24版高中同步新教材選擇性必修第一冊蘇教版數(shù)學-增分測評卷-04-第4章 數(shù)列_第1頁
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文檔簡介

姓名班級考號姓名班級考號密○封○裝○訂○線密○封○裝○訂○線密封線內(nèi)不要答題密○封○裝○訂○線密○封○裝○訂○線密○封○裝○訂○線密○封○裝○訂○線密封線內(nèi)不要答題第4章數(shù)列全卷滿分150分考試用時120分鐘一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知正項等比數(shù)列{an}中,a3a5=4,且a4,a6+1,a7成等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的公比q為()A.14B.12C.2D2.在數(shù)列{an}中,a4=1,a6=13,且數(shù)列1an是等差數(shù)列,則a19=(A.16B.116C.19D.3.已知數(shù)列{an}滿足a1=3,且an+1an=an-1,則a2021的值為()A.3B.23C.12D.4.在流行病學中,基本傳染數(shù)R0是指在沒有外力介入,同時所有人都沒有免疫力的情況下,一個感染者平均傳染的人數(shù).R0一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定,假設某種傳染病的基本傳染數(shù)R0=2,平均感染周期為7天,那么感染人數(shù)由1(初始感染者)增加到999大約需要的天數(shù)為(初始感染者傳染R0個人為第一輪傳染,這R0個人每人再傳染R0個人為第二輪傳染……參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010)()A.42B.56C.63D.705.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S10=2,S30=14,則S40=()A.20B.30C.40D.506.若數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2,b1=0,2an+1=3an+bn+2,2bn+1=an+3bn-2,則a2022+b2021=()A.2×32020+1B.3×22020-1C.3×22020+1D.3×22021-17.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=116,anan+2=4an+12,則an的最小值為A.2-12B.2?254C.2-58.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,已知a5=11,S10=120,bn=1an·an+1,若Tk=17,A.9B.8C.7D.6二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)9.設d,Sn分別為等差數(shù)列{an}的公差與前n項和,若S10=S20,則下列判斷正確的有()A.當n=15時,Sn取最大值B.S30=0C.當d>0時,a10+a22>0D.當d<0時,|a10|>|a22|10.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+2=2an+1-an(n∈N*),其前n項和為Sn,則()A.{Sn}的通項公式可以是Sn=n2-n+1B.若a3,a7為方程x2+6x+5=0的兩根,則a6-12a7=-C.若S4S2=2,則S8S4=4D.若S4=S8,11.已知數(shù)列{an}滿足a1=1且an+1=1+1nan,數(shù)列{bn}滿足bn=antn(n∈N*),則下列說法正確的有(A.數(shù)列{bn}為等比數(shù)列B.當t=2時,數(shù)列{bn}的前n項和為(n-1)2n+1+2C.當t∈(0,1)且t1?t為整數(shù)時,數(shù)列{bnD.當t∈0,12時,數(shù)列{bn12.在數(shù)列{an}中,若an2?an?12=p(n≥2,n∈N*,p為常數(shù)),則稱{an}A.若{an}是等差數(shù)列,則{an2B.{(-1)n}是等方差數(shù)列C.若{an}是等方差數(shù)列,則{akn}(k∈N*,k為常數(shù))也是等方差數(shù)列D.若{an}既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,則數(shù)列{an}為常數(shù)列三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知等差數(shù)列{an}的首項為a,公差為d,等差數(shù)列{bn}的首項為b,公差為e.如果cn=an+bn,且c1=4,c2=8,則c10=.

14.已知數(shù)列{an}滿足a1=34,an+1-1=an?12?an,bn=1-an,則b1b2+b2b3+…+b15.一個數(shù)表如圖所示,第1行依次寫著從小到大的正整數(shù),然后把每行相鄰的兩個數(shù)的和寫在這兩個數(shù)正中間的下方,得到下一行,數(shù)表從上到下與從左到右均有無限項,則這個數(shù)表中的第11行的第7個數(shù)為(用具體數(shù)字作答).

16.“雪花”是非常美麗的圖案,理論上,一片雪花的周長可以無限長,圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”,又稱“科赫曲線”,是瑞典數(shù)學家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖,“雪花曲線”的一種形成過程為:從一個正三角形開始,把每條邊分成三等份,然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形,再去掉底邊,重復進行這一過程.若第1個圖形中的三角形的周長為1,則第n個圖形的周長為;若第1個圖形中的三角形的面積為1,則第n個圖形的面積為.

