2024年全國(guó)一卷數(shù)學(xué)新高考題型細(xì)分S13圓錐曲線(xiàn)單選填空7拋物線(xiàn)其他

2024年全國(guó)一卷新高考題型細(xì)分S13——圓錐曲線(xiàn)單選填空7拋物線(xiàn)、其他試卷主要是2024年全國(guó)一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計(jì)202套。其中全國(guó)高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時(shí)候，答案也會(huì)被復(fù)制過(guò)去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號(hào)可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個(gè)人經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分類(lèi)，沒(méi)有固定的標(biāo)準(zhǔn)。《圓錐曲線(xiàn)——單選填空》題目分類(lèi)有：橢圓（易~中檔），雙曲線(xiàn)（易~中檔），拋物線(xiàn)（易~中檔），其他等，大概251道題。拋物線(xiàn)（中下）：（2024年浙J08強(qiáng)基聯(lián)盟三月，末）8.設(shè)點(diǎn)，，是拋物線(xiàn)上3個(gè)不同的點(diǎn)，且，若拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)，使得線(xiàn)段總被直線(xiàn)平分，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（【答案】A【解析】【分析】說(shuō)明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),并求出關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)代入拋物線(xiàn)即可求解.【詳解】設(shè)，，，則,同理，故直線(xiàn)方程為：，整理得,①由得整理得,②【答案】A【解析】【分析】說(shuō)明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),并求出關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)代入拋物線(xiàn)即可求解.【詳解】設(shè)，，，則,同理，故直線(xiàn)方程為：，整理得,①由得整理得,②由①②兩式得，即直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即為點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，代入得，解得.故選:A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線(xiàn)中的定點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵是利用垂直得斜率的關(guān)系進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo).（2024年浙J07金麗衢二聯(lián)）6.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，以F為圓心的圓交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線(xiàn)于C，D兩點(diǎn)，若四邊形ABCD是矩形，則圓的方程為（【答案】D【解析】【分析】依題意知，圓的圓心坐標(biāo)為，且點(diǎn)為該矩形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離與點(diǎn)到的距離相等，可求得直線(xiàn)的方程為：，從而可求得點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得圓的半徑，于是可得答案.【詳解】解：由題可得：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以圓的圓心坐標(biāo)為，因?yàn)樗倪呅蜛BCD【答案】D【解析】【分析】依題意知，圓的圓心坐標(biāo)為，且點(diǎn)為該矩形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離與點(diǎn)到的距離相等，可求得直線(xiàn)的方程為：，從而可求得點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得圓的半徑，于是可得答案.【詳解】解：由題可得：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以圓的圓心坐標(biāo)為，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，且為直徑，為直徑，為圓的圓心,所以點(diǎn)為該矩形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離與點(diǎn)到的距離相等，故點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以直線(xiàn)的方程為：，所以，故圓半徑，所以圓的方程為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定，分析得到點(diǎn)F為該矩形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)是關(guān)鍵，考查作圖、分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題.（2024年冀J05唐山一模）6.已知拋物線(xiàn)E：的焦點(diǎn)為F，以F為圓心的圓與E交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與E的準(zhǔn)線(xiàn)交于C、D兩點(diǎn)，若，則（【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在第一象限，由，可確定圓的半徑，利用拋物線(xiàn)的定義求出，即可求得結(jié)果.【詳解】由拋物線(xiàn)方程知：，，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，如圖所示，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，由，則，圓的半徑，所以【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在第一象限，由，可確定圓的半徑，利用拋物線(xiàn)的定義求出，即可求得結(jié)果.