25屆（新教材QG版）數(shù)學(xué)新考案基礎(chǔ)課38空間直線、平面的平行

8.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E為PD中點(diǎn)，AD=2．(Ⅰ)求證：平面AEC⊥平面PCD．【答案】(Ⅰ)證明：取AD中點(diǎn)為O，BC中點(diǎn)為F，由側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，則FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD?FO，則CD⊥AE，又E是PD中點(diǎn)，則AE⊥PD，由線面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE?平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；基礎(chǔ)課38空間直線、平面的平行考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)直線與平面平行的判定與性質(zhì)掌握2023年新高考Ⅰ卷T2023年全國(guó)乙卷（理）T2023年全國(guó)乙卷（文）T2023年天津卷T★★★直觀想象邏輯推理平面與平面平行的判定與性質(zhì)掌握2022年全國(guó)乙卷（理）T★★★直觀想象邏輯推理命題分析預(yù)測(cè)從近幾年高考的情況來(lái)看，以柱體、錐體為背景的線面平行是高考?？純?nèi)容，一般以解答題的形式出現(xiàn)，試題較為簡(jiǎn)單.預(yù)計(jì)2025年高考命題情況變化不大，但要特別注意應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理時(shí)條件的完整，這是解題基本規(guī)范和要求一、直線與平面平行的定義若直線l與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行，可用數(shù)學(xué)符號(hào)描述為：若l∩α=?二、直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理文字語(yǔ)言如果①平面外一條直線與此②平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面③平行一條直線與一個(gè)平面④平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面⑤相交，那么該直線與⑥交線平行符號(hào)語(yǔ)言aa圖形語(yǔ)言三、平面與平面平行的定義沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面，可用數(shù)學(xué)符號(hào)描述為：若α∩β=?四、平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條⑦相交直線與另一個(gè)平面分別平行，那么這兩個(gè)平面平行兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線⑧平行符號(hào)語(yǔ)言a?β，b?β，⑨aα//β，α圖形語(yǔ)言1.平行關(guān)系中的四個(gè)重要結(jié)論（1）若a⊥α，a⊥（2）若α//β，β//（3）若a⊥α，b⊥（4）若α//β，a?2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）（1）若直線a//平面α，直線a//直線b，則直線b//平面α（2）若直線a//平面α，則直線a與平面α內(nèi)任意一條直線都無(wú)公共點(diǎn).(√（3）若α//β，則平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條互相平行的直線平行于平面β.(（4）如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面內(nèi)的直線異面.(×)2.（易錯(cuò)題）已知α，β是空間中不重合的兩個(gè)平面，a，b，l是空間中不同的三條直線，A，B是空間中不同的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(D).A.a//b，b?α?a//α C.a//α，b//α?a//【易錯(cuò)點(diǎn)】本題容易混淆空間中的線面位置關(guān)系.[解析]由直線與平面平行的判定定理知A錯(cuò)誤（需要加條件a?α）；由平面與平面平行的判定定理知B錯(cuò)誤（需加條件兩直線相交）；直線與平面平行不具備傳遞性，C錯(cuò)誤(a,b可能平行、異面或相交)；由平面基本事實(shí)知D題組2走進(jìn)教材3.（多選題）（人教A版必修②P142·T2改編）平面α與平面β平行的充分條件可以是(CD).A.α內(nèi)有2025條直線都與β平行B.直線a//α，a//β，且直線a不在C.異面直線a，b，a?α，b?βD.α內(nèi)的任何一條直線都與β平行[解析]對(duì)于A，α內(nèi)有2025條直線都與β平行，并不能保證平面α內(nèi)有兩條相交直線與平面β平行，這2025條直線可以是一組平行線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線a//α，a//β，且直線a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)，直線a可以是平行于平面α與平面β的交線的直線，也不能保證平面α與平面對(duì)于C，異面直線a，b，直線a?α，b?β，且a//β，b//對(duì)于D，α內(nèi)的任何一條直線都與β平行，則α內(nèi)至少有兩條相交直線與平面β平行，故平面α與平面β平行，故D正確.故選CD.4.（多選題）（人教A版必修②P143·T4改編）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A'B'A.平面A'B'C'D' B.平面[解析]由于AB//A'B'，AB?平面A'B'C'D'，A'B'?平面A'B'5.[2023·天津卷改編]如圖，在三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，若AB=AC=AA1=2,A[解析]如圖，連接MN,C1A.