四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a2+a4=6,a3a4=15.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=an+2·14n?1,求數(shù)列{bn}的前n項和18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,前3項和為13,且a1+3,3a2,a3+5成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)數(shù)列{bn}的首項b1=1,其前n項和為Sn,且,若數(shù)列{cn}滿足cn=anbn,{cn}的前n項和為Tn,求Tn的最小值.

在下列三個條件中任意選擇一個,填入上面橫線處,并根據(jù)題意解決問題.①3Sn+bn=4;②bn=bn-1+2(n≥2);③5bn=-bn-1(n≥2).注:如果選擇多個條件分別解答,則按第一個解答計分.19.(本小題滿分12分)甲、乙兩超市同時開業(yè),第一年的全年銷售額均為a萬元.由于經(jīng)營方式不同,甲超市前n年的總銷售額為(n2?n+2)a2萬元,(1)求甲、乙兩超市第n年全年的銷售額的表達式;(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%,則該超市將被另一超市收購,判斷哪個超市有可能被收購.如果有這種情況,將會出現(xiàn)在第幾年?20.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}中,a1=2325,an=2-1an?1(n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}滿足:bn=1an?1(1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項公式;(2)求|b1|+|b2|+…+|b20|的值;(3)求an的最大值和最小值.21.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an},{bn},Sn為數(shù)列{an}的前n項和,a2=4b1,Sn=2an-2,nbn+1-(n+1)bn=n2+n,n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)證明bnn(3)若數(shù)列{cn}的通項公式為cn=?anbn2,n為奇數(shù),anbn4,n為偶數(shù),令22.(本小題滿分12分)已知在每一項均不為0的數(shù)列{an}中,a1=3,且an+1=pan+tan(p,t為常數(shù),n∈N*),記數(shù)列{an}的前n項和為S(1)當t=0時,求Sn;(2)已知p=12,t=2①求證:數(shù)列l(wèi)gan②是否存在正整數(shù)m,使得不等式Sn-2n<m對任意n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,請說明理由.答案全解全析1.C2.B3.B4.C5.B6.C7.D8.A9.BC10.BD11.BCD12.BCD1.C∵{an}是正項等比數(shù)列,且a3a5=4,∴q>0,a42=a3a5=4,∴a4∵a4,a6+1,a7成等差數(shù)列,∴a4+a7=2(a6+1),即2+2q3=4q2+2,∴q=2.故選C.2.B由題意可得1a4=1,1a6=3,設數(shù)列1an的公差為d,即d=1,故1a19=1a4+(19-4)×1=16,解得a3.B由題意得an+1=1-1an,所以a2=1-1a1=1?13=23,a3=1-1a2=1?32=?12,a4=1-1a3=1-(-2)=3=a1,故數(shù)列{4.C設第n輪感染的人數(shù)為an,則數(shù)列{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,其前n項和為Sn,由Sn+1=2×(1?2n)1?2+1=999,可得2n+1=1000,故2n=500,兩邊取常用對數(shù)得nlg2=lg500,則nlg2=3-lg2,所以n=3lg2?1≈5.B設等比數(shù)列{an}的公比為q,由題易知q≠1,則a1(1?q10)1?q=2①,a1(1?q30)解得q10=2或q10=-3(舍),則q40=16,將q10=2代入①,得a11?所以S40=a1(1?q40)1?q=(-2)×6.C因為2an+1=3an+bn+2,2bn+1=an+3bn-2,所以2an+1+2bn+1=3an+bn+2+an+3bn-2=4(an+bn),即an+1+bn+1=2(an+bn),又a1+b1=2,所以{an+bn}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以an+bn=2n,又2an+1=3an+bn+2,即an+1=32an+12bn所以an+1+bn=32an+12bn+1+bn=32(an+bn)+1=32所以a2022+b2021=32×22021+1=3×22020+1,故選C7.D∵a1=1,a2=116,anan+2=4an+12,∴an≠0所以數(shù)列an+1an為等比數(shù)列,首項為a2a1=116,公比為4當n≥2時,an=anan?1·an?1an?2·…·a2a1·a1=4因為n=1時,a1=1滿足上式,所以an=2(n-1)(n-6).