2025千題百煉-高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（三）：第77煉 定點(diǎn)定直線問(wèn)題含答案

2025千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（三）：第77煉定點(diǎn)定直線問(wèn)題含答案第77煉定點(diǎn)定直線問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、處理定點(diǎn)問(wèn)題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為）（2）利用條件找到與過(guò)定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無(wú)論的值如何變化，等式恒成立。此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至易于找到。常見(jiàn)的變形方向如下：①若等式的形式為整式，則考慮將含的項(xiàng)歸在一組，變形為“”的形式，從而只需要先讓括號(hào)內(nèi)的部分為零即可②若等式為含的分式，的取值一方面可以考慮使其分子為0，從而分式與分母的取值無(wú)關(guān)；或者考慮讓分子分母消去的式子變成常數(shù)（這兩方面本質(zhì)上可以通過(guò)分離常數(shù)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，但通常選擇容易觀察到的形式）2、一些技巧與注意事項(xiàng)：（1）面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，可從特殊情況入手，以確定可能的定點(diǎn)（或定直線）。然后再驗(yàn)證該點(diǎn)（或該直線）對(duì)一般情況是否符合。屬于“先猜再證”。（2）有些題目所求與定值無(wú)關(guān)，但是在條件中會(huì)隱藏定點(diǎn)，且該定點(diǎn)通常是解題的關(guān)鍵條件。所以當(dāng)遇到含參數(shù)的方程時(shí)，要清楚該方程為一類曲線（或直線），從而觀察這一類曲線是否過(guò)定點(diǎn)。尤其在含參數(shù)的直線方程中，要能夠找到定點(diǎn)，抓住關(guān)鍵條件。例如：直線，就應(yīng)該能夠意識(shí)到，進(jìn)而直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)二、典型例題：例1：橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)。求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解：（1），設(shè)左焦點(diǎn)，解得橢圓方程為（2）由（1）可知橢圓右頂點(diǎn)設(shè)，以為直徑的圓過(guò)即①聯(lián)立直線與橢圓方程：，代入到①或當(dāng)時(shí)，恒過(guò)當(dāng)時(shí)，恒過(guò)，但為橢圓右頂點(diǎn)，不符題意，故舍去恒過(guò)例2：已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且橢圓的離心率為（1）求橢圓的方程（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于和，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，求證：直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)解：（1）代入可得：橢圓方程為（2）由（1）可得：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，所以可得：為軸當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，則設(shè)，聯(lián)立方程可得：同理，聯(lián)立，可得：的方程為：，整理可得：時(shí)，直線方程對(duì)均成立直線恒過(guò)定點(diǎn)而斜率不存在時(shí)，直線也過(guò)直線過(guò)定點(diǎn)例3：如圖，已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，其上頂點(diǎn)為，已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形（1）求橢圓的方程（2）過(guò)點(diǎn)任作一動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，記，若在線段上取一點(diǎn)使得，試判斷當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)是否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)？若在，請(qǐng)求出該定直線；若不在請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）由橢圓方程可得為邊長(zhǎng)是2的三角形（2）設(shè)設(shè)，由可得：設(shè)，則由可得：①聯(lián)立方程組，消去整理可得：代入到①可得：在定直線上例4：已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，的面積最大值為，以原點(diǎn)為中心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切（1）求橢圓的方程（2）若直線過(guò)定點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn)，試問(wèn)以線段為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由解：（1）因?yàn)閳A與直線相切橢圓方程為：（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，由橢圓方程可得點(diǎn)設(shè)，聯(lián)立方程可得：由，可得：，分別令，可得：，設(shè)軸上的定點(diǎn)為若為直徑的圓是否過(guò)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立即①由及可得：代入到①可得：解得：圓過(guò)定點(diǎn)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，可得為直徑的圓過(guò)點(diǎn)所以以線段為直徑的圓過(guò)軸上定點(diǎn)例5：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓交于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）試問(wèn)以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)（與的斜率無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論解：（1）由可得：由對(duì)稱性可知：由可得橢圓方程為代入，可得：（2）設(shè)由對(duì)稱性可知，由（1）可知設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程：，整理可得：解得：，代入可得：從而，因?yàn)槭侵本€與軸的交點(diǎn)以為直徑的圓的圓心為，半徑圓方程為：，整理可得：所以令，解得以為直徑的圓恒過(guò)例6：已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