高中數(shù)學(xué) 1.7.2 柱、錐、臺的體積基礎(chǔ)鞏固 北師大版必修2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.7.2柱、錐、臺的體積基礎(chǔ)鞏固北師大版必修2一、選擇題1．(·新課標(biāo)Ⅱ文，7)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq\r(3)，D為BC中點，則三棱錐A－B1DC1的體積為()A．3 B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(\r(3),2)[答案]C[解析]本題考查三棱柱、三棱錐的體積問題．由條件知底面B1DC1的面積為側(cè)面面積的一半，即為eq\r(3)，而高為底面等邊三角形的高，為eq\r(3)，∴VA－B1DC1＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.2．(山東高考)一個四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，其正(主)視圖如圖所示，則該四棱錐側(cè)面積和體積分別是()A．4eq\r(5)，8 B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D．8,8[答案]B[解析]由正視圖知四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，又因為側(cè)棱長相等，所以棱錐是正四棱錐，斜高h′＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，側(cè)面積S＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5)，體積V＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3).3．如圖，直三棱柱ABC－A′B′C′，高為3，底面為邊長是1的正三角形，則三棱錐B′－ABC的體積為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),6) D．eq\f(\r(3),4)[答案]D[解析]∵BB′⊥平面ABC，∴VB′－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)S△ABC·BB′＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).4．(·浙江文，3)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是()A．72cm3 B．90cm3C．108cm3 D．138cm3[答案]B[解析]本題考查三視圖與幾何體的體積計算．考查空間想象能力與計算能力．該幾何體的直觀圖為左邊是一個橫放的棱柱，右邊是一個長方體．V＝eq\f(1,2)×4×3×3＋4×6×3＝18＋72＝90cm3.5．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是()A．8－eq\f(2π,3) B．8－eq\f(π,3)C．8－2π D．eq\f(2π,3)[答案]A[解析]本小題考查幾何體的三視圖與體積計算，此幾何體為正方體內(nèi)有一倒置圓錐．∴V＝2×2×2－eq\f(1,3)×π×2＝8－eq\f(2,3)π.6．三棱臺ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，則三棱錐A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1A．1∶1∶1 B．1∶1∶2C．1∶2∶4 D．1∶4∶4[答案]C[解析]設(shè)棱臺的高為h，S△ABC＝S，則S△A1B1C1＝4S.∴VA1－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC－A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh，又V臺＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB－A1B1C＝V臺－VA1－ABC－VC－A1B1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh.∴體積比為1∶2∶4.∴應(yīng)選C.二、填空題7．(·江蘇，8)設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________．[答案]eq\f(3,2)[解析]本題考查圓柱的側(cè)面積及體積．設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面和高分別為r1、h1，r2、h2，則2πr1h1＝2πr2h2，eq\f(h1,h2)＝eq\f(r2,r1)，又eq\f(S1,S2)＝eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，所以eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2)，則eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(r\o\al(2,1),r\o\al(2,2))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(r\o\al(2,1),r\o\al(2,2))·eq\f(r2,r1)＝eq\f(3,2).8．棱臺的上底面積為16，下底面積為64，則棱臺被它的中截面分成的上、下兩部分體積之比為________．[答案]19∶37[解析]將棱臺恢復(fù)成棱錐，如右圖所示，AA1，BB1，CC1分別是小棱錐，中棱錐，大棱錐底面上的對應(yīng)線段，則V小∶V中∶V大＝43∶63∶83＝23∶33∶43＝8∶27∶64，所以(V中－V小)∶(V大－V中)＝(27－8)∶(64－27)＝19∶37，即上、下兩部分體積之比為19∶37.三、解答題9．