第31講三角函數(shù)的應用（思維導圖3知識點5考點過關檢測）（原卷版）

第31講三角函數(shù)的應用模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，并會用三角函數(shù)模型解決一些簡單的實際問題.2．實際問題抽象為三角函數(shù)模型.知識點1函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意義1、簡諧運動的振幅就是A.2、簡諧運動的周期T＝eq\f(2π,ω).3、簡諧運動的頻率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).4、ωx＋φ稱為相位．5、x＝0時的相位φ稱為初相．知識點2三角函數(shù)模型的簡單應用1、三角函數(shù)模型：三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．實際問題通常涉及復雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用信息技術．2、運用三角函數(shù)模型解決問題的幾種類型（1）由圖象求解析式：首先由圖象確定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根據(jù)圖象特征確定解析式中的字母參數(shù)，在求解過程中還要結合函數(shù)性質．（2）由圖象研究函數(shù)的性質：通過觀察分析函數(shù)圖象，能得出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性．（3）利用三角函數(shù)研究實際問題：首先分析、歸納實際問題，抽象概括出數(shù)學模型，再利用圖象及性質解答數(shù)學問題，最后解決實際問題．知識點3三角函數(shù)模型的建立1、建立三角函數(shù)模型的步驟2、建立三角函數(shù)擬合模型的注意事項（1）在由圖象確定函數(shù)的解析式時，注意運用方程思想和待定系數(shù)法來確定參數(shù)．（2）在已知解析式作圖時要用類比的方法將陌生的問題轉化成熟悉的問題．（3）在應用三角函數(shù)模型解答應用題時，要善于將符號、圖形、文字等各種語言巧妙轉化，并充分利用數(shù)形結合思想直觀地理解問題．考點一：三角函數(shù)在物理中的應用例1．（2324高一下·遼寧沈陽·月考）阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業(yè)工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減振裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”.某阻尼器模型的運動過程可近似看為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數(shù)關系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動過程中連續(xù)三次位移為的時間分別為，，，且，，則在一個周期內(nèi)阻尼器偏離平衡位置的位移的大小小于1.5cm的總時間為（

）A． B． C． D．【變式11】（2324高一下·遼寧·期中）（多選）在物理學中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運動稱為“簡諧運動”.在適當?shù)闹苯亲鴺讼迪?，某個簡諧運動可以用函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．，頻率為，初相為B．函數(shù)的圖象關于直線對稱C．函數(shù)在上的值域為D．若在上恰有4個零點，則m的取值范圍是【變式12】（2324高三下·重慶·月考）（多選）如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在時相對于平衡位置的高度（單位：）由關系式確定，其中.小球從最高點出發(fā)，經(jīng)過后，第一次回到最高點，則（

）

A．B．C．與時的相對于平衡位置的高度之比為D．與時的相對于平衡位置的高度之比為2【變式13】（2324高一下·北京·期中）在近期學校組織的論文展示大賽中，同學們發(fā)現(xiàn)數(shù)學在音樂欣賞中起著重要的作用純音的數(shù)學模型是三角函數(shù)如音叉發(fā)出的純音振動可表示為，其中表示時間，表示純音振動時音叉的位移我們聽到的每個音是由純音合成的，若某合音的數(shù)學模型為函數(shù)，且聲音的質感與的參數(shù)有關，比如：音調(diào)與聲波的振動頻率有關，頻率低的聲音低沉，頻率高的聲音尖利．（1）當時，函數(shù)的對稱中心坐標為；（2）當時，合音的音調(diào)比純音（填寫“高”或“低”）．考點二：三角函數(shù)在生活中的應用例2．（2324高一下·江西萍鄉(xiāng)·期末）如圖所示是一個主體高為的螺旋形旋轉滑梯.某游客從該滑梯頂端出發(fā)一直滑到底部，把其運動軌跡投影到滑梯的軸截面上，得到的曲線對應的方程為（，）（，的單位：），若該游客整個運動過程中相位的變化量為，則的值為（

）A． B． C． D．【變式21】（2324高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）某市一年中的月平均氣溫與月份的關系可近似用函數(shù)來表示已知6月份的月平均氣溫為，12月份的月平均氣溫為，則10月份的月平均氣溫為（

