2023年山東省濟(jì)南市中考數(shù)學(xué)真題（答案解析版）

濟(jì)南市2023年九年級學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試題

本試卷共8頁，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，用0.5mm黑色簽字筆將答案

寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.

1.下列幾何體中，主視圖是三角形的為（）

【答案】A

【解析】

【分析】分別判斷出各選項(xiàng)中的幾何體的主視圖，即可得出答案.

【詳解】解：A、圓錐的主視圖是三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

B、球的主視圖是圓，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、長方體的主視圖是長方形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、三棱柱的主視圖是長方形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖，熟知常見幾何體的主視圖是解本題的關(guān)鍵.

2.2022年我國糧食總產(chǎn)量再創(chuàng)新高，達(dá)686530000噸.將數(shù)字686530000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.68653xlO8B.6.8653xlO8

C.6.8653xlO7D.68.653xlO7

【答案】B

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中14同＜10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)

變成〃時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值＞10時(shí)，〃是正數(shù);

當(dāng)原數(shù)的絕對值V1時(shí)，〃是負(fù)數(shù).

【詳解】解：686530000=6.8653x10、，

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1?同＜10,〃為

整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

3.如圖，一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上.如果/1=70。，那么N2的度數(shù)是（）

【答窠】A

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得N1=N3,再結(jié)合三角板的特征利用平角定義即可算出N2的度

數(shù).

/.Zl=Z3=70°,

.*.Z2=180°-90°-Z3=90°-70°=20°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)，三角形平角的定義，利用三角板的特點(diǎn)求已結(jié)果是解答本題的關(guān)鍵.

4.實(shí)數(shù)〃，匕在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

?gbi???.1A

-3-2-10123

A.ab>0B.a+b>0

C.a+3V6+3D.-3a<—3b

【答案】D

【解析】

［分析］根據(jù)題意可得-3<匕<-2,。=2,然后根據(jù)數(shù)的乘法和加法法則以及不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：由題意可得：-3<8<-2,4=2,所以

:.ab<0,a+h<0,a+3>b+3,-3a<-3b,

觀察四個(gè)選項(xiàng)可知：只有選項(xiàng)D的結(jié)論是正確的：

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸以及不等式的性質(zhì)，正確理解題意、得出-3<8<-2,々=2是解題的關(guān)

鍵.

5.下圖是度量衡工具漢尺、秦權(quán)、新莽銅卡尺和商鞅方升的示意圖，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【詳解】A、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意;

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

c、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.將一個(gè)圖形沿著一條直線翻折后，直線兩側(cè)能

完全重合的圖形是軸對稱圖形，將一個(gè)圖形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合的圖形是中心對稱圖形；軸

對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后

兩部分重合.

6.下列運(yùn)算正確是（）

A.a2a4=a8B.a4-a3=a

C.（"）=a5D.a4^a2=a2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)冢的乘除法、合并同類項(xiàng)、幕的乘方等運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即得答案.

【詳解】解：A、故本選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、/與-/不同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、（/丫=。6,故本選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；

D、a4-a2=a2,故本選項(xiàng)運(yùn)算正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)幕的乘除法、合并同類項(xiàng)、基的乘方等知識，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的

關(guān)鍵.

k

7.已知點(diǎn)A（-4,y）,8（-2,%），。（3*）都在反比例函數(shù)=一（攵＜0）的圖象上，則M，力，M的大

X

小關(guān)系為（）

A.%＜%＜升B.乂＜%＜%

C.%＜兇＜必D.%＜為〈,

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式中的比例系數(shù)k確定函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及函數(shù)

的增減性解答.

【詳解】解：???在反比例函數(shù)丁=&(&<0)中，k<0,

x

.?此函數(shù)圖象在一、四象限，

?1<一2<0,

二點(diǎn)A(-4,yj,8(—2,%)在第二象限，

??y>o，%>°，

函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)為增函數(shù)，-4<-2<0,

??°<y<%.

???3>o，/.C。,％)點(diǎn)在第四象限，

\為<0，

?.?%，力，必的大小關(guān)系為為<)'|<必,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及平面直角坐標(biāo)系中各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，比較

簡單.

8.從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參加圖書節(jié)志愿服務(wù)活動，其中甲同學(xué)是女生，乙、丙、

丁同學(xué)都是男生，被抽到的2名同學(xué)都是男生的概率為()

A.-B.；C.-D.—

3234

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意畫樹狀圖，再利用概率公式，即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

丁??共有12種情況，被抽到的2名同學(xué)都是男生的情況有6種,

...p——=一，

122

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，熟練掌握概率公式是解題關(guān)鍵.

