高中數(shù)學(xué) 1.2.2 第2課時組合(二)同步測試 新人教A版選修2-3

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.2.2第2課時組合(二)同步測試新人教A版選修2-3一、選擇題1．(·福州文博中學(xué)高二期末)盒中有4個白球，5個紅球，從中任取3個球，則抽出1個白球和2個紅球的概率是()A．eq\f(10,63) B．eq\f(11,21)C．eq\f(5,14) D．eq\f(10,21)[答案]D[解析]從9個球中任取3個球有Ceq\o\al(3,9)種取法，其中含有1白球2紅球的取法有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)種，∴所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21).2．(·景德鎮(zhèn)市高二質(zhì)檢、河南安陽中學(xué)期中)12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是()A．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,3) B．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(6,6)C．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6) D．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,5)[答案]C[解析]第一步從后排8人中抽2人有Ceq\o\al(2,8)種抽取方法，第二步前排共有6個位置，先從中選取2個位置排上抽取的2人，有Aeq\o\al(2,6)種排法，最后把前排原4人按原順序排在其他4個位置上，只有1種安排方法，∴共有Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6)種排法．3．從編號為1、2、3、4的四種不同的種子中選出3種，在3塊不同的土地上試種，每塊土地上試種一種，其中1號種子必須試種，則不同的試種方法有()A．24種 B．18種C．12種 D．96種[答案]B[解析]先選后排Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18，故選B.4．把0、1、2、3、4、5這六個數(shù)，每次取三個不同的數(shù)字，把其中最大的數(shù)放在百位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有()A．40個 B．120個C．360個 D．720個[答案]A[解析]先選取3個不同的數(shù)有Ceq\o\al(3,6)種方法，然后把其中最大的數(shù)放在百位上，另兩個不同的數(shù)放在十位和個位上，有Aeq\o\al(2,2)種排法，故共有Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(2,2)＝40個三位數(shù)．5．在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為()A．10 B．11C．12 D．15[答案]B[解析]與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類：第一類：與信息0110只有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同，有Ceq\o\al(2,4)＝6(個)；第二類：與信息0110只有一個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同，有Ceq\o\al(1,4)＝4(個)；第三類：與信息0110沒有對應(yīng)位置上的數(shù)字相同，有Ceq\o\al(0,4)＝1(個)；綜上知，與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有6＋4＋1＝11(個)．6．從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有()A．70種 B．80種C．100種 D．140種[答案]A[解析]可分兩類，男醫(yī)生2名，女醫(yī)生1名或男醫(yī)生1名，女醫(yī)生2名，∴共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)＝70，∴選A.二、填空題7．一排7個座位分給3人坐，要求任何兩人都不得相鄰，所有不同排法的總數(shù)有________種．[答案]60[解析]對于任一種坐法，可視4個空位為0,3個人為1,2,3則所有不同坐法的種數(shù)可看作4個0和1,2,3的一種編碼，要求1,2,3不得相鄰故從4個0形成的5個空檔中選3個插入1,2,3即可．∴不同排法有Aeq\o\al(3,5)＝60種．8．已知集合A＝{x|1≤x≤9，且x∈N}，若p、q∈A，e＝logpq，則以e為離心率的不同形狀的橢圓有________________個．