因為y=(n-1)(n-6)=n?所以當n=3或n=4時,an取得最小值,為2-6.故選D.8.A設等差數(shù)列{an}的公差為d,因為S10=10(a1+a10)2=5(a5+a6)=5(11+a6)=120,所以a6=13,則d=a6-a5=2,所以an=a5+2(n-5)=2n+1所以Tn=1213?15+15?17+…+9.BC因為S10=S20,所以10a1+10×92d=20a1+20×192d,解得a1=-因為無法確定a1和d的正負,所以無法確定Sn是否有最大值,故A錯誤.S30=30a1+30×292d=30×?292d+15×29d當d>0時,a10+a22=2a16=2(a1+15d)=2?292d+15d=a10=a1+9d=-292d+9d=-112d,a22=a1+21d=-292d+21d=當d<0時,|a10|=-112d,|a22|=-132則|a10|<|a22|,故D錯誤.故選BC.10.BD因為an+2=2an+1-an(n∈N*),所以an+2+an=2an+1,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設公差為d,則Sn=dn對于A,若Sn=n2-n+1,則a2=S2-S1=3-1=2,a3=S3-S2=7-3=4,因為a3-a2=2≠a2-a1=1,所以數(shù)列{an}不是等差數(shù)列,與題意矛盾,故A錯誤;對于B,a3+a7=-6,即2a1+8d=-6,解得d=-1,則an=-n+2,所以a6=-4,a7=-5,所以a6-12a7=-4+52=?對于C,S4S2=16d+4(2?d)4d+2(2?對于D,由S4=S8得16d+4(2?d)2=所以Sn=-111n2+1211n,由Sn>0,得-111n2+1211n>0,所以使Sn>0的正整數(shù)n的最大值為11,故D正確.故選BD.11.BCD由an+1=1+1nan,得an+1n+1=ann,又a11=1,所以數(shù)列ann是常數(shù)列,且ann=1,故an=n,所以bn=ntn,若t=0,則bn=0,則{bn}不是等比數(shù)列,若t≠0當t=2時,bn=n·2n,設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n,①2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1,②②-①得Tn=-(2+22+23+24+…+2n)+n·2n+1=(n-1)2n+1+2,B正確;易得bn+1-bn=(n+1)tn+1-ntn=(n+1)tnt?若t∈(0,1),則當t<nn+1,即n>t1?t時,bn+1-bn<0,即bn+1當t≥nn+1,即n≤t1?t時,bn+1-bn≥0,即bn+1≥bn,故隨著n的變大,{b因為t1?t為整數(shù),所以當n=t1?t時,bn最大,且bn=bn+1,即數(shù)列{bn}因為n∈N*,所以y=nn+1=1?1n所以當t∈0,12時,bn+1-bn=(n+1)tnt?nn+1<0,數(shù)列{bn}12.BCD在A中,取an=n,則{an}是等差數(shù)列,且an2=n2,則n≥2時,an2?an?12=n2-(n-1)2=2n-1,不是常數(shù)在B中,設an=(-1)n,則n≥2時,an2?an?12=[(?1)n]2-[(-1)n-1]2=1-1=0,在C中,由{an}是等方差數(shù)列,得an2?an?12=p(n≥2),從而an2=a12+(n-1)p,所以n≥2時,akn2?ak(n?1)2=a12+(kn-1)p-[a12+(kn在D中,由{an}是等差數(shù)列,可設其公差為d,則an-an-1=d(n≥2),又{an}是等方差數(shù)列,所以an2?an?12=p(n≥2),所以an2?an?12=(an+an-1)(an-an-1)=(an+an-1)d=p①,從而(an+1+an)d=p②.②-①,得2d2=0,13.答案40解析因為cn-cn-1=an+bn-(an-1+bn-1)=an-an-1+bn-bn-1=d+e(n≥2),所以數(shù)列{cn}是以a+b為首項,d+e為公差的等差數(shù)列,因為c1=4,c2=8,所以a+b=4,d+e=c2-c1=8-4=4,所以c10=4+4×9=40.14.答案1解析由an+1-1=an?12?an,bn=1-an,得bn+1=b由a1=34,得b1=1-a1=1-3所以數(shù)列1bn是以1所以1bn=4+(n-1)×1=n+3,即bn=1n+3,所以bn所以bnbn+1=1(所以b1b2+b2b3+…+b16b17=1=1415.答案12288解析設am,n表示第m行的第n個數(shù),由題中數(shù)表可知,每一行均成等差數(shù)列,且第m行的公差為2m-1,則am,n=am,1+(n-1)·2m-1,am,1=a(m-1),1+a(m-1),2=2a(m-1),1+2m-2(m≥2),則am故數(shù)列am,12m是首項為則am,12m=12+m?14,即am所以am,n=(m+1)2m-2+(n-1)2m-1=(m+2n-1)2m-2,故a11,7=(11+14-1)×29=24×29=12288.16.