北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題2.3實(shí)數(shù)【十大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題2.3實(shí)數(shù)【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1實(shí)數(shù)與數(shù)軸的綜合應(yīng)用】 1【題型2比較實(shí)數(shù)的大小】 2【題型3實(shí)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算】 2【題型4估算無(wú)理數(shù)】 3【題型5無(wú)理數(shù)整數(shù)部分或小數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算】 4【題型6程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)的運(yùn)算】 4【題型7新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算】 5【題型8實(shí)數(shù)中的實(shí)際應(yīng)用題】 6【題型9實(shí)數(shù)中的規(guī)律探究題】 7【題型10實(shí)數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 7【知識(shí)點(diǎn)1實(shí)數(shù)】無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).常見(jiàn)類(lèi)型：①特定結(jié)構(gòu)的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）．②含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，如2π．【題型1實(shí)數(shù)與數(shù)軸的綜合應(yīng)用】【例1】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，數(shù)軸上表示1，2的點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是（

）A．2?1 B．1?2 C．2?2【變式1-1】（2023春·陜西西安·七年級(jí)西安市曲江第一中學(xué)?？计谥校?shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，那么(b?a)2?|a+b|?3【變式1-2】（2023春·四川宜賓·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的面積為7.頂點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為1，點(diǎn)E在數(shù)軸上，且AD=AE，則點(diǎn)E表示的數(shù)是（

）A．7 B．7?1 C．1+7 【變式1-3】（2023春·河北滄州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一只螞蟻從點(diǎn)B沿?cái)?shù)軸向左爬了2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)A，點(diǎn)B表示3，設(shè)點(diǎn)A所表示的數(shù)為m．(1)實(shí)數(shù)m的值是______．(2)求m+22(3)在數(shù)軸上還有C，D兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)c和d，且有2c+4與d?4互為相反數(shù)，求2c+3d的立方根．【題型2比較實(shí)數(shù)的大小】【例2】（2023春·江蘇南京·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）比較大?。?+12【變式2-2】（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）若0<x<1，則下列關(guān)系式成立的是（

）A．x<1x<C．1x<x<x【變式2-3】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）若a=39，b=5，c=2，則a，b，c的大小關(guān)系為（A．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．a(chǎn)<b<c【題型3實(shí)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算】【例3】（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）若35取1.71，計(jì)算435A．71 B．171 C．1.71 D．17.1【變式3-1】（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）若a、b、c是有理數(shù)，且滿足等式a＋b2＋c3＝2﹣2＋33，試計(jì)算（a﹣c）2013＋b2014的值．【變式3-2】（2023春·湖南永州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算下列各題：(1)?35÷(?7)×(?(2)?【變式3-3】（2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算下列各題：（1）16+（2）7?2（3）?62【知識(shí)點(diǎn)2估算法】（1）若，則；（2）若，則；根據(jù)這兩個(gè)重要的關(guān)系，我們通常可以找距離a最近的兩個(gè)平方數(shù)和立方數(shù)，來(lái)估算和的大小．例如：，則；，則．常見(jiàn)實(shí)數(shù)的估算值：，，．【題型4估算無(wú)理數(shù)】【例4】（2023春·四川成都·七年級(jí)成都七中?？计谥校┰跀?shù)軸上表示?5和330的兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)有（A．6 B．7 C．8 D．9【變式4-1】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）判斷11+1之值介于下列哪兩個(gè)整數(shù)之間？（

A．3，4 B．4，5 C．5，6 D．6，7【變式4-2】（2023春·河北石家莊·七年級(jí)校考期末）如圖，在數(shù)軸上標(biāo)有O，A，B，C，D五個(gè)點(diǎn)，根據(jù)圖中各點(diǎn)所表示的數(shù)，判斷12應(yīng)該在下列線段的（