9.如圖，在中，AB=AC,NB4C=36。，以點(diǎn)。為圓心，以3c為半徑作弧交AC于點(diǎn)O,再

分別以8,。為圓心，以大于1物的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P,作射線CP交A3于點(diǎn)￡,連接

2

DE.以下結(jié)論不,硬的是（）

A

「BE亞7口S^AEC_布+1

AC2S△的2

【答案】C

【解析】

【分析】由題意得，BC=DC，CE平分NA8C,根據(jù)三角形內(nèi)角和及角平分線判斷A即可；由角平分

線求出ZACE=36。=NA,得到AE=CE,根據(jù)三角形內(nèi)角和求出NBEC=72°=NB,得到CE=BC,

即可判斷B；證明得到空二g一，設(shè)AB=l,8C=x,則BE=l—x,求出x,即可

BCBE

判斷C；過點(diǎn)E作石G_L3C于G,EHIAHH,由角平分線的性質(zhì)定理推出EG=EH,即可根據(jù)三角

形面積公式判斷D.

【詳解】解：由題意得，BC=DC,CE平分/ABC,

??,在AABC中，AB=AC,NBAC=36。，

ZABC=ZACB=72°

?；CE平分NABC,

：.ZBCE=36°,故A正確;

???CE平分/ABC,ZACB=72°

???Z4CE=36°=ZA,

AE=CE,

VZABC=72°,48=36。，

：.ZBEC=72°=ZB.

：.CE=BC,

：.BC=AEf故B正確；

???NA=/BCE,ZABC=NCBE,

:./^ABCs^CBE,

ABBC

：,一=——,

BCBE

設(shè)4A=1,AC=x,則BE=1—x,

??―9

x\-x

：?x2=l-x?

.nr1后73-小

??BE=1----------=---------?

22

，匹二/5,故C錯(cuò)誤；

AC2

過點(diǎn)E作EGJ_BC于G,石”_LAC于”,

???CE1平分/AC3,EG1BC,EH工AC,

:?EG=EH

ACEH

：S^EC24s+\

故D正確;

S&BECL.BCEGbc2

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形等邊對等角，相似三角形的判定和性質(zhì)，角工分線的作圖及性質(zhì)，解一元

二次方程，熟練掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

io.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)P（x，y）,當(dāng)點(diǎn)Q（w，%）滿足2（冗1+毛）=?+%時(shí)，稱點(diǎn)

Q（W，%）是點(diǎn)。（不，X）的“倍增點(diǎn)”，已知點(diǎn)4（1,0），有下列結(jié)論:

①點(diǎn)2（3,8）,2（—2，—2）都是點(diǎn)6的“倍增點(diǎn)”；

②若直線y=x+2上的點(diǎn)A是點(diǎn)耳的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,4）；

③拋物線y=/一標(biāo)―3上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)耳的“倍增點(diǎn)”；

④若點(diǎn)B是點(diǎn)耳的“倍增點(diǎn)”，則4B的最小值是偵.

5

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】①根據(jù)題目所給“倍增點(diǎn)”定義，分別驗(yàn)證2,Q即可；②點(diǎn)4（。,。+2）,根據(jù)“倍增點(diǎn)”定

義，列出方程，求出。的值，即可判斷；③設(shè)拋物線上點(diǎn)『一2，-3）是點(diǎn)耳的“倍增點(diǎn)”，根據(jù)

“倍增點(diǎn)”定義列出方程，再根據(jù)判別式得出該方程根的情況，即可判斷；④設(shè)點(diǎn)3（孫〃），根據(jù)“倍增

點(diǎn)”定義可得2（根+1）=〃，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得《32=（機(jī)_I）2+〃2,把〃=2（6+1）代入化簡并

配方，即可得出AB?的最小值為日，即可判斷.