答案4解析記第n個圖形為Pn,其三角形邊長為an,邊數(shù)為bn,周長為Ln,面積為Sn.若第1個圖形中的三角形的周長為1,則a1=13,b1=3則P1有b1=3條邊,邊長為a1=13;P2有b2=4b1條邊,邊長為a2=13a1;P3有b3=42b1條邊,邊長為a3=132a則an=13n?1a1=13n,bn=b1·4n所以Ln=anbn=13n×3×4n-1=由題意可知Pn是在Pn-1的每條邊上生成一個小三角形,即Sn=Sn-1+bn-1×34an2故Sn-Sn-1=34×an2×bn-1,Sn-1-Sn-2=34×an?12×bn-2,……,累加可得Sn-S1=34(an2·bn-1+an?12·bn因為數(shù)列{an}是以13為公比的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}是以4為公比的等比數(shù)列,所以{an2·bn-1}是以若第1個圖形中的三角形的面積為1,則S1=1,即34a12=1,故a12=433所以an2·bn-1+an?12·bn-2+…+a2所以Sn-S1=35×1?49n?117.解析(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,則a解得a1=?1,d=2,所以an=-1+(n-1)×2=2n-3.(4分)(2)由(1)得an+2=2n+1,因為bn=an+2·14n?1,所以bn=(2n+1)·14n所以Tn=3×140+5×141+7×142+…+(2則14Tn=3×141+5×142+7×143+…+(2n-1)兩式相減得34Tn=3+2×141+142+143+…+14n所以Tn=449?83n18.解析(1)設數(shù)列{an}的公比為q,則a1+a2所以3q+3q=10,即3q2-10q+3=0,解得q=13或q=3,(4分又因為{an}是遞增的等比數(shù)列,所以q>1,所以q=3,所以a1=a2q所以an=3n-1.(6分)(2)選擇①,因為3Sn+bn=4,所以3Sn-1+bn-1=4(n≥2),兩式相減得3(Sn-Sn-1)+bn-bn-1=0,即4bn-bn-1=0(n≥2),所以bn=14bn-1(n≥2),所以數(shù)列{bn}是以1為首項,14故bn=14n?1,因此cn=anbn=34n所以cn>0恒成立,即c1>0,c2>0,c3>0,……,所以(Tn)min=T1=c1=1.(12分)選擇②,由bn=bn-1+2(n≥2)知{bn}是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,所以bn=1+2(n-1)=2n-1,所以cn=anbn=(2n-1)·3n-1,(9分)易知cn>0,即c1>0,c2>0,c3>0,……,所以(Tn)min=T1=c1=1.(12分)選擇③,由5bn=-bn-1(n≥2)知{bn}是以1為首項,-15為公比的等比數(shù)列所以bn=?15n?1,所以cn=anb所以Tn=1??35n1+當n為奇數(shù)時,由于?35n<0,故Tn當n為偶數(shù)時,由于?35n>0,故Tn又Tn=581??3所以當n=2時,(Tn)min=58綜上所述,Tn的最小值為25.(12分)19.解析(1)設甲、乙兩個超市第n年全年的銷售額分別為an萬元、bn萬元,甲超市前n年的總銷售額為Sn萬元,則Sn=(n當n=1時,S1=a1=a;(1分)當n≥2時,an=Sn-Sn-1=a2·[n2-n+2-(n-1)2+(n-1)-2]=(n-1)經(jīng)檢驗,a1=a不滿足上式,故an=a,n=1,因為b1=a,n≥2時,bn-bn-1=23n所以bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=a+23a+232a+…+23n?1a=顯然b1=a也滿足上式,所以bn=3?223n?1a(n∈N*).(2)a2=a,b2=53a,則a2>12b2;a3=2a,b3=199a,則a3>12b3;當n≥4時,an≥3a,bn<3a,故乙超市有可能被甲超市收購.當n≥4時,令12an>bn,則12(n-1)a>3?2即n-1>6-423n?1,所以n>7-423n?1,即n+42即第7年開始乙超市的年銷售額不足甲超市的年銷售額的50%,乙超市將被甲超市收購.(12分)20.解析(1)bn-bn-1=1an?1?1an?1?1=又b1=1a1?1=?252,∴數(shù)列{bn}是首項為-252∴bn=b1+(n-1)×1=n-272.(4分)(2)由bn=n-272≥0,得n≥272,故n≤13時,bn<0;n≥14時,bn>0.(6分∴|b1|+|b2|+|b3|+…+|b20|=-(b1+b2+…+b13)+b14+b15+…+b20=-13×?252+13×122(3)由bn=1an?1=n-272,得an=22n又函數(shù)f(x)=22x?27+1在?∞,272和272,+∞上均單調(diào)遞減,當n∴(an)max=a14=3,(a

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