[答案]26[解析]由于e∈(0,1)，∴9≥p>q>1，當(dāng)q＝2時，p＝3、4、…、9，橢圓的不同形狀有7個；當(dāng)q＝3時，p＝4、5、…、9，橢圓的不同形狀有6個；當(dāng)q＝4時，p＝5、6、…、9，橢圓的不同形狀有5個；當(dāng)q＝5時，p＝6、7、8、9，橢圓的不同形狀有4個；當(dāng)q＝6時，p＝7、8、9，橢圓的不同形狀有3個；當(dāng)q＝7時，p＝8、9，橢圓的不同形狀有2個；當(dāng)q＝8時，p＝9，橢圓的不同形狀有1個；其中l(wèi)og42＝log93，log32＝log94，∴共有(7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)－2＝26個．[點(diǎn)評]上面用的枚舉解法，也可由p、q∈A，e＝logpq∈(0,1)知9≥p>q>1，因此問題成為從2至9這8個數(shù)字中任取兩個數(shù)字并作一組的不同取法．∴有Ceq\o\al(2,8)－2＝26個．三、解答題9．(·八一中學(xué)高二期末)袋中裝有m個紅球和n個白球(m≥n≥2)，這些紅球和白球除了顏色不同之外，其余都相同，從袋中同時取出2個球．(1)若取出的兩個球都是紅球的概率是取出的兩個球是1紅1白的概率的整數(shù)倍，試證：m必為奇數(shù)．(2)若取出的球是同色球的概率等于取出不同色球的概率，試求適合m＋n≤40的所有數(shù)組(m，n)．[解析](1)證明：由eq\f(\f(C\o\al(2,m),C\o\al(2,m＋n)),\f(C\o\al(1,m)C\o\al(1,n),C\o\al(2,m＋n)))＝k(k∈Z)得m＝2kn＋1，∵k∈Z，n∈N，∴m必為奇數(shù)．(2)由eq\f(C\o\al(2,m)＋C\o\al(2,n),C\o\al(2,m＋n))＝eq\f(C\o\al(1,m)C\o\al(1,n),C\o\al(2,m＋n))得(m－n)2＝m＋n，∴m＋n為完全平方數(shù)，又∵m＋n≤40，m>n≥2，∴m＋n＝36或25或16或9或4m－n＝6或5或4或3或2，符合題意的數(shù)組共四組，結(jié)果為(21,15)，(15,10)，(10,6)，(6,3)．10．在∠MON的邊OM上有5個異于O點(diǎn)的點(diǎn)，邊ON上有4個異于O點(diǎn)的點(diǎn)，以這10個點(diǎn)(含O點(diǎn))為頂點(diǎn)，可以得到多少個三角形？[解析]解法1：(直接法)分幾種情況考慮：O為頂點(diǎn)的三角形中，必須另外兩個頂點(diǎn)分別在OM、ON上，所以有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)個，O不為頂點(diǎn)的三角形中，兩個頂點(diǎn)在OM上，一個頂點(diǎn)在ON上有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)個，一個頂點(diǎn)在OM上，兩個頂點(diǎn)在ON上有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)個．由分類加法計數(shù)原理知，共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)＝5×4＋10×4＋5×6＝90(個)．解法2：(間接法)先不考慮共線點(diǎn)的問題，從10個不同元素中任取三點(diǎn)的組合數(shù)是Ceq\o\al(3,10)，但其中OM上的6個點(diǎn)(含O點(diǎn))中任取三點(diǎn)不能得到三角形，ON上的5個點(diǎn)(含O點(diǎn))中任取3點(diǎn)也不能得到三角形，所以共可以得到Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,5)個，即Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,5)＝eq\f(10×9×8,1×2×3)－eq\f(6×5×4,1×2×3)－eq\f(5×4,1×2)＝120－20－10＝90(個)．解法3：也可以這樣考慮，把O點(diǎn)看成是OM邊上的點(diǎn)，先從OM上的6個點(diǎn)(含O點(diǎn))中取2點(diǎn)，ON上的4點(diǎn)(不含O點(diǎn))中取一點(diǎn)，可得Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)個三角形，再從OM上的5點(diǎn)(不含O點(diǎn))中取一點(diǎn)，從ON上的4點(diǎn)(不含O點(diǎn))中取兩點(diǎn)，可得Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)個三角形，所以共有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)＝15×4＋5×6＝90(個)．一、選擇題11．(·河南安陽中學(xué)高二期中)在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1、2、3、…、18的18名火炬手，若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為()A．eq\f(1,51) B．