【詳解】解:①??＜。,0）,2（3,8）,

2（&+%）=2x（l+3）=8,y+y2=0+8=8,

???2（%+9）=乂+%，則Q（3,8）是點(diǎn)4的“倍增點(diǎn)”；

???［（1,0）,02（-2,-2）,

+%,）=2x（l-2）=-2,yj+y2=0-2=-2,

???2（x+x2）=y+%，則。2（—2,—2）是點(diǎn)<的“倍增點(diǎn)”；

故①正確，符合題意；

②設(shè)點(diǎn)A（a,a+2）,

???點(diǎn)4是點(diǎn)4的“倍增點(diǎn)”，

/?2x（1+a）=0+〃+2,

解得：a=0,

???A（0,2）,

故②不正確，不符合題意；

③設(shè)拋物線上點(diǎn)。（人/-2/-3）是點(diǎn)耳的“倍增點(diǎn)”，

2（1+。=廠一2/—3,整理得：尸一4，一5=0，

???△二（T『-4x1x（-5）=36>0,

，方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，即拋物線y=--2r-3上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)6的“倍增點(diǎn)”；

故③正確，符合題意；

④設(shè)點(diǎn)8（見〃），

???點(diǎn)&是點(diǎn)4的“倍增點(diǎn)”，

/.2（加+1）=〃,

V,[（1,0）,

???[§2=（6—1J+〃2

二（加-11+[2（加+1）[

=562+6/W+5

???1廣的最小值為

???的最小值是聘=卓,

故④正確，符合題意；

綜上：正確的有①?④，共3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義，解一元一次方程，一元二次方程根的判別式，兩點(diǎn)間的距離公式，解題

的關(guān)鍵是正確理解題目所給“倍增點(diǎn)”定義，根據(jù)定義列出方程求解.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.直接填寫答案.

II.因式分解：X2-16=.

【答案】(x+4)(x-4)

【解析】

【分析】

【詳解】x2-16=(x+4)(x-4),

故答案：(x+4)(x-4)

12.圍棋起源于中國，棋子分黑白兩色.一個(gè)不透明的盒子中裝有3個(gè)黑色棋子和若干個(gè)白色棋子，每個(gè)棋

子除顏色外都相同，任意摸出一個(gè)棋子，摸到黑色棋子的概率是1,則盒子中棋子的總個(gè)數(shù)是.

4

【答案】12

【解析】

【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的數(shù)量除以對應(yīng)概率，即可算出棋子的總數(shù).

【詳解】解：3--=12,

4

???盒子中棋子的總個(gè)數(shù)是12.

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題考查了簡單隨機(jī)事件概率的相關(guān)計(jì)算，事件出現(xiàn)的概率等于出現(xiàn)的情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

13.關(guān)于1的一元二次方程/一4工+2〃=0有實(shí)數(shù)根，則。的值可以是(寫出一個(gè)即可).

【答案】2(答案不唯一)

【解析】

【分析】由于方程有實(shí)數(shù)根，則其根的判別式ANO,由此可以得到關(guān)于。的不等式，解不等式就可以求出

〃的取值范圍，進(jìn)而得出答案.

t詳解】解：?.?關(guān)于丫的一元二次方程/4xI20=0有實(shí)數(shù)根,

:.△=/-4ac=（-4）"-4xlx2?>0?

即16-8心0,

解得：a<2>

，。的值可以是2.

故答案為：2（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程加+bx+c=O（awO）的根與判別式的關(guān)系，當(dāng)。>0時(shí)，方程有兩個(gè)不

相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)〃=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：當(dāng)。<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

14.如圖，正五邊形A8CDE的邊長為2，以A為圓心，以4B為半徑作弧鹿，則陰影部分的面積為

（結(jié)果保留乃）.

【答案】—

【解析】

【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出正五邊形的內(nèi)角和，再求出/A的度數(shù)，利用扇形面積公式計(jì)算即

可.

【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角和=（5—2卜180。=540。,

540°

.?Z=^-=108。,

5

2

r108^-26萬

mABE~360—5

故答案為：--.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積和正多邊形內(nèi)角和的計(jì)算，熟練掌握扇形面積公式和正多邊形內(nèi)角和公式是

解答本題的關(guān)鍵.

15.學(xué)校提倡“低碳環(huán)保，綠色出行“，小明和小亮分別選擇步行和騎自行車上學(xué)，兩人各自從家同時(shí)同向出

發(fā)，沿同一條路勻速前進(jìn).如圖所示，4和(分別表示兩人到小亮家的距離S(km)和時(shí)間，(h)的關(guān)系，則

【解析】

【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以訂算出小明和小亮的速度，從而可以解答本題.

【詳解】解：由題意和圖象可得，小明0.5小時(shí)行駛了6-3.5=2.5(km),

25

???小明的速度為：6M=5(km/h),

小亮0.4小時(shí)行駛了6km,

???小明的速度為：4=15(km/h),

設(shè)兩人出發(fā)加后兩人相遇，

A(15-5)X=3.5

解得工=0.35,

???兩人出發(fā)0.35后兩人相遇,

故答案為：0.35

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的

思想解答.