切，過(guò)點(diǎn)且不垂直軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程（2）若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是，求證：直線與軸相交于定點(diǎn)解：（1）已知圓方程為：因?yàn)榕c直線相切橢圓的方程為：（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程可得：，消去可得：考慮直線直線的方程為：令可得：，而，代入可得：，代入可得：與軸交于定點(diǎn)例7：在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓與直線，四個(gè)點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在橢圓上，剩余一個(gè)點(diǎn)在直線上（1）求橢圓的方程（2）若動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，使得，再過(guò)作直線，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解：（1）因?yàn)樗膫€(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在橢圓上，由橢圓的對(duì)稱性可知：必在橢圓上若在橢圓上，則為橢圓的左頂點(diǎn)。但，所以與在橢圓上矛盾在橢圓上橢圓方程為（2）依題意可得，方程為：且共線為中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部設(shè)，因?yàn)榕c橢圓交于為中點(diǎn)且于為的中垂線設(shè)為中點(diǎn)當(dāng)時(shí)恒過(guò)當(dāng)時(shí)，直線為軸，過(guò)無(wú)論位于哪個(gè)位置，直線恒過(guò)例8：已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線交于點(diǎn)（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程（2）過(guò)且斜率為的動(dòng)直線交曲線于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由解：（1）由圖像可得：點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓（2）設(shè)直線，，與橢圓方程聯(lián)立可得：消去可得：，整理后可得：設(shè)，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)點(diǎn)①代入到①可得：所以只需：可得所以存在定點(diǎn)例9：已知橢圓和圓，分別為橢圓的左頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)（1）點(diǎn)是曲線上位于第二象限的一點(diǎn)，若的面積為，求證：（2）點(diǎn)分別是橢圓和圓上位于軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率是直線斜率的2倍，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)解：（1）由橢圓可得設(shè)，由在第二象限可得：的面積為，代入圓方程可得：（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，聯(lián)立與橢圓方程：代入直線方程可得：聯(lián)立與圓方程：代入直線方程可得：的方程為：整理可得：直線恒過(guò)定點(diǎn)例10：已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，原點(diǎn)到過(guò)點(diǎn)的直線距離是（1）求橢圓的方程（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)作的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上，并求出定直線的方程解：（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為直線的方程為：橢圓方程為（2）因?yàn)橹本€與橢圓相切聯(lián)立直線與橢圓方程：即切點(diǎn)坐標(biāo)即的方程為聯(lián)立方程：解得在這條定直線上第78煉圓錐曲線中的定值問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí)：所謂定值問(wèn)題，是指雖然圓錐曲線中的某些要素（通常可通過(guò)變量進(jìn)行體現(xiàn)）有所變化，但在變化過(guò)程中，某個(gè)量的值保持不變即為定值。1、常見(jiàn)定值問(wèn)題的處理方法：（1）確定一個(gè)（或兩個(gè)）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示（2）將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示（有的甚至就是核心變量），然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，看能否得到一個(gè)常數(shù)。2、定值問(wèn)題的處理技巧：（1）對(duì)于較為復(fù)雜的問(wèn)題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進(jìn)而給后面一般情況的處理提供一個(gè)方向。（2）在運(yùn)算過(guò)程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡(jiǎn)化運(yùn)算二、典型例題：例1：已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線方程為，右焦點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸為，為雙曲線上一點(diǎn)（不同于），直線分別于直線交于兩點(diǎn)（1）求雙曲線的方程（2）試判斷是否為定值，若為定值，求出該值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）由可得，且焦點(diǎn)在軸上所以設(shè)雙曲線方程為：，則漸近線方程為由解得：雙曲線方程為（2）由（1）可得：，設(shè)設(shè)，聯(lián)立方程解得：同理：設(shè)，聯(lián)立方程可得：下面考慮計(jì)算的值在雙曲線上所以為定值例2：已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)（1）求橢圓方程（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線，與該橢圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率依次為，且滿足，試問(wèn)：當(dāng)變化時(shí)，是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）由可得：橢圓方程為代入可得：解得：橢圓方程為（2）設(shè)，聯(lián)立方程可得：消去可得：，整理可得：依題意可知：即①由方程可得：代入①可得：，整理可得：可知為定值，與的取值無(wú)關(guān)例3：已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)作的垂線與以為直徑的圓交于點(diǎn)，求證：的