考研數(shù)學(xué)二分類模擬題45

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題45一、選擇題1.

設(shè)f(x)在x=a處的左右導(dǎo)數(shù)都存在，則f(x)在x=a處______.A.一定可導(dǎo)B.一定不可導(dǎo)C.不一定連續(xù)D.連續(xù)正確答案：D[解]因?yàn)閒(（江南博哥）x)在x=a處右可導(dǎo)，所以存在，于是即f(x)在x=a處右連續(xù)，同理由f(x)在x=a處左可導(dǎo)，得f(x)在x=a處左連續(xù)，故f(x)在x=a處連續(xù)，由于左右導(dǎo)數(shù)不一定相等，選D.

2.

f(x)g(x)在x0處可導(dǎo)，則下列說法正確的是______.A.f(x)，g(x)在x0處都可導(dǎo)B.f(x)在x0處可導(dǎo)，g(x)在x0處不可導(dǎo)C.f(x)在x0處不可導(dǎo)，g(x)在x0處可導(dǎo)D.f(x)，g(x)在x0處都可能不可導(dǎo)正確答案：D[解]令顯然f(x)，g(x)在每點(diǎn)都不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，但f(x)g(x)≡-1在任何一點(diǎn)都可導(dǎo)，選D.

3.

f(x)在x0處可導(dǎo)，則|f(x)|在x0處______.A.可導(dǎo)B.不可導(dǎo)C.連續(xù)但不一定可導(dǎo)D.不連續(xù)正確答案：C[解]由f(x)在x0處可導(dǎo)得|f(x)|在x0處連續(xù)，但|f(x)|在x0處不一定可導(dǎo)，如f(x)=x在x=0處可導(dǎo)，但|f(x)|=|x|在x=0處不可導(dǎo)，選C.

4.

設(shè)f(x)為二階可導(dǎo)的奇函數(shù)，且x＜0時(shí)有f"(x)＞0，f'(x)＜0，則當(dāng)x＞0時(shí)有______.A.f"(x)＜0，f'(x)＜0B.f"(x)＞0，f'(x)＞0C.f"(x)＞0，f'(x)＜0D.f"(x)＜0，f'(x)＞0正確答案：A[解]因?yàn)閒(x)為二階可導(dǎo)的奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，f'(-x)=f'(x)，f"(-x)=-f"(x)，即f'(x)為偶函數(shù)，f"(x)為奇函數(shù)，故由x＜0時(shí)有f"(x)＞0，f'(x)＜0，得當(dāng)x＞0時(shí)有f"(x)＜0，f'(x)＜0，選A.

5.

設(shè)f(x)為單調(diào)可微函數(shù)，g(x)與f(x)互為反函數(shù)，且f(2)=4，f'(2)=，f'(4)=6，則g'(4)等于______.

A．

B．

C．

D．4正確答案：B[解]因?yàn)樗赃xB.

6.

設(shè)f(x)在x=a的鄰域內(nèi)有定義，且f'+(a)與f'-(a)都存在，則______.A.f(x)在x=a處不連續(xù)B.f(x)在x=a處連續(xù)C.f(x)在x=a處可導(dǎo)D.f(x)在x=a處連續(xù)可導(dǎo)正確答案：B[解]因?yàn)閒'+(a)存在，所以存在，于是，即f(x)在x=a處右連續(xù)，同理由f'-(a)存在可得f(x)在x=a處左連續(xù).故f(x)在x=a處連續(xù)，選B.

7.

下列命題成立的是______.

A．若f(x)在x0處連續(xù)，則存在δ＞0，使得f(x)在|x-x0|＜δ內(nèi)連續(xù)

B．若f(x)在x0處可導(dǎo)，則存在δ＞0，使得f(x)在|x-x0|＜δ內(nèi)可導(dǎo)

C．若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在x0處連續(xù)且存在，則f(x)在x0處可導(dǎo)，且

D．若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在x0處連續(xù)且不存在，則f(x)在x0處不可導(dǎo)正確答案：C[解]設(shè)顯然f(x)在x=0處連續(xù)，對(duì)任意x0≠0，因?yàn)椴淮嬖?，所以f(x)在x0處不連續(xù)，A不對(duì)；

同理f(x)在x=0處可導(dǎo)，對(duì)任意的x0≠0，因?yàn)閒(x)在x0處不連續(xù)，所以f(x)在x0處也不可導(dǎo)，B不對(duì)；

因?yàn)槠渲笑谓橛趚0與x之間，且存在，所以也存在，即f(x)在x0處可導(dǎo)且，選C；

令顯然而不存在，D不對(duì).