16.如圖，將菱形紙片A5C。沿過點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)。落在射線C4上的點(diǎn)E處，折痕CP交A。于

點(diǎn)P.若NA5C=30。，AP=2，則PE的長等于

p

【答窠】

【解析】

【分析】過點(diǎn)A作4Q_LPE于點(diǎn)°,根據(jù)菱形性質(zhì)可得NDAC=75。，根據(jù)折疊所得

ZE=ZD=30°,結(jié)合三角形的外角定理得出NE4P=45。，最后根據(jù)PQ=APcos450=J5,

區(qū)2二'^=#即可求解.

tan30°

【詳解】解：過點(diǎn)4作于點(diǎn)。，

???四邊形ABCO為菱形，ZABC=30%

：,AB=BC=CD=AC,ZABC=ZD=30°,

???ZDAC=1(180°-30°)=75°,

???△CPE由△CPD沿CP折疊所得，

???Z￡=ZD=30。，

oo

:.ZEE4=75-30°=45f

VAQ±PEtAP=2,

APQ=APcos450=y/2,WOAQ=PQ=y/2,

AQ

；?EQ=瓜,

tan30°

???PE=EQ+PQ=yf2+yf6t

故答案為：V2+V6.

E

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角

形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形和折疊的性質(zhì)，正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解.

三、解答題：本題共10小題，共86分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17計(jì)算：|-V3|+(^j+(^+l)°-tan60°.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值的意義、負(fù)整數(shù)指數(shù)累、零指數(shù)易以及特殊角的三角函數(shù)值分別計(jì)算后，再根據(jù)二次根

式加減運(yùn)算法則求解即可得到答案.

【詳解】解：+(^+l)°-tan60°

=6+2+1-行

=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的意義、負(fù)整數(shù)指數(shù)基運(yùn)算、零指數(shù)棄運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式加

減運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

2(x+2)>x+3①

18.解不等式組：入x+2…，并寫出它的所有整數(shù)解.

-<——②

35

【答案】-1VXV3,整數(shù)解為0,1,2

【解析】

【分析】分別求解兩個(gè)不等式，再寫出解集，最后求出滿足條件的整數(shù)解即可.

【詳解】解：解不等式①，得

解不等式②，得xv3,

在同一條數(shù)軸上表示不等式①②的解集，

原不等式組的解集是一1<x<3,

，整數(shù)解為0,1,2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式組的方法和步驟，

以及寫出不等式組解集的口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”.

19.已知：如圖，點(diǎn)。為YABCD對角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線與AD，8c分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn).

求證：DE=BF.

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出4?！?。，進(jìn)而得出/￡4。=//。。，NOEA=NOFC,

再證明/，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=C/，再利用線段的差得出

AD-AE=BC-CF,即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：???四邊形A3C。是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC.

：.ZEAO=ZFCO,ZOEA=ZOFC,

???點(diǎn)。為對角線AC的中點(diǎn)，

:.AO=CO,

???△AOEgACOF,

???AE=CF,

???AD-AE=BC-CF,

:.DE=BF.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

20.圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知48=Im,8c=0.6m,ZABC=123°,

該車的高度AO=L7m.如圖2,打開后備箱，車后蓋A3C落在ABC'處，AB’與水平面的夾角

NH4O=27°.

（1）求打開后備箱后，車后蓋最高點(diǎn)8'到地面/的距離；

（2）若小琳爸爸的身高為1.8m,他從打開的車后蓋C處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險(xiǎn)?請說明理由.

（結(jié)果精確到0.01m,參考數(shù)據(jù)：sin27°?0.454,cos27°?0.891,tan27°?0.510>a=1.732）

【答案】（1）車后蓋最高點(diǎn)*到地面的距離為2.15m

（2）沒有危險(xiǎn)，詳見解析

【解析】

【分析】（1）作？E_LA。，垂足為點(diǎn)E，先求出的長，再求出？E+AO的長即可；

（2）過。'作_LB'E,垂足為點(diǎn)尸，先求得ZAB'E=63°,再得到=ZABC-ZABE=60°,

再求得3N=3'C?cos600=0.3,從而得出C到地面的距離為2.15—0.3=1.85,最后比較即可.

【小問1詳解】

如圖，作B￡_L4Z），垂足為點(diǎn)E

ZB'AD=27°,Aff=AB=l

—翳

:.ffE-AG'sin27°?lx0.454=0.454

???平行線間的距離處處相等

???9E+47=0.454+1.7=2.154B2.15

答：車后蓋最高點(diǎn)9到地面的距離為2.15m.

