專(zhuān)題13 直角三角形中30°性質(zhì)應(yīng)用的4種壓軸題型全攻略（原卷版）

專(zhuān)題13直角三角形中30性質(zhì)應(yīng)用的4種壓軸題型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一用30的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度的計(jì)算】 1【考點(diǎn)二用30的性質(zhì)求等邊三角形的計(jì)算】 2【考點(diǎn)三用30的性質(zhì)求圖形運(yùn)動(dòng)相關(guān)計(jì)算】 2【考點(diǎn)四30的性質(zhì)應(yīng)用的拓展提高】 3【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 4【典型例題】【考點(diǎn)一用30的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度的計(jì)算】【例題1】如圖，，，則（）

A．2 B．1.5 C． D．1【變式1】如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（）A．10 B．12 C．14 D．16【變式2】如圖，在中，，，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．15 B．20 C．9 D．12【變式3】如圖，它是房架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁的中點(diǎn)，立柱、垂直于橫梁，，，則是（）米．

A．2 B．4 C．8 D．【考點(diǎn)二用30的性質(zhì)求等邊三角形的計(jì)算】【例題2】如圖：是等邊三角形，，，相交于點(diǎn)P，于Q，，，則的長(zhǎng)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式1】已知如圖四邊形，連接，是等邊三角形，，，則的面積為（

）

A． B． C． D．【變式2】如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且，若，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【變式3】已知，如圖，是等邊三角形，，于Q，交于點(diǎn)P，下列說(shuō)法：①，②，③，④，其正確的個(gè)數(shù)有（

）個(gè)

A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)三用30的性質(zhì)求圖形運(yùn)動(dòng)相關(guān)計(jì)算】【例題3】如圖，中，，，，，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使得點(diǎn)恰好落在上，與交于點(diǎn)D，則的面積為（

）

A． B． C．5 D．【變式1】如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，連接，則線段的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．1 C．2 D．【變式2】如圖，在中，，，點(diǎn)D、E分別在邊上，連接，將沿折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在邊上，若，，則的長(zhǎng)是（）

A．10 B．12 C．13 D．14【變式3】如圖，長(zhǎng)方形沿著折疊，使D點(diǎn)落在邊上的F點(diǎn)處．如果，，則長(zhǎng)方形的面積是（

）

A．12 B．16 C．18 D．20【考點(diǎn)四30的性質(zhì)應(yīng)用的拓展提高】【例題4】如圖1是深圳地鐵站入口的雙翼閘機(jī)．如圖2，它的雙翼展開(kāi)時(shí)，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為，雙翼的邊緣，且與閘機(jī)側(cè)立面夾角．當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過(guò)閘機(jī)的物體的最大寬度為（

）

A． B． C． D．【變式1】如圖，在中，已知，，點(diǎn)在邊上，，把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）度后，如果點(diǎn)恰好落在初始的邊上，那么________

【變式2】如圖，在等腰中，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．當(dāng)

且時(shí)，若，則的面積為_(kāi)________．【變式3】如圖，，點(diǎn)、、、在射線上，點(diǎn)、、在射線上，、、均為等邊三角形，依此類(lèi)推，若，則的邊長(zhǎng)為（

）．

A． B． C． D．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．如圖，已知平分，于點(diǎn)E，，，，則（

）

A．1 B．2 C．3 D．42．如圖所示，長(zhǎng)方形沿著折疊，使D點(diǎn)落在邊上的F點(diǎn)處．如果，則長(zhǎng)方形的面積是（

）

A．8 B．6 C．4 D．103．如圖，在中，，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在邊上，且，若，則的長(zhǎng)等于(

)

A．1 B． C．2 D．二、填空題4．如圖，是等邊三角形，平分，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且，，則______．

5．如圖，中，，，點(diǎn)M，N在底邊上，若，，那么線段與之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______．6．如圖，是等邊三角形，點(diǎn)D是邊上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．若，則_________．

7．如圖，在中，分別過(guò)B，C作中線所在的直線的垂線，垂足分別為F，D，若，，則________．8．如圖，中，，，是線段上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，連接，若，，，則線段長(zhǎng)為_(kāi)________．

9．如圖，在中，，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在、的延長(zhǎng)線上，且，連．若，則的長(zhǎng)是________．10．如圖，中，在邊上取一點(diǎn)，連接，使，在邊上取一點(diǎn)，使，若，，，_________．

11．如圖，在中，，，，點(diǎn)D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，在線段的右側(cè)作等邊，連接，線段的最小值是_________．

12．如圖，在等邊中，、兩點(diǎn)分別在邊、上，，連接、，并延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，，若，時(shí)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________.

13．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，連接DE，將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'.若點(diǎn)B'剛好落在邊AC上，∠CB'E=30°，CE=3，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_______.14．如圖，在等邊中，，點(diǎn)E為高上的一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針就轉(zhuǎn)得到線段，連接，則的最小值為_(kāi)________．

三、解答題15．如圖，在中，，D是中點(diǎn)，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且．(1)用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)求的長(zhǎng)．16．如圖，在等邊中，點(diǎn)D為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)D為中心，把線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，過(guò)點(diǎn)F作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)用等式表示線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，連接，，線段與交于點(diǎn)O，求的度數(shù)．17．如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在等邊的三條邊上，且，．

(1)若，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若是直角