2022屆河北省廊坊市一中5月普通高等學校招生模擬考試廊坊市三模數(shù)學試卷解析版

廊坊2022年普通高等學校招生?？紨?shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，，則中元素的個數(shù)為A.2 B.3 C.4 D.52.已知復數(shù)，

A. B. C. D.3.若二項式(2x＋eq\f(a,x))7的展開式中eq\f(1,x3)的系數(shù)是84，則實數(shù)a等于A.2B.eq\r(5,4)C.1D.eq\f(\r(2),4)4.如果圓錐的側面展開圖是直徑為的半圓面，那么此圓錐的軸截面是A.等邊三角形B.等腰直角三角形C.頂角為的等腰三角形D.其他等腰三角形5.若，則事件與的關系是A.事件與互斥 B.事件與對立C.事件與相互獨立 D.事件與既互斥又相互獨立6.已知，則A. B. C. D.7.已知⊙O：x2＋y2＝1，點A(0，－2)，B(a，2)，從點A觀察點B，要使視線不被⊙O擋住，則實數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4\r(3),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2\r(3),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4\r(3),3)，\f(4\r(3),3)))信號源8.右圖中有一個信號源和五個接收器。接收器與信號源在同一個串聯(lián)線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號。若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是信號源A.EQ\f(4,45)B.EQ\f(1,36)C.EQ\f(4,15)D.EQ\f(8,15)二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽，參賽學生每分鐘錄入漢字的個數(shù)經統(tǒng)計計算后填入下表，某同學根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析得出的結論正確的是班級參加人數(shù)中位數(shù)方差平均數(shù)甲55149191135乙55151110135A.甲、乙兩班學生成績的平均數(shù)相同B.甲班的成績波動比乙班的成績波動大C.乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)（每分鐘輸入漢字數(shù)個為優(yōu)秀）D.甲班成績的眾數(shù)小于乙班成績的眾數(shù)10.已知實數(shù)m，n和向量，下列結論中正確的是

A.B.C.若，則D.若，則11.已知直線與圓，點，則下列說法正確的是A.若點A在圓C上，則直線l與圓C相切B.若點A在圓C內，則直線l與圓C相離C.若點A在圓C外，則直線l與圓C相離D.若點A在直線l上，則直線l與圓C相切12.我們知道，平面幾何中有些正確的結論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個真命題,在空間中仍然成立的有A.平行于同一條直線的兩條直線必平行B.垂直于同一條直線的兩條直線必平行C.一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補D.一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則______.14.已知O為坐標原點，拋物線的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且.若，則C的準線方程為____________.15.已知，則，則等于．16.設直線是曲線的一條切線，則實數(shù)的值是.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）在中，角對的邊分別為，且（1）求的值；（2）若，求的面積18.（12分）已知數(shù)列的首項的等比數(shù)列，其前項和中，（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設，，求19.（12分）已知四棱錐，底面ABCD為菱形，，，平面平面ABCD，，E為AB的中點.（1）若F為PD上一點，，證明：；（2）若，求二面角的正弦值.20.（12分）已知函數(shù)，是的導函數(shù).（1）求的極值；（2）當時，證明：.21.（12分）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩焦點與短軸兩端點圍成面積為12的正方形.(1)求橢圓C的標準方程；(2)我們稱圓心在橢圓上運動，半徑為eq\r(\f(a2＋b2,2))的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”.