【小問2詳解】

沒有危險(xiǎn)，理由如下:

過C'作C'/LZTE,垂足為點(diǎn)尸

:.48'七=63。

???ZAB,C=ZABC=123°

:.ZCB'F=AABC-ZAB'E=60°

在RhB'FC中，B'C'=BC=06

:.^F=BVcos60°=0.3.

???平行線間的距離處處相等

:.C到地面的距離為2.15-0.3=1.85.

V1.85>1.8

，沒有危險(xiǎn).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

21.2023年，國內(nèi)文化和旅游行業(yè)復(fù)蘇勢頭強(qiáng)勁.某社團(tuán)對30個(gè)地區(qū)“五一”假期的出游人數(shù)進(jìn)行了調(diào)

查，獲得了它們“五一”假期出游人數(shù)（出游人數(shù)用加表示，單位：百萬）的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整

理.數(shù)據(jù)分成5組：

A組：1<相<12；B組：12K〃z<23；C組：23<34；D組：34《用<45；E組：

45<m<56.

下面給出了部分信息：

a.8組的數(shù)據(jù)：12,13,15,16,17,17,18,20.

b.不完整的“五一”假期出游人數(shù)的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖如下：

請根據(jù)以上信息完成下列問題:

（1）統(tǒng)計(jì)圖中E組對應(yīng)扇形的圓心角為度;

（2）請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

（3）這30個(gè)地區(qū)“五一”假期出游人數(shù)的中位數(shù)是百萬;

（4）各組“五一”假期的平均出游人數(shù)如下表：

ABCDE

組別

l<m<1212</w<2323<AW<3434<m<4545<m<56

平均出游人數(shù)（百萬）5.51632.54250

求這30個(gè)地區(qū)“五一”假期的平均出游人數(shù).

【答案】（1）36（2）詳見解析

（3）15.5（4）20百萬

【解析】

【分析】（1）由E組的個(gè)數(shù)除以總個(gè)數(shù)，再乘以360。即可；

（2）先用。組所占百分比乘以總個(gè)數(shù)得出其個(gè)數(shù)，再用總個(gè)數(shù)減去A、B、D、E組的個(gè)數(shù)得出C組個(gè)

數(shù)，最后畫圖即可；

（3）根據(jù)中位數(shù)的定義可得出中位數(shù)為箕15和16個(gè)數(shù)的平均數(shù)，第15和16個(gè)數(shù)均在8組，求解即可;

（4）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的求解方法計(jì)算即可.

【小問1詳解】

3

—X360°=36°,

30

故答案為：36；

【小問2詳解】

。組個(gè)數(shù)：30xl0%=3個(gè)，

C組個(gè)數(shù)：30-12-8-3-3=4個(gè)，

補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：

t地區(qū)個(gè)數(shù)（頻數(shù)）

【小問3詳解】

011223344556人數(shù)/百萬

共30個(gè)數(shù)，中位數(shù)為第15和16個(gè)數(shù)的平均數(shù)，第15和16個(gè)數(shù)均在B組,

???中位數(shù)為空3=15.5百萬,

2

故答案為：15.5；

小問4詳解】

5.5x12+16x8+32.5x4+42x3+50x3___._

----------------------------------------------------------=20（z百萬）x，

30

答：這30個(gè)地區(qū)“五一”假期的平均出游人數(shù)是20百萬.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)分布直方圖的相關(guān)知識，涉及求扇形所對的圓心角的度數(shù)，畫頻數(shù)

分布直方圖，求中位數(shù)，求加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握知識點(diǎn)，并能夠從題目中獲取信息是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，AB，CO為OO的直徑，C為上一點(diǎn)，過點(diǎn)。的切線與A8的延長線交于點(diǎn)?，

NABC=2N8CP,點(diǎn)E是80的中點(diǎn)，弦CE，BO相交于點(diǎn)E.

----------

（1）求NOC8的度數(shù)；

（2）若所=3,求0。直徑的長.

【答案】（1）60°

⑵

【解析】

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，得出OC_LPC,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出NOC3+N5CP=90。，

再根據(jù)等邊對等角，得出NOC8=NOBC,再根據(jù)等量代換，得出NOCB=2NBCP,再根據(jù)

NOCB+N8CP=90。，得出2N5CP+N3CP=90。，即3NBC尸=90。，得出NBCP=30。，進(jìn)而計(jì)算

即可得出答案；

（2）連接0E，根據(jù)圓周角定理，得出ZD￡C=90°,再根據(jù)中點(diǎn)的定義，得出DE二EB，再根據(jù)同弧或

同弦所對的圓周角相等，得出NOCE=NEC8=ZroE=，NOC3=30。，再根據(jù)正切的定義，得出

2

OE=36，再根據(jù)30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，得出CO=2￡>E=6G，進(jìn)而即可得出答案.

