25屆（新教材QG版）數(shù)學(xué)精練案基礎(chǔ)課40空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系

基礎(chǔ)課40空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系課時(shí)評(píng)價(jià)·提能基礎(chǔ)鞏固練1.[2024·孝感模擬]已知點(diǎn)P0,1,0，QA.?2,?1,?1 B.1,?[解析]由題意得，PQ=?2,?1,1逐項(xiàng)分析即可知只有選項(xiàng)C符合要求.故選C.2.若向量a=1,λ,2，b=?2,1A.1 B.3 C.2 D.4[解析]∵a=1∴a?b=?2又a，b夾角的余弦值為16∴16=a解得λ=1．故選3.已知直線l的一個(gè)方向向量為e=(?1,2,12)，平面α的一個(gè)法向量為n=?3A.1 B.2 C.?2 D.[解析]因?yàn)閘//α，所以e⊥n，所以e?n=0，即4.已知平面α內(nèi)兩向量a=1,1,1，b=0,2,?1，且A.?1，2 B.1，?2 C.1，2 D.?[解析]c=ma+nb+4,?4,1=m,m,m+0,5.設(shè)u=?2,2,t，v=6,?4A.3 B.4 C.5 D.6[解析]∵α⊥β，∴u?v6.已知P是△ABC所在的平面外一點(diǎn)，若AB=?2,1,A.BP//AC B.AP//BC C.[解析]依題意，有BP=AP?對(duì)于A，因?yàn)?3≠?2?3≠0?3，所以BP對(duì)于B，因?yàn)?6≠?2?3≠1?4，所以AP對(duì)于C，因?yàn)锳B?AP=?2?2+4=對(duì)于D，因?yàn)锳P?BP=1×3+?27.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，EA.BD1⊥平面B1EFC.A1C1//平面B1[解析]分別以DA,DC,DD1的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AB=2，則B12,2,2,E2,1,0,F1,2,0,B2,2,0,A12,0,2,C10,2,2,D10,0,2，所以EF=?1,1,0,EB1=0,1,2,BD1=?2,?2,2,DB=2,2,0，A1C1=?2,2,0,DA1=2,0,2.設(shè)平面B1EF8.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CA.14 B.13 C.12[解析]如圖，以A為原點(diǎn)，AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B1,0,0,E(0,1,1可得BA1=?1設(shè)n=x,y,z則n?令z=2，則x=2,y由D1C1=1,0又因?yàn)锽11,0由B1F//平面A1BE，可得n?B綜合提升練9.（多選題）已知A?4,6,?1,B4A.(?154,1,9) B.(154,1,?9[解析]設(shè)平面AOB(O是坐標(biāo)原點(diǎn))的一個(gè)法向量則u?OA→=0,u?OB→=0,即?4x+6y?z=0,4x+3y10.（多選題）已知在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥ACA.AC//平面A1BD B.CDC.∠ADC的取值范圍為(π4,π2][解析]依題作圖，如圖1，并將其補(bǔ)成正方體，如圖2.對(duì)于A,因?yàn)锳C//A1C1，A1C1?平面A1BD，AC?平面A對(duì)于B,如圖1，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z則A0,0,0，C0,1,0，B設(shè)BD=λBC1，CD=1?λ,當(dāng)λ=12時(shí)，CD⊥AC1，當(dāng)λ≠12且λ∈0,1對(duì)于C,判斷以AC為直徑的球與C1B如圖3，取AC的中點(diǎn)F，且點(diǎn)D平分C1B,連接FB,FC1,FD,則所以以AC為直徑的球與C1B沒(méi)有交點(diǎn)，所以∠ADC<π2對(duì)于D,將平面CBC1翻折至與平面ABC1共面，此時(shí)點(diǎn)C與E1重合，所以AD+DC的最小值為AE1，且A11.如圖,在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD,∠BAD[解析]取空間中一個(gè)基底：AB=a,AD=因?yàn)锽D⊥AN，所以因?yàn)锽D=AD?所以b?a?c+λb12.[2024·河南模擬]已知A?1,2,0，B1,2,1，C2[解析]因?yàn)锳?1,2,0，B1,2,1，因?yàn)镻A⊥平面ABC，AB，AC?平面所以AB→?PA→=0,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,應(yīng)用情境練13.如圖1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F(xiàn)分別為線段AB，CD的中點(diǎn)，沿EF把四邊形AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如圖2所示的立體圖形.以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB,EF,EA的方向分別為x,[解析]由題意得A0,0,2，C2,4,0，D0,2,2，F(xiàn)0,3,014.古代城池中的“甕城”，又叫“曲池”，是加裝在城門(mén)前面或里面的又一層門(mén)，若敵人攻入甕城中，可形成“甕中捉鱉”之勢(shì).“曲池”的簡(jiǎn)易圖如圖所示，上、下底面均為半圓環(huán)，AA1⊥平面A1EB1,AA1=3,AB?[解析]設(shè)AB?所在圓的半徑為R，則2則R=2,設(shè)CD?所在圓的半徑為r，則2πr2=π，因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，AB?平面ABCD以A為原點(diǎn)，AB所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，平面ABCD內(nèi)垂直于AB的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0,B0,4,0,C0又E為A1B1?的中點(diǎn)則B1E=2,?設(shè)平面DEB1的一個(gè)法向量為則B1令x=1，則y=1,z設(shè)直線CE與平面DEB1所成角為θ，則sinθ創(chuàng)新拓展練15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1①A1F③S△以其中的一個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)真命題：若A1F⊥BE，則S△ADF=[解析]如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D?則A12,0,2,設(shè)Fx,y,0,x∈[S△ADF=A1因?yàn)锳1所以以其中的一個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，可以寫(xiě)出兩個(gè)真命題：若A1F⊥BE，則S△ADF=16.已知在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)Q滿足D1Q=λD1C10<λ<1，M,N分別為棱（1）用λ和a表示點(diǎn)M，N，Q的坐標(biāo)；