）A． B． C． D．【變式22】（2324高一下·北京·期中）一架飛機從北京向南飛行1935公里到達廣州，假設在廣州白云國際機場上空的等待航線是圓形，飛機到達機場上空后，繼續(xù)沿原航線向南飛行20公里后，開始在直徑40公里的圓形等待航線上飛行，飛機每15分鐘飛行一周，如圖所示，設飛機在等待航線上飛行的時間為t小時，飛機從北京出發(fā)向南的飛行距離為，可以近似地表示為，則，．【變式23】（2324高一下·江西南昌·期中）4月11日至13日，我校組織高一高二全體師生一千六百余人前往九江、景德鎮(zhèn)、上饒、撫州等地開展為期三天的融研學實踐活動，湯顯祖文化館是此次研學的路線點之一，該文化館每年都會接待大批游客.在該文化館區(qū)的一家專門為游客提供住宿的客棧中，工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準備的食物有些月份剩余較多，浪費很嚴重.為了控制經(jīng)營成本，減少浪費，計劃適時調(diào)整投入.為此他們統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個月份來客棧入住的游客人數(shù)呈周期性變化，并且有以下規(guī)律：①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400；③2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增，在8月份達到最多.(1)試用一個正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關系；(2)請問客棧在哪幾個月份要準備400份以上的食物？考點三：三角函數(shù)在圓周中的應用例3.（2324高一下·遼寧沈陽·月考）某游樂場的摩天輪示意圖如圖，已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點與地面的距離為2米，沿逆時針方向勻速旋轉，旋轉一周所需時間為分鐘．在圓周上均勻分布12個座艙，標號分別為1～12（可視為點），在旋轉過程中，座艙與地面的距離與時間的函數(shù)關系基本符合正弦函數(shù)模型，現(xiàn)從圖示位置，即1號座艙位于圓周最右端時開始計時，旋轉時間為分鐘．(1)求1號座艙與地面的距離與時間的函數(shù)關系的解析式；(2)在前24分鐘內(nèi)，求1號座艙與地面的距離為17米時的值；【變式31】（2324高一上·江蘇無錫·期末）深圳別稱“鵬城”，“深圳之光”摩天輪是中國之眼游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉，可以從高處俯瞰四周景色如圖，游樂場中的摩天輪勻速旋轉，每轉一圈需要，其中心距離地面，半徑如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時，經(jīng)過時間單位：之后，請解答下列問題．(1)求出你與地面的距離單位：與時間之間的函數(shù)解析式；(2)當你登上摩天輪后，你的朋友也在摩天輪最低處登上摩天輪，求兩人距離地面的高度差單位：關于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值．【變式32】（2324高一下·廣東廣州·月考）近年，我國短板農(nóng)機裝備取得突破，科技和裝備支撐穩(wěn)步增強，現(xiàn)代農(nóng)業(yè)建設扎實推進．農(nóng)用機械中常見有控制設備周期性開閉的裝置．如圖所示，單位圓O繞圓心做逆時針勻速圓周運動，角速度大小為，圓上兩點A，B始終滿足，隨著圓O的旋轉，A，B兩點的位置關系呈現(xiàn)周期性變化．現(xiàn)定義；A，B兩點的豎直距離為A，B兩點相對于水平面的高度差的絕對值．假設運動開始時刻，即秒時，點A位于圓心正下方：則秒時，A，B兩點的豎直距離第一次為0；A，B兩點水平面的豎直距離關于時間t的函數(shù)解析式為．【變式33】（2324高一下·四川成都·期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應用.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形(圓)，筒車半徑為，筒車轉輪的中心到水面的距離為，筒車每分鐘沿逆時針方向轉動3圈.規(guī)定:盛水筒對應的點從水中浮現(xiàn)(即時的位置)時開始計算時間，且以水輪的圓心為坐標原點，過點的水平直線為軸建立平面直角坐標系.設盛水筒從點運動到點時所經(jīng)過的時間為(單位:)，且此時點距離水面的高度為(單位:)(在水面下則為負數(shù))(1)求與時間之間的關系.(2)求點第一次到達最高點需要的時間為多少?在轉動的一個周期內(nèi)，點在水中的時間是多少?考點四：擬合法建立三角函數(shù)模型例4.（2324高一下·北京昌平·期末）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)某天的時間與水深值（單位：）的部分記錄表.時間0:003:006:009:0012:00水深值5.07.55.02.55.0據(jù)分析，這個港口的水深值與時間的關系可近似的用三角函數(shù)來描述.試估計13：00的水深值為（

）A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67【變式41】（2223高二下·貴州遵義·月考）彈簧振子的振動是簡諧振動.下表給出了振子在完成一次全振動的過程中的事件t與位移s之間的測量數(shù)據(jù)，那么能與這些數(shù)據(jù)擬合的振動函數(shù)的解析式為（

）t0123456789101112s0.110.31.720.017.710.30.1A．， B．C． D．，【變式42】（2324高一下·湖北武漢·月考）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期現(xiàn)象.某海濱浴場內(nèi)水位（單位：）是時間，單位：的函數(shù)，記作，下面是某天水深的數(shù)據(jù)：0369121518212421.511.521.511.52經(jīng)長期觀察，的曲線可近似的滿足函數(shù).(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，作出函數(shù)簡圖，并求出函數(shù)一個近似表達式；(2)一般情況下，水深超過1.25米該海濱浴場方可開放，另外，當水深超過1.75米時，由于安全原因，會被關閉，那么該海濱浴場在一天內(nèi)的上午7：00到晚上19：00，有多長時間可以開放？【變式43】（2324高一上·浙江溫州·期末）下表是地一天從時的