【小問1詳解】

解：.；PC與OO相切于點(diǎn)C,

:.OC工PC,

???/OCB+/BCP=90。，

,：OB=OC,

:./OCB=/OBC,

???ZABC=2/BCP，

:./0CB=2/BCP,

:.2NBCP+NBCP=90°,即34BCP=90°,

:.ZBCP=30。，

???NOCB=2NBCP=60。；

【小問2詳解】

,Z￡)EC=90°,

???點(diǎn)E是30的中點(diǎn)，

?*,DE=EBf

???NDCE=ZECB=4FDE=-ZDCB=30°,

2

在Rt△口力石中，

°：EF=3,NFDE=30°,

在RtzXOEC中，

'：NDCE=30。，

:?CD=2DE=66

:.0。的直徑的長為6G.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余、等邊對等角、圓周角定理及其推論、銳角三角

函數(shù)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理.

23.某校開設(shè)智能機(jī)器人編程的校本課程，購買了4,5兩種型號的機(jī)器人模型.A型機(jī)器人模型單價(jià)比8

型機(jī)對人模型單價(jià)多200元，用2000元購買A型機(jī)器人模型和用1200元購買B型機(jī)器人模型的數(shù)量相同.

（1）求4型，8型機(jī)器人模型的單價(jià)分別是多少元？

（2）學(xué)校準(zhǔn)備再次購買A型和B型機(jī)器人模型共40臺，購買8型機(jī)器人模型不超過4型機(jī)器人模型的3

倍，且商家給出了兩種型號機(jī)器人模型均打八折的優(yōu)惠.問購買A型和8型機(jī)器人模型各多少臺時(shí)花費(fèi)最

少?最少花費(fèi)是多少元？

【答案】（1）A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是500元，8型編程機(jī)器人模型單價(jià)是300元

（2）購買A型機(jī)器人模型10臺和B型機(jī)器人模型30臺時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是11200元

【解析】

【分析】（1）設(shè)A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是無元，8型編程機(jī)器人模型單價(jià)是（X-200）元，根據(jù)：用2000

元購買A型機(jī)器人模型和用1200元購買B型機(jī)器人模型的數(shù)量相同即可列出關(guān)于x的分式方程，解方程并

檢驗(yàn)后即可求解；

（2）設(shè)購買A型編程機(jī)器人模型〃？臺，購買A型和B型編程機(jī)器人模型共花費(fèi)卬元，根據(jù)題意可求出〃?

的范圍和W關(guān)于〃，的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值

【小問1詳解】

解：設(shè)A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是x元，B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是（冗-200）元.

20001200

根據(jù)題意,得ZQ-----=-------

xx-200

解這個(gè)方程，得x=500

經(jīng)檢驗(yàn)，無=500是原方程的根.

X—200=300

答：4型編程機(jī)器人模型單價(jià)是500元，B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是300元.

【小問2詳解】

設(shè)購買A型編程機(jī)器人模型機(jī)臺，購買B型編程機(jī)器人模型（40-m）臺，購買A型和8型編程機(jī)器人模型

共花費(fèi)卬元，

由題意得：40-/2?<3/n,解得m210.

???w=500x0.8^+300x0.8（40-???）

即w=160/n+9600,

V160>0,

???w隨加的增大而增大.

???當(dāng)加=10時(shí)，w取得最小值11200,止匕時(shí)40二30；

答：購買4型機(jī)器人模型10臺和B型機(jī)器人模型30臺時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是11200元.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用和一次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題意、找準(zhǔn)相

等與不等關(guān)系、得出分式方程與不等式是解題的關(guān)鍵.

24.綜合與實(shí)踐

如圖1,某興趣小組計(jì)劃開墾一個(gè)面積為8m2的矩形地塊ABCO種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用

木欄圍住，木欄總長為an?.

D

BC

【問題提出】

小組同學(xué)提出這樣一個(gè)問題：若。=10,能否圍出矩形地塊？

【問題探究】

小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個(gè)問題：

設(shè)4?為mi,8c為)如.由矩形地塊面積為8m2,得到孫=8,滿足條件的(x,y)可看成是反比例函數(shù)

Q

y=一的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)；木欄總長為10m,得到2x+y=10,滿足條件的(x,y)可看成一次函

x

數(shù)丁=-2%+10的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的(x,力就可以看成兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)

的坐標(biāo).