8.

則f(x)在x=0處______.A.不連續(xù)B.連續(xù)不可導(dǎo)C.可導(dǎo)但f'(x)在x=0處不連續(xù)D.可導(dǎo)且f'(x)在x=0處連續(xù)正確答案：D[解]顯然f(x)在x=0處連續(xù)，因?yàn)樗詅(x)在x=0處可導(dǎo)，當(dāng)x＞0時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)，因?yàn)樗詅'(x)在x=0處連續(xù)，選D.

9.

函數(shù)f(x)在x=1處可導(dǎo)的充分必要條件是______.

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解]A不對(duì)，如顯然：存在，但f(x)在x=1處不連續(xù)，所以也不可導(dǎo)；

B不對(duì)，因?yàn)榇嬖谥荒鼙ＷCf(x)在x=1處右導(dǎo)數(shù)存在；

C．不對(duì)，因?yàn)?/p>

而，所以不一定存在，于是f(x)在x=1處不一定右可導(dǎo)，也不一定可導(dǎo)；

存在，所以f(x)在x=1處可導(dǎo).所以選D．

10.

設(shè)f(x)可導(dǎo)，則下列正確的是______.

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解]令f(x)=x，顯然，但A不對(duì)，同理但，B也不對(duì)；令f(x)=x2，但，D不對(duì)；若則對(duì)任意的M＞0，存在x0＞0，當(dāng)x≥X0時(shí)，有f'(x)＞M，于是當(dāng)x≥X0時(shí)，f(x)-f(X0)=f'(ξ)(x-X0)，其中ξ∈(X0，x)，即f(x)≥f(X0)+M(x-X0)，根據(jù)極限的保號(hào)性，有選C．

11.

下列說法正確的是______.

A．f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，若則

B．f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，若

C．f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，若

D．f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，若正確答案：D[解]設(shè)當(dāng)時(shí)，f'(x)=0，其中k∈Z，則，A不對(duì)；

設(shè)，B不對(duì)；

設(shè)，C不對(duì)，選D．

12.

下列說法中正確的是______.A.若f'(x0)＜0，貝f(x)在x0的鄰域內(nèi)單調(diào)減少B.若f(x)在x0取極大值，則當(dāng)x∈(x0-δ，x0)時(shí)，f(x)單調(diào)增加，當(dāng)x∈(x0，x0+δ)時(shí)，f(x)單調(diào)減少C.f(x)在x0取極值，則f(x)在x0連續(xù)D.f(x)為偶函數(shù)，f"(0)≠0，則f(x)在x=0處一定取到極值正確答案：D[解]

當(dāng)時(shí)，，則f(x)在x=0的任意鄰域內(nèi)都不單調(diào)減少，A不對(duì)；

f(x)在x=0處取得極大值，但其在x=0的任一鄰域內(nèi)皆不單調(diào)，B不對(duì)；

f(x)在x=1處取得極大值，但f(x)在x=1處不連續(xù)，C不對(duì)；

由f"(0)存在，得f'(0)存在，又f(x)為偶函數(shù)，所以f'(0)=0，所以x=0一定為f(x)的極值點(diǎn)，選D．

13.

設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，，則______.A.f(2)是f(x)的極小值B.f(2)是f(x)的極大值C.(2，f(2))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D.f(2)不是函數(shù)f(x)的極值，(2，f(2))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)正確答案：A[解]由，得f'(2)=0，又由，則存在δ＞0，當(dāng)0＜|x-2|＜δ時(shí)，有，即當(dāng)x∈(2-δ，2)時(shí)，f'(x)＜0；當(dāng)x∈(2，2+δ)時(shí)，f'(x)＞0，于是x=2為f(x)的極小點(diǎn)，選A．

14.

設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，g(x)在x=0的鄰域內(nèi)連續(xù)，且又則______.A.x=0是f(x)的極大值點(diǎn)B.x=0是f(x)的極小值點(diǎn)C.(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D.x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)正確答案：C[解]由得g(0)=g'(0)=0，f'(0)=0，

因?yàn)樗源嬖讦模?，當(dāng)0＜|x|＜δ時(shí)，從而當(dāng)x∈(-δ，0)時(shí)，f"(x)＞0，當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，f"(x)＜0，選C．

15.