部分時刻與溫度變化的關系的預報，現(xiàn)選用一個函數(shù)來近似描述溫度與時刻的關系．時刻/h26101418溫度/℃2010203020(1)寫出函數(shù)的解析式：(2)若另一個地區(qū)這一天的氣溫變化曲線也近似滿足函數(shù)且氣溫變化也是從到，只不過最高氣溫都比地區(qū)早2個小時，求同一時刻，地與地的溫差的最大值．考點五：三角函數(shù)在幾何中的應用例5．（2324高一下·山東青島·月考）如圖所示，海爾學校要在操場上一個扇形區(qū)域內(nèi)開辟一個矩形花園ABCD，現(xiàn)已知扇形圓心角為，扇形半徑為10，則該矩形花園的面積的最大值為．【變式51】（2324高一下·遼寧大連·期中）校園里有個如圖的半徑為4，圓心角為的扇形花壇，P是圓弧上一點（不包括A，B），點M，N分別在半徑，上.為美化校園，分別在四邊形，和種植紅色，黃色的牡丹花，其余地方種植綠草點綴.(1)若種植紅色牡丹的四邊形為矩形，求其面積最大值；(2)若種植黃色牡丹的和均為直角三角形，求它們面積之和的取值范圍.【變式52】（2324高一下·上海嘉定·期中）如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形的形狀，它的下底是半圓的直徑，上底的端點在圓周上．記．（提示：直徑所對的圓周角是直角，即圖中）(1)用表示的長；(2)若，求如圖中陰影部分的面積；(3)記梯形的周長為，將表示成的函數(shù)，并求出的最大值．【變式53】（2324高一下·廣東佛山·月考）如圖所示，某市政府計劃在該扇形地域內(nèi)建設圖書館，為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào)，要求該圖書館底面矩形CDEF的四個頂點都落在邊界上．經(jīng)過測量，扇形的半徑為60m，，．記弧的中點為G，連接OG，分別與EF，CD交于點M，N，連接OF，設．(1)求矩形CDEF的面積關于α的函數(shù)；(2)請說明F點向G靠近時矩形CDEF的面積變化情況；(3)求矩形CDEF的最大面積．一、單選題1．（2324高一下·河南南陽·月考）阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業(yè)工程裝置．我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減振裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”．某阻尼器模型的運動過程可近似看為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數(shù)關系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動過程中連續(xù)三次位移為的時間分別為，，，且，，則在一個周期內(nèi)阻尼器偏離平衡位置的位移的大小小于的總時間為（

）A． B． C． D．2．（2223高一下·重慶沙坪壩·期中）如圖，一根絕對剛性且長度不變、質量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動．若線長為lcm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關系是，取，如果沙漏從離開平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，則線長約為（

）cm．（精確到0.1cm）A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.73．（2324高一上·廣東湛江·期末）如圖是摩天輪的示意圖，已知摩天輪半徑為40米，摩天輪中心到地面的距離為41米，每30分鐘按逆時針方向轉動1圈．若初始位置是從距地面21米時開始計算時間，以摩天輪的圓心為坐標原點，過點的水平直線為軸建立平面直角坐標系．設從點運動到點時所經(jīng)過的時間為（單位：分鐘），且此時點距離地面的高度為（單位：米），則是關于的函數(shù)．當時，（

）

A． B．C． D．4．（2324高二下·湖北武漢·期末）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械游樂設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪等距離設置有60個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周需要.已知在轉動一周的過程中，座艙距離地面的高度關于時間（min）的函數(shù)關系式為，若甲?乙兩人的座艙之間有4個座艙，則甲?乙兩人座艙高度差的最大值為（

）A． B． C． D．5．（2324高一下·江西宜春·期中）某賣場去年1至12月份銷售某款飲品的數(shù)量（單位：萬件）與月份x近似滿足函數(shù)，已知在上單調(diào)，且對任意的，都有，若，則該賣場去年銷售該款飲品的月銷量不低于65萬件的月份有（

）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個6．（2324高一上·天津濱海新·期末）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.由于受潮汐的影響，某港口一天中各時刻的水位高低相差很大.如圖，已知該港口某天從8時至14時的水深（單位：）與時刻的關系可用函數(shù)近似刻畫，其中，，.據(jù)此可估計該港口當天9時的水深為（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2324高一下·湖北孝感·期中）如圖，一個半徑為3米的筒車按逆時針方向每分鐘轉1.5圈，筒車的軸心距離水面的高度為1.5米.設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下則為負數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，則與時間（單位：秒）之間的關系為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．盛水筒出水后至少經(jīng)過秒就可到達最低點D．盛水筒在轉動一圈的過程中，在水中的時間為秒8．（2324高一下·湖北·期中）主動降噪耳機讓我們在嘈雜的環(huán)境中享受一絲寧靜，它的工作原理是：先通過微型麥克風采集周圍的噪聲，然后降噪芯片生成與振幅相同的反相位聲波來抵消噪聲，已知某噪聲的聲波曲線函數(shù)為，且經(jīng)過點，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期 B．C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．函數(shù)是奇函數(shù)三、填空題9．（2324高一下·北京海淀·期中）某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關系可近似地用三角函數(shù)來表示.已知6月份的平均氣溫最高為，12月份的月平均氣溫最低為，此函數(shù)的最小正周期