）

A．OA上 B．AB上 C．BC上 D．CD上【變式4-3】（2023春·四川資陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）規(guī)定a表示小于a的最大整數(shù)，如3=2，10=3．現(xiàn)將37進(jìn)行如下操作：37?【題型5無(wú)理數(shù)整數(shù)部分或小數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算】【例5】（2023春·湖北宜昌·七年級(jí)校聯(lián)考期中）若n<10<n+1，m<?8<m+1，其中m、n【變式5-1】（2023春·廣東河源·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知k是5的小數(shù)部分，則1k+1=【變式5-2】（2023春·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知6+10的小數(shù)部分為a，6?10的小數(shù)部分為b，則a+b2023A．1 B．?1 C．10 D．36【變式5-3】（2023春·四川眉山·七年級(jí)?？计谥校┮阎?+11的整數(shù)部分為a，6?11的小數(shù)部分為(1)求a+b的值；(2)求a?b的值．【題型6程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)的運(yùn)算】【例6】（2023·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖是一個(gè)無(wú)理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說(shuō)法：①當(dāng)輸出值y為3時(shí)，輸入值x為3或9；②當(dāng)輸入值x為16時(shí)，輸出值y為2；③對(duì)于任意的正無(wú)理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運(yùn)行，但始終不能輸出y值．其中錯(cuò)誤的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③【變式6-1】（2023春·貴州六盤(pán)水·七年級(jí)統(tǒng)考期中）根據(jù)以下程序，當(dāng)輸入2時(shí)，輸出結(jié)果為（

）A．2 B．3 C．2 D．3【變式6-2】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）根據(jù)如圖所示的計(jì)算程序，若輸入的x的值為4，則輸出的y的值為．【變式6-3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）按如圖所示的程序計(jì)算：若開(kāi)始輸入的值為64，輸出的值是．【題型7新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算】【例7】（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)?？计谀?duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義mina，b的含義為∶當(dāng)a<b時(shí)，min{a，b}=a；當(dāng)a>b時(shí)，min{a，b}=b，例如∶min{1，?2}=?2．已知min{30，a}=a，【變式7-1】（2023春·江蘇·七年級(jí)期末）我們規(guī)定用(a,b)表示一對(duì)數(shù)對(duì)，給出如下定義：記m=1a，n=b（其中a>0，b>0），將(m,n)與(n,m)稱為數(shù)對(duì)(a,b)的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”．例如：(4,1)的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”為1(1)數(shù)對(duì)(16,5)的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”是________；(2)若數(shù)對(duì)(9,b)的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”相同，則b的值為_(kāi)_______；(3)若數(shù)對(duì)(a,b)的一個(gè)“和諧數(shù)對(duì)”是(2,1)，直接寫(xiě)出ab的值________．【變式7-2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)a，我們規(guī)定，用符號(hào)[a]表示不大于a的最大整數(shù)，稱[a]為a的根整數(shù)，例如：(1)仿照以上方法計(jì)算：[4]=_____；(2)計(jì)算：[1(3)如果我們對(duì)a連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為1為止，例如，對(duì)10連續(xù)求根整數(shù)2次，即10=3→[【變式7-3】（2023春·福建福州·七年級(jí)校考期末）如果有一個(gè)三位數(shù)p，百位數(shù)為9，十位數(shù)和個(gè)位數(shù)之和也是9，我們把這個(gè)三位數(shù)稱為“九伴數(shù)”，把p的百位數(shù)和個(gè)位數(shù)互換位置得到數(shù)p′．并規(guī)定F（例如918∵1+8=9且百位是9∴918是“九伴數(shù)”，F(xiàn)（(1)若a=946，b=936，直接判斷a，b是否是“九伴數(shù)”，如果是請(qǐng)求出F（a）或(2)若s和t都是“九伴數(shù)”，且s和t的個(gè)位數(shù)分別為m，①分別用含m，n的式子表示F（s）和F（②若2F（s）+F（t）=【題型8實(shí)數(shù)中的實(shí)際應(yīng)用題】【例8】（2023春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在面積為2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以邊BC為直徑的半圓，則剩下的木料的面積為多少平方米？