【詳解】由拋物線(xiàn)方程知：，，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，如圖所示，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，由，則，圓的半徑，所以，由拋物線(xiàn)的定義可得：，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以，．故選：D.（2024年鄂J06武漢二調(diào)）5.設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)拋物線(xiàn)上點(diǎn)作其準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為，若，則（【答案】A【解析】【分析】由題意得，結(jié)合正切定義以及可得，進(jìn)一步即可求解.【詳解】如圖所示：為準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，因?yàn)?，且，所以，因?yàn)椋?，而，所以，所以故選：A.【答案】A【解析】【分析】由題意得，結(jié)合正切定義以及可得，進(jìn)一步即可求解.【詳解】如圖所示：為準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，因?yàn)?，且，所以，因?yàn)椋?，而，所以，所以故選：A.（2024年鄂J04名校聯(lián)盟）15.已知拋物線(xiàn)，直線(xiàn)l過(guò)C焦點(diǎn)F且與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓與y軸交于M，N兩點(diǎn)，則的最小值是【答案】##【解析】【分析】由題意結(jié)合拋物線(xiàn)定義以及拋物線(xiàn)的通徑、圓心角與圓周角的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為G【答案】##【解析】【分析】由題意結(jié)合拋物線(xiàn)定義以及拋物線(xiàn)的通徑、圓心角與圓周角的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為G，過(guò)G作y軸的垂線(xiàn)，垂足為H，則H是的中點(diǎn).因?yàn)橐跃€(xiàn)段為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切，所以..當(dāng)軸時(shí)，有，.故答案為：.（2024年蘇J02前黃一模）6.已知一個(gè)玻璃酒杯盛酒部分的軸截面是拋物線(xiàn)，其通徑長(zhǎng)為1，現(xiàn)有一個(gè)半徑為的玻璃球放入該玻璃酒杯中，要使得該玻璃球接觸到杯底（盛酒部分），則的取值范圍是（【答案】C【解析】【分析】以軸截面拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出該玻璃球的軸截面的方程和拋物線(xiàn)的方程，兩方程聯(lián)立，只有一個(gè)解求解.【詳解】解：以軸截面拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)玻璃球能夠與杯底接觸時(shí)，該玻璃球的軸截面的方程為．因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的通徑長(zhǎng)為1，則拋物線(xiàn)的方程為，代入圓的方程消元得：，所以原題等價(jià)于方程在上只有實(shí)數(shù)解【答案】C【解析】【分析】以軸截面拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出該玻璃球的軸截面的方程和拋物線(xiàn)的方程，兩方程聯(lián)立，只有一個(gè)解求解.【詳解】解：以軸截面拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)玻璃球能夠與杯底接觸時(shí)，該玻璃球的軸截面的方程為．因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的通徑長(zhǎng)為1，則拋物線(xiàn)的方程為，代入圓的方程消元得：，所以原題等價(jià)于方程在上只有實(shí)數(shù)解．因?yàn)橛?，得或，所以需或，即或．因?yàn)?，所以，故選：C．（2024年魯J45泰安三模）14．已知拋物線(xiàn)，點(diǎn)在的準(zhǔn)線(xiàn)上，過(guò)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，則的最小值為14．824【分析】設(shè)直線(xiàn)的方程及弦的中點(diǎn)，聯(lián)立直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程可得及坐標(biāo)，結(jié)合拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦公式可得，由等邊三角形性質(zhì)可知，即可設(shè)出直線(xiàn)的方程，結(jié)合點(diǎn)在準(zhǔn)線(xiàn)上可得點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合及計(jì)算即可.【詳解】由已知得，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，14．824【分析】設(shè)直線(xiàn)的方程及弦的中點(diǎn)，聯(lián)立直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程可得及坐標(biāo)，結(jié)合拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦公式可得，由等邊三角形性質(zhì)可知，即可設(shè)出直線(xiàn)的方程，結(jié)合點(diǎn)在準(zhǔn)線(xiàn)上可得點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合及計(jì)算即可.【詳解】由已知得，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，弦的中點(diǎn)，如圖所示，聯(lián)立消去并整理得，則，，所以，所以，，即，所以.故當(dāng)時(shí)，.若為等邊三角形，則，如圖所示，則設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，所以點(diǎn)，又，所以，解得，所以.故答案為：8；24.（2024年魯J32濰坊二模）8．已知P為拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，則的最大值為（