eq\f(1,68)C．eq\f(1,306) D．eq\f(1,408)[答案]B[解析]從18人中任選3人，有Ceq\o\al(3,18)種選法，選出的3人編號能構(gòu)成公差為3的等差數(shù)列有12種情形)，∴所求概率P＝eq\f(12,C\o\al(3,18))＝eq\f(1,68).12．以圓x2＋y2－2x－2y－1＝0內(nèi)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形個數(shù)為()A．76 B．78C．81 D．84[答案]A[解析]如圖，首先求出圓內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)個數(shù)，然后求組合數(shù)，圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝3，圓內(nèi)共有9個整數(shù)點(diǎn)，組成的三角形的個數(shù)為Ceq\o\al(3,9)－8＝76.故選A.13．(·合肥八中聯(lián)考)將4個顏色互不相同的球全部收入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有()A．10種 B．20種C．36種 D．52種[答案]A[解析]根據(jù)2號盒子里放球的個數(shù)分類：第一類，2號盒子里放2個球，有Ceq\o\al(2,4)種放法，第二類，2號盒子里放3個球，有Ceq\o\al(3,4)種放法，剩下的小球放入1號盒中，共有不同放球方法Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)＝10種．14．(·揭陽一中高二聯(lián)考)編號為1、2、3、4、5的五個人，分別坐在編號為1、2、3、4、5的座位上，則至多有兩個號碼一致的坐法種數(shù)為()A．120 B．119C．110 D．109[答案]D[解析]5個人坐在5個座位上，共有不同坐法Aeq\o\al(5,5)種，其中3個號碼一致的坐標(biāo)有Ceq\o\al(3,5)種，有4個號碼一致時必定5個號碼全一致，只有1種，故所求種數(shù)為Aeq\o\al(5,5)－Ceq\o\al(3,5)－1＝109.二、填空題15．北京市某中學(xué)要把9臺型號相同的電腦送給西部地區(qū)的三所希望小學(xué)，每所小學(xué)至少得到2臺，共有________________種不同送法．[答案]10[解析]每校先各得一臺，再將剩余6臺分成3份，用插板法解，共有Ceq\o\al(2,5)＝10種．16．(·遼寧省協(xié)作聯(lián)校三模)航空母艦“遼寧艦”在某次飛行訓(xùn)練中，有5架殲－15飛機(jī)準(zhǔn)備著艦．如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而甲、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有________種．[答案]36種[解析]∵甲、乙相鄰，∴將甲、乙看作一個整體與其他3個元素全排列，共有2Aeq\o\al(4,4)＝48種，其中甲、乙相鄰，且甲、丙相鄰的只能是甲、乙、丙看作一個整體，甲中間，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12種，∴共有不同著艦方法48－12＝36種．三、解答題17．(·景德鎮(zhèn)市高二質(zhì)檢)7名身高互不相等的學(xué)生，分別按下列要求排列，各有多少種不同的排法？(1)7人站成一排，要求最高的站在中間，并向左、右兩邊看，身高逐個遞減；(2)任取6名學(xué)生，排成二排三列，使每一列的前排學(xué)生比后排學(xué)生矮．[解析](1)第一步，將最高的安排在中間只有1種方法；第二步，從剩下的6人中選取3人安排在一側(cè)有Ceq\o\al(3,6)種選法，對于每一種選法只有一種安排方法，第三步，將剩下3人安排在另一側(cè)，只有一種安排方法，∴共有不同安排方案Ceq\o\al(3,6)＝20種．(2)第一步從7人中選取6人，有Ceq\o\al(6,7)種選法；第二步從6人中選2人排一列有Ceq\o\al(2,6)種排法，第三步，從剩下的4人中選2人排第二列有Ceq\o\al(2,4)種排法，最后將剩下2人排在第三列，只有一種排法，故共有不同排法Ceq\o\al(6,7)·Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝630種．18．有9本不同的課外書，分給甲、乙、丙三名同學(xué)，求在下列條件下，各有多少種分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．[分析]由題目可獲取以下主要信息：①9本不同的課外書分給甲、乙丙三名同學(xué)；②題目中的3個問題的條件不同．解答本題先判斷是否與順序有關(guān)，然后利用相關(guān)的知識去解答．[解析](1)分三步完成：第一步：從9本不同的書中，任取4本分給甲，有Ceq\o\al(4,9)種方法；第二步：從余下的5本書中，任取3本給乙，有Ceq\o\al(3,5)種方法；第三步：把剩下的書給丙有Ceq\o\al(2,2)種方法，∴共有不同的分法有Ceq\o\al(4,9)