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值解：（1）由可得：橢圓方程可轉(zhuǎn)化為：，將代入橢圓方程可得：，解得：橢圓方程為（2）由（1）可得：思路一：通過(guò)圓的性質(zhì)可得，而（設(shè)垂足為），由雙垂直可想到射影定理，從而，即可判定為定值，設(shè)與相交于則解得：為圓的直徑由射影定理可得：思路二：本題也可從坐標(biāo)入手，設(shè)，則只需證明為定值即可，通過(guò)條件尋找關(guān)系，一方面：，可得；另一方面由點(diǎn)在圓上，可求出圓的方程，從而，展開(kāi)后即可得到為定值解：設(shè)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，以為直徑的圓方程為：代入，可得：即例4：已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求橢圓的方程（2）設(shè)，延長(zhǎng)分別與橢圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率為，求證：為定值解：（1），設(shè)由可得：（2）由（1）可得，設(shè)可得：聯(lián)立方程同理，直線與橢圓交點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)，代入可得：小煉有話說(shuō)：本題中注意的變形：可通過(guò)直線方程用表示，代入后即可得到關(guān)于的表達(dá)式例5：已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）過(guò)橢圓上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，作圓的切線，切點(diǎn)分別為（不在坐標(biāo)軸上），若直線的橫縱截距分別為，求證：為定值解：（1）依可知橢圓方程為代入解得：橢圓方程為（2）思路：由（1）可得：，可設(shè)，由題意可知為過(guò)作圓切線所產(chǎn)生的切點(diǎn)弦，所以,從而可得，所以，由橢圓方程可得，從而為定值解：由（1）可得：設(shè)可知是過(guò)作圓切線所產(chǎn)生的切點(diǎn)弦設(shè)，由是切點(diǎn)可得：，代入：，即，同理可知對(duì)于，有因?yàn)樵趫A上為直線上的點(diǎn)因?yàn)閮牲c(diǎn)唯一確定一條直線，即由截距式可知在橢圓上即為定值小煉有話說(shuō)：（1）本題定值是通過(guò)整體代入的手段，即抓住最后的特點(diǎn)整體消去所得，所以在處理定值問(wèn)題時(shí)，涉及的變量個(gè)數(shù)可以多，但是要有一定的條件保證能夠消去。（2）本題求直線方程的過(guò)程即為切點(diǎn)弦公式證明的過(guò)程，此時(shí)抓住兩點(diǎn)所在方程“同構(gòu)”的特點(diǎn)，從而確定直線方程注：切點(diǎn)弦方程：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則切點(diǎn)弦的方程為：例6：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)。過(guò)原點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交橢圓于（1）若直線相互垂直，求的方程（2）若直線斜率存在，并記為，求證：是一個(gè)定值（3）試問(wèn)是否為定值？若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）由可得，即聯(lián)立方程：或或或的方程為：或或或（2）思路：可設(shè)直線，均與圓相切，可得（其中）化簡(jiǎn)可得：，可發(fā)現(xiàn)均滿足此方程，從而為的兩根。則，再利用橢圓方程消元即可得到定值解：設(shè)與相切化簡(jiǎn)可得：對(duì)于，同理可得：為的兩根（3）思路：設(shè)，，由第（2）問(wèn)所得結(jié)論，可以考慮通過(guò)聯(lián)立直線與橢圓方程將坐標(biāo)分別用進(jìn)行表示，再判斷是否為定值解：當(dāng)不在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)同理可得：若在坐標(biāo)軸上（不妨設(shè)在軸）上，則綜上所述，為定值例7：已知橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓為橢圓的“準(zhǔn)圓”，若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為（1）求橢圓的方程及其“準(zhǔn)圓”方程（2）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)①當(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的方程并證明②求證：線段的長(zhǎng)為定值解：（1）依題意可得：，（2）①由（1）可得，設(shè)切線方程為：聯(lián)立方程：消去可得：整理可得：解得：所以②設(shè)則，消去可得：整理可得：整理后可得：同理，對(duì)于設(shè)切線的斜率為，則有：在“準(zhǔn)圓”上所以為“準(zhǔn)圓”的直徑為定值，例8：已知點(diǎn)在橢圓上，橢圓的左焦點(diǎn)為（1）求橢圓的方程（2）直線過(guò)點(diǎn)交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，且，問(wèn)是否存在正數(shù)，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）由左焦點(diǎn)可得，由，代入可得：解得：（2）思路：由所求可聯(lián)想到弦長(zhǎng)公式，除了所求變量，直線的另一核心要素為斜率（假設(shè)存在），通過(guò)可聯(lián)想到弦長(zhǎng)公式，所以分別將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，進(jìn)而為關(guān)于的表達(dá)式，若為常數(shù)，則意味著與的取值無(wú)關(guān)，進(jìn)而確定的值設(shè)直線,，聯(lián)立方程：設(shè)，則所以若是個(gè)常數(shù)，也為的形式，即此時(shí)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得符合題意小煉有話說(shuō)：本題在判斷的取值也可通過(guò)精確的計(jì)算得到，通過(guò)分式變形化為只有一項(xiàng)含的表達(dá)式：，若的值與無(wú)關(guān)，則例9：如圖，已知橢圓的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)為圓心作圓，設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值，并求此時(shí)圓的方程（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，且直線分別與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值．解（1）圓的圓心橢圓方程為：（2）由圓與橢圓關(guān)于軸對(duì)稱可得：關(guān)于軸對(duì)稱設(shè)，則，且有由可得：因?yàn)樵跈E圓上（非長(zhǎng)軸頂點(diǎn)）時(shí)，，將代入可得即，代入到圓方程可得：（3）思路：依圖可知所可翻譯為坐標(biāo)運(yùn)算即，且分別為直線與軸的交點(diǎn)，可設(shè)出，從而結(jié)合和計(jì)算出的方程，從而可用進(jìn)行表示，再根據(jù)橢圓方程進(jìn)行消元即可。解：