由M,N分別是BC,BA的中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，得MN//由棱臺(tái)性質(zhì)得，A1C1//AC，則MN//A1C1，由MN=A1C1=1考點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)［多維探究］直線與平面平行的判定典例1[2024·海南模擬]如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，O是正方形ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是PC,（1）（中位線定理）PA//平面BDE（2）（構(gòu)造平行四邊形）EF//平面PAD[解析]（1）如圖，連接OE，因?yàn)镺,E分別是AC，PC的中點(diǎn)，所以O(shè)E//又OE?平面BDE，PA?平面BDE，所以PA//（2）如圖，取PD的中點(diǎn)G,連接AG,EG,則由中位線定理可知EG//CD,且EG=12CD,即EG//AF,且EG=AF,所以四邊形AGEF為平行四邊形.又AG?直線與平面平行的性質(zhì)典例2如圖所示，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是直角梯形，BC//AD,AB⊥AD，AB=BC=12AD,PA⊥底面ABCD，過(guò)BC的平面交PD[解析]如圖，在梯形ABCD中，BC//AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以又BC?平面BCMN，平面BCMN∩平面PAD=1.判斷或證明線面平行的常用方法（1）利用線面平行的定義（無(wú)公共點(diǎn)）.（2）利用線面平行的判定定理a?（3）利用面面平行的性質(zhì)α//（4）利用面面平行的性質(zhì)α//2.應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過(guò)已知直線作輔助平面確定交線.（一題練透）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為棱PC的中點(diǎn)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)（1）求證：PA//平面BDE[解析]連接AC交BD于點(diǎn)G，連接GE，如圖所示，由底面ABCD為平行四邊形，則G為AC的中點(diǎn)，又E為棱PC的中點(diǎn)，所以GE為△PAC的中位線，則GE又GE?平面BDE，PA?平面BDE，故PA//（2）求證：F為PD的中點(diǎn).[解析]由題設(shè)知，CD//AB，AB?平面ABEF，CD?平面ABEF，所以CD//平面ABEF，又CD?平面所以CD//EF，又E為棱PC的中點(diǎn)，所以EF是△PDC的中位線，所以F（3）在棱AB上是否存在點(diǎn)N，使得FN//平面BDE？若存在，求出AN[解析]存在N使得FN//平面BDE且AN取AB的中點(diǎn)H，連接FH，如圖，由題設(shè)得，BH=12AB=12所以BH//EF且BH=所以FH//BE，而B(niǎo)E?平面BDE，F(xiàn)H所以FH//平面BDE，故所求點(diǎn)N即為點(diǎn)H所以棱AB上存在點(diǎn)N,使得FN//平面BDE，且AN考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)［師生共研］典例3如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，AC與BD交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，連接OE，OF，（1）求證：平面OEF//平面PCD（2）若平面ABCD∩平面OEF=l[解析]（1）因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱PA,PB的中點(diǎn)，所以EF//AB，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，AB//又CD?平面PCD，EF?平面PCD，所以EF//又O是BD的中點(diǎn)，所以FO//PD，PD?平面PCD，F(xiàn)O?平面PCD，所以因?yàn)镕O∩EF=F，F(xiàn)O?平面OEF,EF?平面（2）由（1）可知平面OEF//平面PCD,又平面ABCD∩平面OEF=l,平面所以CD//l,又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AB//證明面面平行的常用方法1.面面平行的定義．2.面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．3.利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．4.如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．5.利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，過(guò)BC的平面與上底面A（1）求證：BC//[解析]因?yàn)樵谌庵鵄BC?A1B1又平面BCHG∩平面ABC=BC,且平面BCHG∩平面（2）若E,F,G分別為AB,AC,A1B1的中點(diǎn),求證:平面EF[解析]因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以EF//又因?yàn)镋F?平面BCHG,BC?平面所以EF//平面BCHG又G，E分別為A1B1,AB的中點(diǎn)，AB所以A1G//EB,則四邊形因?yàn)锳1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,所以又因?yàn)锳1E∩EF=E,A1所以平面EFA1//考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用［師生共研］典例4如圖，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，D（1）當(dāng)A1D1D1（2）若平面BC1D//平面[解析]（1）如圖所示，取D1為線段A1C1的中點(diǎn)，此時(shí)A1D1D1由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以在△A1BC1中，O,D1分別為又因?yàn)镺D1?平面AB1D1,BC1?平面AB（2）由已知得，平面BC1D//平面AB1D1，且平面因此BC1//D1O，同理，AD1//DC平行關(guān)系綜合應(yīng)用的策略在立體幾何中常見(jiàn)的平行關(guān)系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系的，并且可以相互轉(zhuǎn)化.要解決平行關(guān)系的綜合問(wèn)題，必須靈活轉(zhuǎn)化三種平行關(guān)系.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P（1）求證：PQ//平面