安徽省池州市貴池區(qū)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

安徽省池州市貴池區(qū)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點、是銳角的一邊上的兩點，試在邊上找一點，使得最大的．”如圖，其結(jié)論是：點為過、兩點且和射線相切的圓的切點．根據(jù)以上結(jié)論解決一下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點，，點在軸上移動，當(dāng)取最大值時，點的橫坐標(biāo)是（）A.B.C.或D.或2．已知數(shù)列的前n項和為，，，則（）A. B.C.1025 D.20493．正方體中，E、F分別是與的中點，則直線ED與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.4．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前9項和為（）A. B.13C.45 D.1175．不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或6．已知為偶函數(shù)，且，則___________.7．已知橢圓，則橢圓的長軸長為（）A.2 B.4C. D.88．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).如圖所示的楊輝三角中，第8行，第3個數(shù)是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……A.21 B.28C.36 D.569．等差數(shù)列的公差，且，，則的通項公式是（）A. B.C. D.10．如圖，在四棱錐中，平面，，，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.211．已知雙曲線上點到點的距離為15，則點到點的距離為（）A.9 B.6C.6或36 D.9或2112．已知雙曲線的一條漸近線方程為，它的焦距為2，則雙曲線的方程為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍為__________.14．的展開式中所有項的系數(shù)和為_________15．已知，是雙曲線的兩個焦點，以線段為邊作正，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率____________.16．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線，，，其中與交點為P（1）求過點P且與平行的直線方程；（2）求以點P為圓心，截所得弦長為8的圓的方程18．（12分）如圖，在三棱柱中，平面，，.（1）求證：平面；（2）點M在線段上，且，試問在線段上是否存在一點N，滿足平面，若存在求的值，若不存在，請說明理由？19．（12分）已知函數(shù)圖像在點處的切線方程為.（1）求實數(shù)、的值；（2）求函數(shù)在上的最值.20．（12分）若函數(shù)與的圖象有一條與直線平行的公共切線，求實數(shù)a的值21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明22．（10分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，直線與交于，兩點（1）求橢圓的方程及焦點坐標(biāo)；（2）若線段的垂直平分線經(jīng)過點，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)米勒問題的結(jié)論，點應(yīng)該為過點、的圓與軸的切點，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，寫出圓的方程，并將點、的坐標(biāo)代入可求出點的橫坐標(biāo).【詳解】解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的方程為，將點、的坐標(biāo)代入圓的方程得，解得或（舍去），因此，點的橫坐標(biāo)為，故選：A.2、B【解析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)得數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：因為數(shù)列的前n項和為滿足，所以當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，即所以，解得或，因為，所以.所以，，所以當(dāng)時，，所以，即所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以故選：B3、A【解析】以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出E,F,D,D1點的坐標(biāo)，利用向量求法求解【詳解】如圖，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為2，則，,，,,直線與所成角的余弦值為：.故選:A【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】根據(jù)給定的條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算作答【詳解】在等差數(shù)列中，因，所以.故選：C5、A【解析】先將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，然后求解即可【詳解】由，得，解得，所以原不等式的解集為，故選：A6、8【解析】由已知條件中的偶函數(shù)即可計算出結(jié)果，【詳解】為偶函數(shù)，且，.故答案為：87、B【解析】根據(jù)橢圓的方程求出即得解.【詳解】解：由題得橢圓的所以橢圓的長軸長為.故選：B8、B【解析】由題意知第8行的數(shù)就是二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)，可得第8行，第3個數(shù)是為，即可求解【詳解】解：由題意知第8行的數(shù)就是二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)，故第8行，第3個數(shù)是為故選：B9、C【解析】由于數(shù)列為等差數(shù)列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的兩個根，由可知，所以，從而可求出，可得到通項公式.