（π≈3.14，結(jié)果精確到0.1）【變式8-1】（2023春·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期中）座鐘的擺針擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回所需的時(shí)間稱為一個(gè)周期，其計(jì)算公式為T(mén)＝2πl(wèi)g，其中T表示周期(單位：秒)，l表示擺長(zhǎng)(單位：米)，g＝9.8米/秒2【變式8-2】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一個(gè)半徑為10cm的圓柱體容器里的藥液倒進(jìn)一個(gè)底面是正方形的長(zhǎng)方體容器內(nèi)，如果藥液在兩個(gè)容器里的高度是一樣的，那么長(zhǎng)方體容器的底面邊長(zhǎng)是多少？（結(jié)果精確到0.1）【變式8-3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)為2cm，寬為1（1）將長(zhǎng)方形ABCD進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指睿ó?huà)出分割線），使分割后的圖形能拼成一個(gè)正方形，并畫(huà)出所拼的正方形；（標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)和數(shù)據(jù)）（2）求所拼正方形的邊長(zhǎng)．【題型9實(shí)數(shù)中的規(guī)律探究題】【例9】（2023春·福建泉州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）按一定規(guī)律排列的一列數(shù):3，82，153，244，其中第7A．437 B．637 C．357【變式9-1】（2023春·福建漳州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）22+4+1=3,32+6+1【變式9-2】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將正整數(shù)的算術(shù)平方根按如圖所示的規(guī)律排列下去．若用有序?qū)崝?shù)對(duì)(m,n)表示第m排，從左到右第n個(gè)數(shù)，如(4,2)表示實(shí)數(shù)8，則這些實(shí)數(shù)中從小到大第十個(gè)有理數(shù)對(duì)應(yīng)的有序數(shù)對(duì)是．【變式9-3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）在草稿紙上計(jì)算：①13；②13+23；③13【題型10實(shí)數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例10】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）已知a是19的整數(shù)部分，b是19的小數(shù)部分，求2a+b的值．【變式10-1】（2023春·江西吉安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，它們所表示的數(shù)分別為a、b、c三個(gè)數(shù)，其中b<0，且b的倒數(shù)是它本身，且a、c滿足c?42（1）計(jì)算：a2專題2.3實(shí)數(shù)【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1實(shí)數(shù)與數(shù)軸的綜合應(yīng)用】 1【題型2比較實(shí)數(shù)的大小】 4【題型3實(shí)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算】 6【題型4估算無(wú)理數(shù)】 8【題型5無(wú)理數(shù)整數(shù)部分或小數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算】 10【題型6程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)的運(yùn)算】 12【題型7新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算】 14【題型8實(shí)數(shù)中的實(shí)際應(yīng)用題】 18【題型9實(shí)數(shù)中的規(guī)律探究題】 20【題型10實(shí)數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 22【知識(shí)點(diǎn)1實(shí)數(shù)】無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).常見(jiàn)類(lèi)型：①特定結(jié)構(gòu)的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）．②含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，如2π．【題型1實(shí)數(shù)與數(shù)軸的綜合應(yīng)用】【例1】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，數(shù)軸上表示1，2的點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是（