8．B【分析】將題目轉(zhuǎn)化為求的最大值，則構(gòu)建出，再根據(jù)勾股定理并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求出角度最大值.【詳解】因?yàn)椋瑒t求的最大值即求最大值，由題得圓心坐標(biāo)，半徑，設(shè)，則在中，，易知，則最大時(shí)，最小，設(shè)，，且，則8．B【分析】將題目轉(zhuǎn)化為求的最大值，則構(gòu)建出，再根據(jù)勾股定理并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求出角度最大值.【詳解】因?yàn)?，則求的最大值即求最大值，由題得圓心坐標(biāo)，半徑，設(shè)，則在中，，易知，則最大時(shí)，最小，設(shè)，，且，則，即時(shí)，，此時(shí)取得最大值，，結(jié)合得此時(shí)，則.故選：B.（2024年魯J42青島二適）14．設(shè)為平面上兩點(diǎn)，定義、已知點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的最小值為2，則；若斜率為的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)Q，點(diǎn)M是直線(xiàn)l上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為14．2【分析】利用定義結(jié)合二次函數(shù)求最值計(jì)算即可得第一空，過(guò)作并構(gòu)造直角三角形，根據(jù)的定義化折為直，結(jié)合直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則，，即，時(shí)取得最小值；易知，，聯(lián)立有，14．2【分析】利用定義結(jié)合二次函數(shù)求最值計(jì)算即可得第一空，過(guò)作并構(gòu)造直角三角形，根據(jù)的定義化折為直，結(jié)合直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則，，即，時(shí)取得最小值；易知，，聯(lián)立有，顯然無(wú)解，即直線(xiàn)與拋物線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)，如下圖所示，過(guò)作交l于N，過(guò)作，則（重合時(shí)取得等號(hào)），設(shè)，則，所以，

故答案為：2，【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于曼哈頓距離的新定義問(wèn)題可以利用化折為直的思想，數(shù)形結(jié)合再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算最值即可.拋物線(xiàn)（中檔）：（2024年浙J03臺(tái)州一評(píng)，末）16.拋物線(xiàn)有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)反射后，反射光線(xiàn)平行于拋物線(xiàn)的軸．過(guò)拋物線(xiàn)：上的點(diǎn)（不為原點(diǎn)）作的切線(xiàn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作，垂足為，直線(xiàn)（為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)）與直線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，切線(xiàn)的方程為，繼而求得切線(xiàn)的斜率，由可求得的方程，與直線(xiàn)聯(lián)立可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而消參可求得點(diǎn)的軌跡方程，則結(jié)合圖形可求得得范圍.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線(xiàn)：上點(diǎn)（不為原點(diǎn)），【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，切線(xiàn)的方程為，繼而求得切線(xiàn)的斜率，由可求得的方程，與直線(xiàn)聯(lián)立可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而消參可求得點(diǎn)的軌跡方程，則結(jié)合圖形可求得得范圍.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線(xiàn)：上點(diǎn)（不為原點(diǎn)），所以可設(shè)點(diǎn)，且當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，切點(diǎn)為原點(diǎn)不合題意；當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，可設(shè)為，聯(lián)立，消去可得，化簡(jiǎn)可得，令，可得，化簡(jiǎn)可得，即，又，所以的斜率，所以的方程，因點(diǎn)，所以的斜率為，則的方程為，聯(lián)立，解得，即，當(dāng)時(shí)，的方程為，的方程則或，滿(mǎn)足由兩式相除可得，即由，可得再代入，可得，化簡(jiǎn)可得，可得，可知點(diǎn)軌跡為半徑為的圓，圓心為,結(jié)合圖形可知，又，，則.故答案為：（2024年浙J01湖州一中模擬，末）14.已知為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，，拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)分別為和，若和交于點(diǎn)，則的最小值為【答案】10【解析】【分析】設(shè)直線(xiàn)方程為，，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程得出韋達(dá)定理，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解方程，聯(lián)立可得，再代入根據(jù)基本不等式求解最小值即可.【詳解】的焦點(diǎn)為，設(shè)直線(xiàn)方程為，.聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程有，則.