如圖所示，圓錐的軸截面為等腰Rt△SAB，Q為底面圓周上一點．(1)若QB的中點為C，OH⊥SC，求證：OH⊥平面SBQ；(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝2eq\r(3)，求此圓錐的體積．[解析](1)證明：連接OC，∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，∴QB⊥SC，QB⊥OC，∴QB⊥平面SOC.∵OH平面SOC，∴QB⊥OH.又OH⊥SC，∴OH⊥平面SQB.(2)解：連接AQ，∵Q為底面圓周上一點，AB為直徑，∴AQ⊥QB.在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝2eq\r(3)，∴AB＝eq\f(2\r(3),cos30°)＝4.∵△SAB是等腰直角三角形，∴SO＝eq\f(1,2)AB＝2.∴V圓錐＝eq\f(1,3)π·OA2·SO＝eq\f(8,3)π.一、選擇題1．半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積是()A．eq\f(\r(3),24)πR3 B．eq\f(\r(3),8)πR3C．eq\f(\r(5),24)πR3 D．eq\f(\r(5),8)πR3[答案]A[解析]令母線長為l，底面半徑為r，則πl(wèi)＝2πr，∴l(xiāng)＝2r，又∵l＝R，∴r＝eq\f(1,2)R，高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(R2－\f(1,4)R2)＝eq\f(\r(3),2)R.∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π·eq\f(1,4)R2·eq\f(\r(3),2)R＝eq\f(\r(3),24)πR3.2．(·新課標(biāo)Ⅱ理，6)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()A．eq\f(17,27) B．eq\f(5,9)C．eq\f(10,27) D．eq\f(1,3)[答案]C[解析]本題考查立體幾何的三視圖及體積的求法．∵加工前的零件半徑為3，高為6，∴體積V1＝9π·6＝54π.∵加工后的零件，左半部為小圓柱，半徑為2，高為4，右半部為大圓柱，半徑為3，高為2，∴體積V2＝7π·4＋9π·2＝34π.∴削掉部分的體積與原體積之比＝eq\f(54π－34π,54π)＝eq\f(10,27).故選C.二、填空題3．正四棱臺的斜高與上、下底面邊長之比為5∶2∶8，體積為14cm3，則棱臺的高為________cm.[答案]2[解析]由題意設(shè)正四棱臺的斜高與上，下底面邊長分別為5x,2x,8x，則高h＝eq\r(5x2－4x－x2)＝4x.由棱臺的體積公式可得eq\f(1,3)·4x(4x2＋16x2＋64x2)＝14，解得x＝eq\f(1,2).所以h＝2cm.4．如下圖中的三個直角三角形是一個體積20cm3的幾何體的三視圖，則h＝________cm.[答案]4[解析]該幾何體是一個底面是直角三角形，一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐如圖，V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×5×6))×h＝20，∴h＝4cm.三、解答題5．如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，過頂點B、D、A1(1)求此三棱錐的體積；(2)以BDA1為底面時，求此三棱錐的高．[解析](1)若三棱錐以△ABD為底面，則AA1就是高，所以V＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,6)a3.(2)若以△BDA1為底面，設(shè)高為h，則V＝eq\f(1,3)S△BDA1·h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)·(eq\r(2)a)2·h＝eq\f(\r(3),6)a2h，又由(1)有V＝eq\f(1,6)a3，所以eq\f(\r(3),6)a2h＝eq\f(1,6)a3，解得h＝eq\f(\r(3),3)a.6．(新課標(biāo)Ⅱ高考)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1(1)證明：BC1∥平面A1CD；(2)設(shè)AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，求三棱錐C－A1DE的體積．[解析](1)連接AC1交A1C于點F，則F為AC1中點，又D是AB中點，連接DF，則BC1∥DF因為DF平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)因為ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD由已知AC＝CB，D為AB的中點，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)得∠ACB＝90°，CD＝eq\r(2)，A1D＝eq\r(6)，DE＝eq\r(3)，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D所以VC－A1DE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(3)×eq\r(2)＝1.7．(·遼寧文，19)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)，G分別為AC，DC，AD的中點．(1)求證：EF⊥平面BCG；(2)求三棱錐D－BCG的體積．附：錐體的體積公式V＝eq\f(1,3)Sh，其中S為底面面積，h為高．[解析]思路分析：(1)由三角形全等、等腰三角形的三線合一及線面垂直的判斷定理可求得結(jié)論1；(2)通過作輔助線求得三棱錐A－BCD的高，從而求了三棱錐G－BCD的高，最后求出此三棱錐的體積．證明：(1)由已知得△ABC≌△DBC，∴AC＝DC，又G為AD的中點，∴C