則DE的長為〔〕A．B．C．D．不能確定6．〔2009?攀枝花〕如以以下圖，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC、AB上，且BD=AE，AD與CE交于點F，則∠DFC的度數為〔〕A．60°B．45°C．40°D．30°7．〔2007?綿陽〕如圖，在正方形ABCD的外側，作等邊△ADE，BE、CE分別交AD于G、H，設△CDH、△GHE的面積分別為S1、S2，則〔〕A．3S1=2S2B．2S1=3S2C．2S1=S2D．S1=2S28．〔2007?婁底〕如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影局部的面積為〔〕A．4cm2B．2cm2C．3cm2D．3cm29．〔2006?天津〕如圖，A、C、B三點在同一條直線上，△DAC和△EBC都是等邊三角形，AE、BD分別與CD、CE交于點M、N，有如下結論：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正確結論的個數是〔〕A．3個B．2個C．1個D．0個10．〔2006?南寧〕如圖是一個等邊三角形木框，甲蟲P在邊框AC上爬行〔A，C端點除外〕，設甲蟲P到另外兩邊的距離之和為d，等邊三角形ABC的高為h，則d與h的大小關系是〔〕A．d＞hB．d＜hC．d=hD．無法確定11．〔2007?南充〕一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40°的方向行駛40海里到達B地，再由B地向北偏西20°的方向行駛40海里到達C地，則A、C兩地相距〔〕A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里12．〔2006?曲靖〕如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，將△BCD沿CD折疊，B點恰好落在AB的中點E處，則∠A等于〔〕A．25°B．30°C．45°D．60°13．〔2011?茂名〕如圖，△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=_________度．14．〔2008?日照〕如圖，C為線段AE上一動點〔不與點A，E重合〕，在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的結論有_________．〔把你認為正確的序號都填上〕15．〔2005?揚州〕如圖，將邊長為4的等邊△ABC，沿x軸向左平移2個單位后，得到△A′B′C′，則點A′的坐標為_________．16．〔2004?茂名〕如圖，正三角形A1B1C1的邊長為1，△A1B1C1的三條中位線組成△A2B2C2，△A2B2C2的三條中線又組成△A3B3C3，…，如此類推，得到△AnBnCn．則：〔1〕△A3B3C3的邊長a3=_________；〔2〕△AnBnCn的邊長an=_________〔其中n為正整數〕．17．〔2006?嘉峪關〕△ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，則△DEF為_________三角形．18．〔1999?廣州〕如圖，以A，B兩點為其中兩個頂點作位置不同的等邊三角形，最多可以作出_________個．19．如以以下圖，P是等邊三角形ABC內一點，將△ABP繞點B順時針方向旋轉60°，得到△CBP′，假設PB=3，則PP′=_________．20．〔2009?浙江〕如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，AD⊥BC于點D，以AD為一邊向右作正三角形ADE．〔1〕求△ABC的面積S；〔2〕判斷AC、DE的位置關系，并給出證明．21．〔2009?遼陽〕如圖，△ABC為正三角形，D為邊BA延長線上一點，連接CD，以CD為一邊作正三角形CDE，連接AE，判斷AE與BC的位置關系，并說明理由．22．〔2008?紹興〕附加題，學完“幾何的回憶〞一章后，教師布置了一道思考題：如圖，點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q．求證：∠BQM=60度．〔1〕請你完成這道思考題；〔2〕做完〔1〕后，同學們在教師的啟發(fā)下進展了反思，提出了許多問題，如：①假設將題中“BM=CN〞與“∠BQM=60°〞的位置交換，得到的是否仍是真命題②假設將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°③假設將題中的條件“點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上〞改為“點M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上〞，是否仍能得到∠BQM=60°…請你作出判斷，在以下橫線上填寫“是〞或“否〞：①_________；②_________；③_________．并對②，③的判斷，選擇一個給出證明．23．〔2007?河北〕在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點G．一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經過點B．〔1〕在圖1中請你通過觀察、測量BF與CG的長度，猜測并寫出BF與CG滿足的數量關系，然后證明你的猜測；〔2〕當三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點D，過點D作DE⊥BA于點E．此時請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜測并寫出DE+DF與CG之間滿足的數量關系，然后證明你的猜測；〔3〕當三角尺在〔2〕的根基上沿AC方向繼續(xù)平移到圖3所示的位置〔點F在線段AC上，且點F與點C不重合〕時，〔2〕中的猜測是否仍然成立〔不用說明理由〕．24．〔2004?蘇州〕：如圖，正△ABC的邊長為a，D為AC邊上的一個動點，延長AB至E，使BE=CD，連接DE，交BC于點P．〔1〕求證：DP=PE；〔2〕假設D為AC的中點，求BP的長．25．〔2002?黑龍江〕等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1、h2、h3，△ABC的高為h．“假設點P在一邊BC上〔如圖1〕，此時h3=0，可得結論h1+h2+h3=h〞請直接應用上述信息解決以下問題：〔1〕當點P在△ABC內〔如圖2〕，〔2〕點P在△ABC外〔如圖3〕這兩種情況時，上述結論是否還成立假設成立，請給予證明；假設不成立，h1、h2、h3與h之間的關系若何請寫出你的猜測，不需證明．26．〔2000?河南〕如圖，點C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形．〔1〕當AC、CD、DB滿足若何的關系時，△ACP∽△PDB；〔2〕當△ACP∽△PDB時，求∠APB的度數．27．〔2010?雅安〕如圖，點C是線段AB上除點A、B外的任意一點，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN．〔1〕求證：AE=BD；〔2〕求證：MN∥AB．28．〔2005?臨沂〕如圖，AD和BC交于點O，且△OAB和△OCD均為等邊三角形，以OD和OB為邊作平行四邊形ODEB，連接AC、AE和CE，CE和AD相交于點F．