又求導(dǎo)可得，故直線(xiàn)【答案】10【解析】【分析】設(shè)直線(xiàn)方程為，，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程得出韋達(dá)定理，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解方程，聯(lián)立可得，再代入根據(jù)基本不等式求解最小值即可.【詳解】的焦點(diǎn)為，設(shè)直線(xiàn)方程為，.聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程有，則.又求導(dǎo)可得，故直線(xiàn)方程為.又，故，同理.聯(lián)立可得，解得，代入可得，代入韋達(dá)定理可得，故.故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故答案為：10【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：如圖，假設(shè)拋物線(xiàn)方程為，過(guò)拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)向拋物線(xiàn)引兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別記為，其坐標(biāo)為.則以點(diǎn)和兩切點(diǎn)圍成的三角形中，有如下的常見(jiàn)結(jié)論:結(jié)論1.直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).結(jié)論2.直線(xiàn)的方程為.結(jié)論3.過(guò)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，以分別為切點(diǎn)做兩條切線(xiàn)，則這兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)的軌跡即為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn).結(jié)論4..結(jié)論5..結(jié)論6.直線(xiàn)的中點(diǎn)為，則平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.結(jié)論7..（2024年粵J02佛山一中一模）15.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（不與O重合）在C上，且，則直線(xiàn)斜率的取值范圍是【答案】【解析】【分析】由向量的性質(zhì)得到點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，從而利用基本不等式求得直線(xiàn)斜率的取值范圍，由此得解.【詳解】因?yàn)椤敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坑上蛄康男再|(zhì)得到點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，從而利用基本不等式求得直線(xiàn)斜率的取值范圍，由此得解.【詳解】因?yàn)镕為曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，不妨設(shè)，，則，即，解得，所以直線(xiàn)斜率為，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；綜上，直線(xiàn)斜率的取值范圍為.故答案為：.（2024年粵J44梅州二月檢，末）14.已知圓，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)引圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍為【答案】【解析】【分析】設(shè)，將表示為只含的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】依題意，圓的圓心為，半徑，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為【答案】【解析】【分析】設(shè)，將表示為只含的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】依題意，圓的圓心為，半徑，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，畫(huà)出圓和拋物線(xiàn)的圖象如下圖所示，設(shè)，則，，切線(xiàn)長(zhǎng)，由得，則，垂直平分弦，則，即又，則，即，則，則，即，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】求解直線(xiàn)和圓相切有關(guān)問(wèn)題，可以考慮圓的幾何性質(zhì)來(lái)進(jìn)行求解，如本題中，是切線(xiàn)，則連心線(xiàn)垂直平分，是直角三角形等等.要求弦長(zhǎng)的取值范圍，可先求得弦長(zhǎng)的表達(dá)式，然后根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，考慮二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式的知識(shí)求得求得最值.（2024年鄂J10二次T8聯(lián)考，末）8.已知拋物線(xiàn)的方程為，為其焦點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則直線(xiàn)的斜率為（【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，，直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，消元，得到，再由，可得，是方程的解，將代入方程，由求出.【詳解】設(shè)，，，直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，可得，顯然，所以．又，即【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，，直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，消元，得到，再由，可得，是方程的解，將代入方程，由求出.【詳解】設(shè)，，，直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，可得，顯然，所以．又，即，即，，故，是方程的解，將代入方程，整理得，顯然，，，即．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線(xiàn)方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.（2024年閩J10泉州三測(cè)）13.