Q

如圖2,反比例函數(shù)y=-(x>0)的圖象與直線小y=-2x+10的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,8)和,因此,

X

木欄總長為10m時(shí)，能圍出矩形地塊，分別為：A5=lm，BC=8m；或AB=⑶BC=

_________m.

y

（1）根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空.

【類比探究】

（2）若。=6,能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數(shù)圖象并說明理由.

【問題延伸】

當(dāng)木欄總長為am時(shí)，小穎建立了一次函數(shù)y=-2x+〃.發(fā)現(xiàn)直線y=-2式+?？梢钥闯墒侵本€y=-2x

Q

通過平移得到的，在平移過程中，當(dāng)過點(diǎn)（2,4）時(shí)，直線y=-2x+〃與反比例函數(shù)y=-（x>0）的圖象有

X

唯一交點(diǎn).

（3）請?jiān)趫D2中畫出直線y=-2x+。過點(diǎn)（2,4）時(shí)的圖象，并求出。的值.

【拓展應(yīng)用】

Q

小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問題”可以轉(zhuǎn)化為“y=-2工+。與》=一圖象在第一象限內(nèi)

x

交點(diǎn)的存在問題”.

（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且A3和5C的長均不小于1m,請直接寫出。的取值范圍.

【答案】3）（4,2）；4；2：（2）不能圍出，理由見解析；（3）圖見解析，a=8；（4）8<a<17

【解析】

【分析】（1）聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)表達(dá)式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可解答；

（2）根據(jù)。=6得出，y=-2x4-6,在圖中畫出y=-2x+6的圖象，觀察是否與反比例函數(shù)圖像有交點(diǎn)，

若有交點(diǎn)，則能圍成，否則，不能圍成；

（3）過點(diǎn)（2,4）作《的平行線，即可作出直線y=的圖象，將點(diǎn)（2,4）代入y=-2x+a,即可求

出。的值；

Q

（4）艱據(jù)存在交點(diǎn)，得出方程-2工+。=一（。>0）有實(shí)數(shù)根，根據(jù)根的判別式得出。之8,再得出反比例函

Q

數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)。,8),(8,1),則當(dāng)y=-2尤+。與卜=一圖象在點(diǎn)(1,8)左邊，點(diǎn)(8,1)右邊存在交點(diǎn)時(shí)，滿

X

足題意；根據(jù)圖象，即可寫出取值范圍.

Q

【詳解】解：(1)???反比例函數(shù)y=；(x>0),直線4：j=-2x+10,

8

y=一

，聯(lián)立得：rx,

y=-2x+10

x=1(x2=4

解得：父,引

[乂=8[y2=2

???反比例函與直線4：y=-2%+10的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,8)和(4,2),

當(dāng)木欄總長為10m時(shí)，能圍出矩形地塊，分別為：A8=lm,8C=8m；或AB=4m，BC=2m.

故答案為：(4,2)4；2.

(2)不能圍出.

???木欄總長為6m,

，2x+y=6,則y=-2x+6,

畫出宜線)=-2%+6的圖象，如圖中4所示：

Q

???與與函數(shù)y=一圖象沒有交點(diǎn)，

X

???不能圍出面積為8m2的矩形；

(3)如圖中直線％所示，4即為丁=-2)+。圖象，

將點(diǎn)(2,4)代入y=-2x+a,得：4=-2x2+〃，

解得3=8；

y

Q

(4)根據(jù)題意可得：若要圍出滿足條件的矩形地塊，y=-2x+a與)，二一圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的存在

x

問題，

Q

即方程-2x+a=—(〃>0)有實(shí)數(shù)根，

整理得：2x2-ar+8=0，

AA=(-?)2-4X2X8>0,

解得：a>8,

QQ

把x=1代入y=-得：y=-=8,

x1

???反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,8),

QQ

把y=l代入y=一得：1=一，解得：、=8,

XX

.?.反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(長1),

令4(1,8),8(8,1),過點(diǎn)4(1,8),8(8,1)分別作直線)的平行線,

Q

由圖可知，當(dāng)丁=-21+々與》=一圖象在點(diǎn)A左邊，點(diǎn)B右邊存在交點(diǎn)時(shí)，滿足題意；

x

把(8,1)代入y=-2x+a得：1=一16+〃，

解得：4=17,

A8<6t<17.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意得出等量關(guān)

系，掌握待定系數(shù)法，會根據(jù)函數(shù)圖形獲取數(shù)據(jù).