過原點O作橢圓C的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓C于A，B兩點，若直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，當k1＋k2＝2eq\r(10)時，求“衛(wèi)星圓”的個數(shù).22.（12分）某人玩硬幣走跳棋的游戲。已知硬幣出現(xiàn)正反面的概率都是EQ\f(1,2)，棋盤上標有第0站、第1站、第2站、……、第100站.一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋子向前跳一站(從k到k+1)；若擲出反面，棋子向前跳兩站(從k到k+2)，直到棋子跳到第99站(勝利大本營)或跳到第100站(失敗集中營)時，該游戲結束.設棋子跳到第n站的概率為Pn.(1)求P0、P1、P2的值；(2)求證：Pn－Pn－1=－EQ\f(1,2)(Pn－1－Pn－2)，其中n∈N，2≤n≤99；(3)求玩該游戲獲勝的概率及失敗的概率。參考答案：1．B【解析】【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，，故中元素的個數(shù)為3.故選：B【點晴】本題主要考查集合的交集運算，考查學生對交集定義的理解，是一道容易題.2．D【解析】【分析】先求出，，再利用復數(shù)的除法運算求解.【詳解】∵，∴，，∴．故選：D3．C【解析】【詳解】試題分析：二項式的通項公式為，令，得．故展開式中的系數(shù)是，解得．考點：二項式定理4．A【解析】【詳解】試題分析：因為圓錐的側面展開圖是直徑為a的半圓面，所以圓錐母線長為，圓錐底半徑，所以此圓錐的軸截面是等邊三角形，故選A．考點：本題主要考查圓錐的幾何特征及其側面展開圖．點評：注意觀察軸截面中底面半徑、高、母線之間的關系．基礎題型．5．C【解析】【分析】根據(jù)相互獨立的事件的定義判斷即可；【詳解】解：因為，所以，又，，所以，則與相互獨立；因為，所以事件與顯然不對立，無法確定事件與是否互斥；故選：C6．A【解析】【詳解】∵,∴,∴,∴.∴.選A．7．B【解析】【分析】根據(jù)題意，先設過點的切線的斜率為，得到切線方程為，根據(jù)題意，求出，得到切線方程，與聯(lián)立求交點坐標，進而可得出結果.【詳解】解：易知點在直線上，過點作圓的切線，設切線的斜率為，則切線方程為，即，由，得，∴切線方程為，和直線的交點坐標分別為，故要使視線不被擋住，則實數(shù)的取值范圍是.故選：B.8．D【解析】【分析】先將左端的六個接線點隨機地平均分成三組可能出現(xiàn)的所有結果找出來，再根據(jù)五個接收器能同時接收到信號必須全部在同一個串聯(lián)線路中，求出此種情況可能出現(xiàn)的結果，再運用古典概型的概率公式即可得出所求事件概率．【詳解】解：根據(jù)題意，設右端連線方式如圖，對于左端的六個接線點，將其隨機地平均分成三組，共有種結果，五個接收器能同時接收到信號必須全部在同一個串聯(lián)線路中，則1必須和3、4、5、6中其中1個相接，接好后，2只有2種情況可選，剩下的接線點只有1種接法，所以共有種結果，同理，右端連線方式變化時，左端的接線方法都有15種，其中有8種可以收到信號，∴這五個接收器能同時接收到信號的概率是，故選：D．【點睛】本題主要考查古典概型的概率計算公式，考查平均分組問題，屬于中檔題．9．ABC【解析】根據(jù)圖表直接計算平均數(shù)、方差和眾數(shù)與甲、乙兩班學生每分鐘輸入漢字數(shù)≥150個的人數(shù)分析即可.【詳解】甲、乙兩班學生成績的平均數(shù)都是35，故兩班成績的平均數(shù)相同，A正確；，甲班成績不如乙班穩(wěn)定，即甲班的成績波動較大，B正確.甲、乙兩班人數(shù)相同，但甲班的中位數(shù)為149，乙班的中位數(shù)為151，從而易知乙班不少于150個的人數(shù)要多于甲班，C正確；由題表看不出兩班學生成績的眾數(shù)，D錯誤.故選：ABC【點睛】本題主要考查了根據(jù)平均數(shù)、方差和眾數(shù)分析實際意義的問題,屬于基礎題型.10．ABD【解析】【分析】利用平面向量的線性運算可判斷ABCD選項.【詳解】對于A選項，，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，若，則，所以，或，C錯；對于D選項，若，則，所以，，即，D對.故選：ABD.11．ABD【解析】【分析】轉化點與圓、點與直線的位置關系為的大小關系，結合點到直線的距離及直線與圓的位置關系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點在圓C內，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.12．AC【解析】【分析】根據(jù)線線平行傳遞性和課本中的定理可判斷AC正確；垂直于同一條直線的兩條直線位置關系不確定，可判斷B，通過舉反例可判斷D.【詳解】根據(jù)線線平行具有傳遞性可知A正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線，位置關系可能是異面、相交、平行，故B錯誤；根據(jù)定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補可知C正確；如圖，且，則但和的關系不確定，故D錯誤.