已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線(xiàn)為l．若C恰過(guò)，，三點(diǎn)中的兩點(diǎn)，則C的方程為【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意，得到拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，求得，得到，再拋物線(xiàn)的定義，求得，不妨設(shè)，得出的直線(xiàn)方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，即可求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線(xiàn)為，且恰過(guò)，，三點(diǎn)中的兩點(diǎn)，【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意，得到拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，求得，得到，再拋物線(xiàn)的定義，求得，不妨設(shè)，得出的直線(xiàn)方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，即可求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線(xiàn)為，且恰過(guò)，，三點(diǎn)中的兩點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)和不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，所以?huà)佄锞€(xiàn)不可能過(guò)和兩點(diǎn)，又因?yàn)樵诘谝幌笙?，在第三象限，即拋物線(xiàn)不可能同時(shí)過(guò)和兩點(diǎn)，所以?huà)佄锞€(xiàn)經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為，則，解得，即，過(guò)拋物線(xiàn)的交點(diǎn)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，且到的距離為，由拋物線(xiàn)的定義，可得，解得，則，可得，結(jié)合拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為，則的直線(xiàn)方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則.故答案為：；.（2024年蘇J24蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào)，末）14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和拋物線(xiàn)，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn).記線(xiàn)段的中點(diǎn)為，若線(xiàn)段的中點(diǎn)在上，則的值為_(kāi)_________；的值為【答案】①.2②.5【解析】【分析】設(shè)，與拋物線(xiàn)聯(lián)立，由韋達(dá)定理得，，從而得到的坐標(biāo)，以及線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)方程，即可求出的值，得到的值.【詳解】令，，，線(xiàn)段【答案】①.2②.5【解析】【分析】設(shè)，與拋物線(xiàn)聯(lián)立，由韋達(dá)定理得，，從而得到的坐標(biāo)，以及線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)方程，即可求出的值，得到的值.【詳解】令，，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為聯(lián)立，消可得，則，,所以，即，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)，由于線(xiàn)段的中點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則，解得或（舍去），即，由于在拋物線(xiàn)中，，所以.故答案：2；5.（2024年蘇J07百師聯(lián)盟，末）14.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，，則_【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式及向量的夾角公式即可求解.【詳解】如圖所示，由，得，設(shè)，由，得，求導(dǎo)，所以直線(xiàn)得斜率為，則直線(xiàn)的方程為，令，則，解得，所以,【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式及向量的夾角公式即可求解.【詳解】如圖所示，由，得，設(shè)，由，得，求導(dǎo)，所以直線(xiàn)得斜率為，則直線(xiàn)的方程為，令，則，解得，所以,所以，解得(負(fù)值舍去).當(dāng)時(shí)，，則，又因?yàn)?，所以，故向量與的夾角為.當(dāng)時(shí)，同理可得向量與的夾角為.綜上所述，向量與的夾角為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】：關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及拋物線(xiàn)切線(xiàn)問(wèn)題，通常利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及表示出切線(xiàn)方程.利用兩點(diǎn)的距離公式及向量的夾角公式即可.（2024年粵J138汕頭金南三模）14．已知點(diǎn)P，Q分別是拋物線(xiàn)和圓上的動(dòng)點(diǎn)，若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則的最小值為14．【分析】根據(jù)題意，將轉(zhuǎn)化為的形式，尋求定點(diǎn)，使得恒成立，再通過(guò)轉(zhuǎn)化求的最小值.【詳解】由拋物線(xiàn)，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又由圓，可化為14．【分析】根據(jù)題意，將轉(zhuǎn)化為的形式，尋求定點(diǎn)，使得恒成立，再通過(guò)轉(zhuǎn)化求的最小值.