25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCO的頂點(diǎn)A,B在X軸上，C(2,3),D(-l,3).拋物線

丫=加-2dx+c（a<0）與％軸交于點(diǎn)￡1（一2,0）和點(diǎn)F.

（2）如圖2,在（1）的條件下，連接C/，作直線CE,平移線段。尸，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)P落在直線

CE上，點(diǎn)尸的對應(yīng)點(diǎn)。落在拋物線上，求點(diǎn)。的坐標(biāo);

（3）若拋物線y=ad-2G*+c（4vO）與正方形ABCD恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】⑴尸一如+三川,尸（4,0）；

84

（2）（-4,-6）；

133

（3）——<。<0或——<a<——

358

【解析】

【分析】⑴將點(diǎn)C（2,3）,E（-2,0）代入弛物線y=ajc2-2ax+c,利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式,

再令）=0,求出“值，即可得到點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線8的表土式為產(chǎn)區(qū)+以將點(diǎn)C（2,3）,E（-2,0）代入解析式，利用待定系數(shù)法求出直線

CE的表達(dá)式為：y=-x+-,設(shè)點(diǎn)。1,一W產(chǎn)+.，+3｝根據(jù)平移的性質(zhì)，得到點(diǎn)

pt-2--t2+-t+6,將點(diǎn)P代入y==x+=,求出，的值，即可得到點(diǎn)。的坐標(biāo)；

I84J42

（3）根據(jù)正方形和點(diǎn)C的坐標(biāo)，得出8C=3,08=2,0A=1,將E（—2,0）代入y=a^一2"+。，

求得），=以2一2公一8。=。（工一1）2-9。，進(jìn)而得到頂點(diǎn)坐標(biāo)（1,一9〃），分兩種情況討論：①當(dāng)拋物線頂點(diǎn)

在正方形內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)拋物線與直線8C交點(diǎn)在點(diǎn)C上方，且與直線AO交點(diǎn)在點(diǎn)0下方時(shí)，分別列出不

等式組求解，即可得到答案.

【小問1詳解】

解：拋物線y=--2or+c過點(diǎn)C（2,3）,E（-2,0）

3

4〃一4。+。=3a=—

4〃+4"c=?！獾茫?,

c=3

33

拋物線表達(dá)式為y=--x2+-x+3,

84

當(dāng)y=0時(shí)，一己/+?x+3=o,

84

解得：*二-2（舍去），X2=4,

.一（4,0）；

【小問2詳解】

解：設(shè)直線CE的表達(dá)式為'=履+》，

???直線過點(diǎn)C（2,3）,E（-2,0）,

3

Kf=—

2k+b=34

解得:

-2k+b=0z3

2

33

???直線CE的表達(dá)式為：y=-x+-,

42

33

???點(diǎn)。在拋物線y=—+二x+3上,

84

（33

，設(shè)點(diǎn)。乙一二/+：，+3

（84

?.?。（2,3）,網(wǎng)4,0）,且PQ由b平移得至九

（Q3

.??點(diǎn)。向左平移2個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)尸一2,入7+6

/33133

二.將Pt—2,—廠+—Z+6代入y=-x—,

I84；42

3/八\3323,

:.-(t-2)+-=——r+T+6,

4V7284

整理得：『=16，

解得：。=-4,q=4(舍去)，

3、,3

當(dāng)x=-4時(shí)，y=--x(^)_+-x(^)+3=-6

。點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,-6)：

【小問3詳解】

解：四邊形ABCO是正方形，C(2,3),

BC=AB=3,03=2,

..OA-A/3-OB-\,

點(diǎn)A和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-1,點(diǎn)8和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2,

將七(一2,0)代入y=0^2-2ar+c,得:c--Sa,

/.y=ax1-2or-8?=a(x-l)"-9a?

?.?頂點(diǎn)坐標(biāo)為(l,-9a),

①如圖，當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在正方形內(nèi)部時(shí)，與正方形有兩個(gè)交點(diǎn),

-9d<3

解得：—<。<0；

-9a>03

②如圖，當(dāng)拋物線與直線BC交點(diǎn)在點(diǎn)C上方，且與直線A。交點(diǎn)在點(diǎn)。卜方時(shí)，與正方形有兩個(gè)交點(diǎn),

4x2?-2ax2-8a>333

/、，.,解得：——

ax(-l)-2〃x(-1)-8a<358

133

綜上所述，〃的取值范圍為---<4<0或------------.

358

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)，

函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特