求證：△ACE為等邊三角形．29．：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點O，點M、N分別是線段AD、BE的中點．〔1〕求證：AD=BE；〔2〕求∠DOE的度數；〔3〕求證：△MNC是等邊三角形．30．如圖，等邊△ABC的邊長為10，點P是邊AB的中點，Q為BC延長線上一點，CQ：BC=1：2，過P作PE⊥AC于E，連PQ交AC邊于D，求DE的長《全等三角形》練習參考答案與試題解析1．C2．C3．C4．D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13．∠E=15度．14．①②③⑤．15．.16．a3=；△AnBnCn的邊長an=〔或21﹣n〕17．等邊三角形．18．2個．19PP′=3．20．解：〔1〕在正△ABC中，AD=4×，〔2分〕∴S=BC×AD=×4×2=4．〔3分〕〔2〕AC、DE的位置關系：AC⊥DE．〔1分〕在△CDF中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，〔2分〕∴∠CFD=180°﹣∠C﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．∴AC⊥DE．〔3分〕〔注：其它方法酌情給分〕．21．解：AE∥BC．理由如下：∵△ABC與△CDE為正三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴∠B=∠EAC，∵∠B=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC．22．請你作出判斷，在以下橫線上填寫“是〞或“否〞：①是；②是；③否．并對②，③的判斷，選擇一個給出證明．〔1〕證明：在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．〔2〕①是；②是；③否．②的證明：如圖，在△ACM和△BAN中，，∴△ACM≌△BAN，∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°．③的證明：如圖，在Rt△ABM和Rt△BCN中，，∴Rt△ABM≌Rt△BCN，∴∠AMB=∠BNC．又∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．23解：〔1〕BF=CG；證明：在△ABF和△ACG中∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC∴△ABF≌△ACG〔AAS〕∴BF=CG；〔2〕DE+DF=CG；證明：過點D作DH⊥CG于點H〔如圖2〕∵DE⊥BA于點E，∠G=90°，DH⊥CG∴四邊形EDHG為矩形∴DE=HG，DH∥BG∴∠GBC=∠HDC∵AB=AC∴∠FCD=∠GBC=∠HDC又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC∴△FDC≌△HCD〔AAS〕∴DF=CH∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；〔3〕仍然成立．證明：過點D作DH⊥CG于點H〔如圖3〕∵DE⊥BA于點E，∠G=90°，DH⊥CG∴四邊形EDHG為矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD〔AAS〕∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．24．〔1〕證明：過點D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC為正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．∴△CDF為正三角形．∴DF=CD．又BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．∵在△DFP和△EBP中，∵，∴△DFP≌△EBP〔AAS〕．∴DP=PE．〔2〕解：由〔1〕得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．∵D為AC中點，DF∥AB，∴BF=BC=a．∴BP=BF=a．25．解：〔1〕當點P在△ABC內時，結論h1+h2+h3=h仍然成立．理由如下：過點P作BC的平行線，交AB于G，交AC于H，交AM于N，則可得結論h1+h2=AN．∵四邊形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，即h1+h2+h3=h．〔2〕當點P在△ABC外時，結論h1+h2+h3=h不成立．此時，它們的關系是h1+h2﹣h3=h．理由如下：過點P作BC的平行線，與AB、AC、AM分別相交于G、H、N，則可得結論h1+h2=AN．∵四邊形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h，即h1+h2﹣h3=h．26．解：〔1〕當CD2=AC?DB時，△ACP∽△PDB，∵△PCD是等邊三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°，∴∠ACP=∠PDB=120°，假設CD2=AC?DB，由PC=PD=CD可得：PC?PD=AC?DB，即=，則根據相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB〔2〕當△ACP∽△PDB時，∠APC=∠PBD∵∠PDB=120°∴∠DPB+∠DBP=60°∴∠APC+∠BPD=60°∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°即可得∠APB的度數為120°．27．證明：〔1〕∵△ACD和△BCE是等邊三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，在△ACE與△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB，∴AE=BD；〔2〕∵由〔1〕得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM=∠CDN，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三點共線，∴∠DCN=60°，在△ACM與△DCN中，∵，∴△ACM≌△DCN，∴MC=NC，∵∠MCN=60°，∴△MCN為等邊三角形，∴∠NMC=∠DCN=60°，∴∠NMC=∠DCA，∴MN∥AB．28．證明：∵△OAB和△OCD為等邊三角形，∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．∵四邊形ODEB是平行四邊形，∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．∴△ABE≌△EDC．∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．∵BE∥AD，∴∠AEB=∠EAD．∴∠EAD=∠ECD．在△AFE和△CFD中又∵∠AFE=∠CFD，∴∠AEC=∠ADC=60°．∴△ACE為等邊三角形．29．解：〔1〕∵△ABC、△CDE都是等邊三角形，∴AC=BC