【詳解】由拋物線(xiàn)，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又由圓，可化為，可得圓心坐標(biāo)為，半徑，設(shè)定點(diǎn)，滿(mǎn)足成立，且，即恒成立，其中，代入兩邊平方可得：，解得：，，所以定點(diǎn)滿(mǎn)足恒成立，可得，如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)在一條直線(xiàn)上時(shí)，此時(shí)取得最小值，即，設(shè)，滿(mǎn)足，所以，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化距離，再轉(zhuǎn)化求得點(diǎn)M的坐標(biāo).（2024年冀J29邢臺(tái)二模）8．設(shè)，，，為拋物線(xiàn)上不同的四點(diǎn)，點(diǎn)，關(guān)于該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，平行于該拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)，設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)和直線(xiàn)的距離分別為，，且，則（

8．B【分析】根據(jù)條件得到，從而有為的角平分線(xiàn)，再利用，得到，進(jìn)而求出，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，過(guò)作，設(shè)，則，所以，設(shè)拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為，由，消得到，由，得到，所以由題有，即，所以，又，所以，得到為的角平分線(xiàn)，又，所以，又均為直角三角形，所以8．B【分析】根據(jù)條件得到，從而有為的角平分線(xiàn)，再利用，得到，進(jìn)而求出，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，過(guò)作，設(shè)，則，所以，設(shè)拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為，由，消得到，由，得到，所以由題有，即，所以，又，所以，得到為的角平分線(xiàn)，又，所以，又均為直角三角形，所以，得到，所以，故答案：B.（2024年冀J01某市一模，末）14.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，以為直徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，此時(shí)__【答案】##【解析】【分析】依題要使最大，因等腰三角形,需使最小，通過(guò)過(guò)點(diǎn)作高線(xiàn)，利用三角函數(shù)將的正弦值轉(zhuǎn)化為,再用點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行表示，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題即得.【詳解】如圖，由，可知【答案】##【解析】【分析】依題要使最大，因等腰三角形,需使最小，通過(guò)過(guò)點(diǎn)作高線(xiàn)，利用三角函數(shù)將的正弦值轉(zhuǎn)化為,再用點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行表示，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題即得.【詳解】如圖，由，可知，設(shè)，易知，且，因的中點(diǎn)為，故，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).設(shè)，,則，所以當(dāng)取最小值時(shí)，最小，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以當(dāng)最小時(shí)，最小，則最大.又的最小值為1，此時(shí)，，則，所以，所以.故答案為：.（多選，2024年蘇J03南通聯(lián)考，末）11.已知點(diǎn)在曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，過(guò)作以為圓心，1為半徑的圓的兩條切線(xiàn)，則的值可能是（【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)題意對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)確定最值即可.【詳解】由題意得，由勾股定理得，則，令，而，故在上單調(diào)遞增，設(shè)，由兩點(diǎn)間距離公式得，由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，故的最小值為，即，顯然B，【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)題意對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)確定最值即可.【詳解】由題意得，由勾股定理得，則，令，而，故在上單調(diào)遞增，設(shè)，由兩點(diǎn)間距離公式得，由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，故的最小值為，即，顯然B，C，D正確.故選：BCD（2024年鄂J22黃石二中三模）14．如圖，已知過(guò)拋物線(xiàn)（）的焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記，，分別為，，的面積.若，則直線(xiàn)的斜率為14．【分析】設(shè)直線(xiàn)傾斜角為，，可得，，，用表示，結(jié)合題意運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)直線(xiàn)傾斜角為，，可知：，且，解得，則，同理可得，可知：，，，因?yàn)?4．【分析】設(shè)直線(xiàn)傾斜角為，，可得，，，用表示，結(jié)合題意運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)直線(xiàn)傾斜角為，，可知：，且，解得，則，同理可得，可知：，，，因?yàn)椋瑒t，整理得，解得或，且，則，可得，所以直線(xiàn)的斜率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得，利用表示其他量，結(jié)合題意運(yùn)算求解.拋物線(xiàn)（中上）：（2024年鄂J11四月模擬，末）8.拋物線(xiàn)上有四點(diǎn)，，，，直線(xiàn)，交于點(diǎn)，且，．過(guò)分別作的切線(xiàn)交于點(diǎn)Q，若，則（【答案】D【解析】【分析】由題