故選：AC13．【解析】【詳解】試題分析：因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則.考點：函數(shù)奇偶性的應用.14．x＝－【解析】【分析】根據(jù)條件可得∠OPF＝∠PQF，利用正切值相同列方程求出p，進而可得C的準線方程.【詳解】由題得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以＝，即，解得p＝3，所以C的準線方程為x＝－.故答案為：x＝－.15．【解析】【分析】將指數(shù)式化為對數(shù)式，然后利用對數(shù)運算，化簡求得A的值.【詳解】∵,∴，.∴，.又∵,,即，∴，.故答案為：16．【解析】【分析】設切點坐標，根據(jù)切點處的導數(shù)等于切線斜率，和切點在切線和曲線上列方程組可解.【詳解】設切點坐標為，因為，所以有因為，所以，所以.故答案為：17．（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；（2）由余弦定理求出ab=4，然后根據(jù)三角形的面積公式求出答案．【詳解】（1）因為，由正弦定理，得，∴；（2）∵，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍去），所以【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理等知識．在解三角形問題中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及同角三角函數(shù)基本關系等問題，故應綜合把握．18．（1）.（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）討論等比數(shù)列的工筆q=1和,將數(shù)列的前n項和公式代入,求出基本量和,進而求出數(shù)列的通項公式;（2）化簡,利用裂項相消法求出.試題解析：（1）若，則不符合題意，，當時，由得.（2），，.點睛:在數(shù)列求和中，最常見最基本的求和就是等差、等比數(shù)列中的求和，這時除了熟練掌握求和公式外還要熟記一些常見的求和結論，再就是分清數(shù)列的項數(shù)，以免在套用公式時出錯．裂項相消法.把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．19．(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）由面面垂直推證得面，再由線面垂直即可證明線線垂直；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，求得兩個平面的法向量，再利用向量法即可求得二面角的正弦值.(1)如圖，連接CE，AC.∵底面ABCD為菱形，且，∴△ABC為等邊三角形.又E為AB的中點，故.∵平面平面ABCD，且AB為平面PAB與平面ABCD的交線，平面ABC，∴平面PAB.∵平面PAB，∴.又∵，，面，∴平面CFE.∵平面CFE，∴.(2)連接PE，∵，且E為AB的中點，∴.∵平面平面ABCD，且AB為平面PAB與平面ABCD的交線，平面PAB，∴平面ABCD，又面，故，∴EB，EC，EP兩兩垂直，∴以點E為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，∵，，∴由勾股定理可得，，∴，，，，∴，，.設平面PBC的法向量為，由得取，則，，則.設平面PCD的法向量為，由得取，則，則·則，∴二面角的正弦值為.20．（1）極大值，無極小值（2）證明見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）令，求出的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最大值，從而證明結論即可．【詳解】（1）因為，所以．當時，；當時，．所以在上單調遞增，在上單調遞減，從而有極大值，極大值為，無極小值．（2）證明：令，則．設，則．因為，所以，所以在上單調遞減．又，所以當時，；當時，，即當時，；當時，．所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間，上單調遞減．所以，所以．【點睛】關鍵點點睛：在證明函數(shù)不等式時，一般根據(jù)結論構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的極值或最值，本題中根據(jù)最值可得不等式，不等式得證.21．(1)；(2)8個.【解析】(1)由條件可得，解出來即可；(2)設“衛(wèi)星圓”的圓心為，由定義可得“衛(wèi)星圓”的標準方程為，求其圓心到直線，直線的距離，整理可轉化為、是方程的兩個不相等的實數(shù)根，則，再加上，，解方程即可.【詳解】(1)∵橢圓C的兩焦點與短軸兩端點圍成面積為12的正方形，∴由橢圓的定義和正方形的性質，可得，解得.又∴橢圓C的標準方程為.(2)設“衛(wèi)星圓”的圓心為.由“衛(wèi)星圓”的定義，可得“衛(wèi)星圓”的半徑為.∴“衛(wèi)星圓”的標準方程為.∵直