【詳解】解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，因為，所以可以看成一元二次方程的兩個根，因為，所以，所以，解得，所以故選：C【點睛】此題考查的是等差數(shù)列的通項公式和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可【詳解】因為平面，平面，平面，所以，，因為所以如圖，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，即.在上的投影向量的長度為，故點到直線的距離為.故選：A11、D【解析】利用雙曲線的定義可得答案.【詳解】設(shè)，，，為雙曲線的焦點，則由雙曲線定義，知，而所以或21故選：D.12、B【解析】根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，可得，再結(jié)合焦距為2和，求得，即可得解.【詳解】解：因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，即，又因焦距為2，即，即，因為，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可得在R上單調(diào)遞增，再由，利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式求解【詳解】定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，由，得，即實數(shù)的取值范圍為故答案為：14、##0.015625【解析】賦值法求解二項式展開式中所有項的系數(shù)和.【詳解】令得：，即為展開式中所有項的系數(shù)和.故答案為：15、##【解析】根據(jù)線段為邊作正，得到M在y軸上，求得M的坐標(biāo)，再由，得到邊的中點坐標(biāo)，代入雙曲線方程求解.【詳解】以線段為邊作正，則M在y軸上，設(shè)，則，因為，所以邊的中點坐標(biāo)為，因為邊的中點在雙曲線上，所以，因為，所以，即，解得，因為，所以，故答案為：16、【解析】根據(jù)，利用等差數(shù)列前項和公式，列方程求出，再由，能求出【詳解】等差數(shù)列的前項和為，且，，，解得，，，解得，故答案為：10三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）首先求、的交點坐標(biāo)，根據(jù)的斜率，應(yīng)用點斜式寫出過P且與平行的直線方程；（2）根據(jù)弦心距、弦長、半徑的關(guān)系求圓的半徑，結(jié)合P的坐標(biāo)寫出圓的方程.【小問1詳解】聯(lián)立、得：，可得，故，又的斜率為，則過P且與平行的直線方程，∴所求直線方程為.【小問2詳解】由（1），P到的距離，∴以P為圓心，截所得弦長為8的圓的半徑，∴所求圓的方程為.18、（1）證明見解析；（2）存在，的值為.【解析】（1）先證明,再證明，由線面垂直的判定定理求證即可;（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由平面，利用向量法能求出的值【詳解】（1）在三棱柱中，平面ABC，，.∴，，，∵，∴平面，∵平面，∴，∵，∴平面.（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，點M在線段上，且，點N在線段上，設(shè)，，設(shè)，則，，，即，解得，，，∵，∴，解得.∴的值為.19、（1）a=3，b=-9.（2）最小值=-24，最大值=8.【解析】由曲線在的值以及切線斜率容易確定a與b的值；根據(jù)導(dǎo)數(shù)很容易確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及極值點.【小問1詳解】，，，由于切線方程是，當(dāng)x=1時，y=-8，即，即=-8……①；又切線的斜率為-12，∴……②；聯(lián)立①②得.【小問2詳解】由（1）得：，；當(dāng)時，，導(dǎo)函數(shù)圖像如下：在時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增；∴在x=-1有極大值，x=3有極小值；在區(qū)間內(nèi)：在x=-1有最大值；在x=3有最小值.20、或3【解析】設(shè)出切點，先求和平行且和函數(shù)相切的切線，再將切線和聯(lián)立，求出的值.【詳解】設(shè)公共切線曲線上的切點坐標(biāo)為，根據(jù)題意，得公共切線的斜率，所以，所以與函數(shù)的圖像相切的切點坐標(biāo)為，故可求出公共切線方程為由直線和函數(shù)的圖像也相切，得方程，即關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，所以，解得或321、（1）單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）見解析.【解析】(1)求f(x)導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求其單調(diào)性；(2)由于，則，只需證明，構(gòu)造函數(shù)，證明其最小值大于0即可.【小問1詳解】時，，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；【小問2詳解】由于，∴，∴只需證明，令，則，∴在上為增函數(shù)，而，∴在上有唯一零點，且，當(dāng)時，，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，g(x)單調(diào)遞增，∴的最小值為，由，得，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而，∴，∴，即，∴當(dāng)時，.【點睛】本題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，也考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，解題過程中設(shè)計到隱零點的問題，需要掌握隱零點處理問題的常見思路和方法.22、（1），（2）【解析】（1）由題意，列出關(guān)于a，b，c的方程組求解即可得答案；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點（x0，y0），則，作差可得①，又線段MN的垂直平分線過點A（0，1），則②，聯(lián)立直線MN與橢圓的方程，可得﹣t2+1+4k2＞0（*），③，由①②③及（*）式聯(lián)立即可求解【小問1詳解】解：由題意可得，解得，所以橢圓C的方