15高中數(shù)學(xué)新教材課堂導(dǎo)學(xué)案（求軌跡方程）及答案

課堂導(dǎo)學(xué)（求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程）【知識點(diǎn)】一、求軌跡方程的三種方法：1.直譯法：從“幾何條件”到“代數(shù)方程”：（1）設(shè)所求動(dòng)點(diǎn)為；（2）列該動(dòng)點(diǎn)的幾何條件（距離或斜率）；（3）“翻譯”成未知數(shù)的方程；（4）化簡該方程；（5）檢驗(yàn)方程.2.代入法：所求動(dòng)點(diǎn)隨著已知?jiǎng)狱c(diǎn)在動(dòng)（已知點(diǎn)所在的軌跡方程）（1）設(shè)，；（2）列出與的代數(shù)關(guān)系式（中點(diǎn)坐標(biāo)公式，或向量關(guān)系式，等等）；（3）解出，，代入的軌跡方程；（4）化簡.3.定義法：（1）判斷動(dòng)點(diǎn)滿足哪種定義（直線，圓，橢圓，雙曲線，拋物線的定義）（2）求相應(yīng)類型的軌跡方程.二、常見結(jié)論：1.阿波羅尼斯圓：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（k＞0，k≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓；2.橢圓（或雙曲線）上任意點(diǎn)與兩個(gè)長軸（實(shí)軸）端點(diǎn)的連線的斜率之積為定值.【典例】例1.（直譯法）求滿足以下條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程：（1）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到與到的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；答案：（2）（課本P97）已知，，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與點(diǎn)的距離之比的倍，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.答案：（3）（課本P108）設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，.直線，相交于點(diǎn)，且它們斜率之積是，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.答案：（）例2.（代入法）求滿足以下條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程：（1）（課本P87）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；答案：（2）（課本P108）在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段的中點(diǎn)的軌跡.答案：例3.（定義法）（1）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．【解析】：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即．∴點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：．說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程．這是求軌跡方程的一種重要思想方法．（2）若動(dòng)圓過定點(diǎn)且和定圓外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是___________.思路：定圓的圓心為，觀察到恰好與關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以考慮點(diǎn)軌跡是否為橢圓或雙曲線，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則有，由兩圓外切可得，所以，即距離差為定值，所以判斷出的軌跡為雙曲線的左支，則，解得，所以軌跡方程為答案：小煉有話說：本題從所給條件中的對稱定點(diǎn)出發(fā)，先作一個(gè)預(yù)判，從而便可去尋找符合定義的要素，即線段的和或差。要注意本題中，所以軌跡為雙曲線的一支?！咀鳂I(yè)】1．方程表示的軌跡為（C）A．點(diǎn)B．點(diǎn)與點(diǎn)C．直線或直線D．直線與直線的公共點(diǎn)2．已知、,則以為斜邊的直角三角形直角頂點(diǎn)的軌跡方程是（D）A． Ｂ．Ｃ．（） Ｄ．（）3.已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足方程，則的軌跡方程可化為（D）A． Ｂ．Ｃ． Ｄ．4．動(dòng)點(diǎn)分別與點(diǎn)和點(diǎn)的連線，所得兩直線的斜率之積等于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（B）A．B．C．D．5．已知兩圓C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由兩圓外切和內(nèi)切，得出圓心距與兩圓的半徑和差的關(guān)系，設(shè)出動(dòng)圓的半徑，消去，再由圓錐曲線的定義，可得動(dòng)圓的圓心的軌跡，進(jìn)一步求出其方程.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為圓與圓:內(nèi)切，與C2：外切.所以.由橢圓的定義，的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸為16的橢圓.則，所以動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為：故選：D【點(diǎn)睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系以及判斷方法和動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，橢圓的定義，屬于中檔題.6．已知定點(diǎn)，，M是：上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)為N，線段的中垂線與直線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．直線【答案】A【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合圖分析點(diǎn)P到，的距離只差可知.【詳解】由題意及圖可知，，因?yàn)镺、M分別為的中點(diǎn)，所以，所以故點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長的雙曲線.故選：A二、填空題7.（2017新課標(biāo)II）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程為.8．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離的之比為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.9．（2011山西）是圓上的的動(dòng)點(diǎn)，是在軸上的射影，為上一點(diǎn)，且，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則的軌跡方程為.10．已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，且存在一定點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡的方程為.11．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為____________________．答案x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)12.（2008江蘇）若,，則的最大值為.13．（2016新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)圓的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（I）證明為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；14.（2011廣東理）設(shè)圓與兩圓，中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.15.（2010四川理）已知，定直線：，不在軸上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它到直線的距離的2倍，求點(diǎn)的