設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且則______.A.f(0)是f(x)的極小值B.f(0)是f(x)的極大值C.(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D.x=0是f(x)的駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)正確答案：C[解]因?yàn)閒(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且所以即f"(0)=0.又由極限的保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜|x|＜δ時(shí)，有，即當(dāng)x∈(-δ，0)時(shí)，f"(x)＞0，當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，f"(x)＜0，所以(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，選C．

16.

設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f"(x)+f'2(x)=x，且f'(0)=0，則______.A.f(0)是f(x)的極小值B.f(0)是f(x)的極大值C.(0，f(0))是y-f(x)的拐點(diǎn)D.(0，f(0))不是y=f(x)的拐點(diǎn)正確答案：C[解]由f'(0)=0得f"(0)=0，f'''(x)=1-2f'(x)f"(x)，f'''(0)=1＞0，由極限保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜|x|＜δ時(shí)，f'''(x)＞0，再由f"(0)=0，得

故(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，選C.

17.

下列說法正確的是______.A.設(shè)f(x)在x0二階可導(dǎo)，則f"(x)在x=x0處連續(xù)B.f(x)在[a，b]上的最大值一定是其極大值C.f(x)在(a，b)內(nèi)的極大值一定是其最大值D.若f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)在(a，b)內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，則該極值點(diǎn)一定為最值點(diǎn)正確答案：D[解]令，但不存在，所以A不對(duì)；

若最大值在端點(diǎn)取到則不是極大值，所以B不對(duì)；

C．顯然不對(duì)，選D．

18.

設(shè)f(x)在[a，+∞)上二階可導(dǎo)，f(a)＜0，f'(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，則f(x)在(a，+∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______.A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)正確答案：B[解]因?yàn)閒'(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以其中ξ介于a與x之間．而故再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．又因?yàn)閒'(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f'(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)單調(diào)增加，所以零點(diǎn)是唯一的，選B．

19.

設(shè)k＞0，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______.A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)正確答案：C[解]函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，由得x=e，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f'(x)＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，f'(x)＜0，由駐點(diǎn)的唯一性知x=e為函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)，最大值為f(e)=k＞0，又于是f(x)在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，選C.

20.

曲線的漸近線的條數(shù)為______.A.0條B.1條C.2條D.3條正確答案：D[解]因?yàn)樗郧€無水平漸近線；

由得曲線有兩條鉛直漸近線；

由得曲線有一條斜漸近線y=x，選D．

21.

設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)的圖形如右圖，則f(x)有______.

A.兩個(gè)極大點(diǎn)，兩個(gè)極小點(diǎn)，一個(gè)拐點(diǎn)B.兩個(gè)極大點(diǎn)，兩個(gè)極小點(diǎn)，兩個(gè)拐點(diǎn)C.三個(gè)極大點(diǎn)，兩個(gè)極小點(diǎn)，兩個(gè)拐點(diǎn)D.兩個(gè)極大點(diǎn)，三個(gè)極小點(diǎn)，兩個(gè)拐點(diǎn)正確答案：C[解]設(shè)當(dāng)x＜0時(shí)，f'(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；當(dāng)x＞0時(shí)，f'(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．

當(dāng)x＜x1時(shí)，f'(x)＞0，當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，f'(x)＜0，則x=x1為f(x)的極大點(diǎn)；當(dāng)x∈(x2，0)時(shí)，f'(x)＞0，則x=x2為f(x)的極小點(diǎn)；當(dāng)x∈(0，x3)時(shí)，f'(x)＜0，則x=0為f(x)的極大點(diǎn)；當(dāng)x∈(x3，x4)時(shí)，f'(x)＞0，則x=x3為f(x)的極小點(diǎn)；當(dāng)x＞x4時(shí)，f'(x)＜0，則x=x4為f(x)的極大點(diǎn)，即f(x)有三個(gè)極大點(diǎn)，兩個(gè)極小點(diǎn)，又f"(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)零點(diǎn)兩側(cè)的增減性可得，y=f(x)有兩個(gè)拐點(diǎn)，選C．

二、解答題1.

設(shè)x=x(t)由確定，求正確答案：[解]將t=0代入得

再由e-u2＞0得x=1，

兩邊對(duì)t求導(dǎo)得，從而

兩邊再對(duì)t求導(dǎo)得

將代入得

2.

設(shè)x3-3xy+y3=3確定y為x的函數(shù)，求函數(shù)y=y(x)的極值點(diǎn).正確答案：[解]x3-3xy+y3=3兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

解得

令得y=x2，代入x3-3xy+y3=3得x=-1或