）A．2?1 B．1?2 C．2?2【答案】A【分析】根據(jù)中點(diǎn)得AC=BC，然后從A點(diǎn)向左平移即可；【詳解】解：∵點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，∴AC=BC=2∴點(diǎn)C所表示的數(shù)為：1?2故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系、線段的中點(diǎn)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，中點(diǎn)性質(zhì)的運(yùn)用是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·陜西西安·七年級(jí)西安市曲江第一中學(xué)校考期中）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，那么(b?a)2?|a+b|?3【答案】?3b【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置判斷出：a，b，b?a，a+b的符號(hào)，再根據(jù)算術(shù)平方根、立方根以及絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置可知：a>0，b<0，且|a|>|b|，因此，a+b＞0，所以，(b?a)2故答案為：?3b【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸、算術(shù)平方根、立方根以及絕對(duì)值的性質(zhì)等知識(shí)，正確判斷符號(hào)是正確化簡(jiǎn)的前提．【變式1-2】（2023春·四川宜賓·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的面積為7.頂點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為1，點(diǎn)E在數(shù)軸上，且AD=AE，則點(diǎn)E表示的數(shù)是（

）A．7 B．7?1 C．1+7 【答案】A【分析】因?yàn)槊娣e為7的正方形ABCD邊長(zhǎng)為7，所以AB=7，而AB=AE，得AE=7，A點(diǎn)的坐標(biāo)為1，故E點(diǎn)的坐標(biāo)為【詳解】解：∵正方形ABCD的面積為7，即AB∴AB=7∵AB=AE，∴AE=7∵A點(diǎn)表示的數(shù)為1，∴E點(diǎn)表示的數(shù)為7+1【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸有關(guān)的問(wèn)題，算術(shù)平方根，關(guān)鍵是結(jié)合題意求出AB=AE=7【變式1-3】（2023春·河北滄州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一只螞蟻從點(diǎn)B沿?cái)?shù)軸向左爬了2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)A，點(diǎn)B表示3，設(shè)點(diǎn)A所表示的數(shù)為m．(1)實(shí)數(shù)m的值是______．(2)求m+22(3)在數(shù)軸上還有C，D兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)c和d，且有2c+4與d?4互為相反數(shù)，求2c+3d的立方根．【答案】(1)3(2)3(3)2【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上右加左減的規(guī)律求解即可；（2）把m的值代入m+22（3）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出c和d的值，再求求2c+3d的立方根．【詳解】（1）解：∵一只螞蟻從點(diǎn)B沿?cái)?shù)軸向左爬了2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)A，點(diǎn)B表示3，∴實(shí)數(shù)m的值是3?2故答案為：3?2（2）解：當(dāng)m=3m+2==3?=3（3）解：∵2c+4與d?4互為相反數(shù)，∴2c+4+∵d?4≥0，2c+4∴2c+4=0，d?4即2c+4=0，d?4=0，∴c=?2，d=4，∴3即2c+3d的立方根是2．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，相反數(shù)的定義，以及立方根的定義，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．【題型2比較實(shí)數(shù)的大小】【例2】（2023春·江蘇南京·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）比較大?。?+12【答案】<【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的方法求解即可．【詳解】解：5+122∴5+1∵52∴5<3∴5+1∴5+1又∵5+1∴5+1故答案為：＜．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)比較大小，熟知實(shí)數(shù)比較大小的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）比較2?1和2?【答案】2【分析】利用作差法及無(wú)理數(shù)的估算，即可比較出大?。驹斀狻拷猓??1?∵22∴22∴?3+22∴2∴2【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)大小的比較方法-作差法，無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握和運(yùn)用無(wú)理數(shù)大小的比較方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）若0<x<1，則下列關(guān)系式成立的是（

）A．x<1x<C．1x<x<x【答案】B【分析】可以采用取特殊值法，逐一求解，然后進(jìn)行比較即可．【詳解】解：∵0<x<1∴令x=∴1x=4，x∵1∴x2故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的大小比較、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、整數(shù)指數(shù)冪等知識(shí)點(diǎn)，靈活利用相關(guān)運(yùn)算法則以及掌握特殊值法是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）若a=39，b=5，c=2，則a，b，cA．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．a(chǎn)<b<c【答案】A【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算判斷出2<39<2.2【詳解】解：∵8<9<10.648，∴2<3∵4.84<5，∴2.2<5∴2<39<【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，無(wú)理數(shù)的估算，正確掌握無(wú)理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．【題型3實(shí)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算】【例3】（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）若35取1.71，計(jì)算435A．71 B．171 C．1.71 D．17.1【答案】D【分析】先合并同類(lèi)根式，然后將35【詳解】解：4==當(dāng)35取1.71時(shí)，100【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是合并同類(lèi)立方根式，然后將數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算．【變式3-1】（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）若a、b、c是有理數(shù)，且滿足等式a＋b2＋c3＝2﹣2＋33，試計(jì)算（a﹣c）2013＋b2014的值．【答案】0【分析】根據(jù)題意得出a＝2，b＝﹣1，c＝3，再代入即可求值．【詳解】解：∵a、b、c是有理數(shù)，且滿足等式a＋b2＋c3＝2﹣2＋33，∴a＝2，b＝﹣1，c＝3，則（a﹣c）2013+b2014＝﹣12013+（﹣1）2014＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解實(shí)數(shù)的意義，求出a、b、c的值是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·湖南永州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算下列各題：(1)?35÷(?7)×(?(2)?【答案】(1)182(2)13【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先算括號(hào)里面的，再算乘方，乘法，最后算加減即可．【詳解】（1）解：原式＝5×（﹣17）﹣23×（﹣60）+112＝﹣57＝182（2）原式＝﹣1﹣0.5×43＝﹣1﹣23＝﹣1+4＝13【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要注意各種運(yùn)算律的靈活應(yīng)用．【變式3-3】（2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算下列各題：（1）16+（2）7?2（3）?62【答案】（1）118；（2）?π；（3）【分析】（1）先計(jì)算算術(shù)平方根、立方根，再計(jì)算有理數(shù)的加減即可得；（2）先化簡(jiǎn)絕對(duì)值、計(jì)算算術(shù)平方根，再計(jì)算實(shí)數(shù)的加減即可得；（3）先計(jì)算算術(shù)平方根、化簡(jiǎn)絕對(duì)值、立方根、實(shí)數(shù)的平方，再計(jì)算實(shí)數(shù)的加減即可得．【詳解】解：（1）原式=4+(?3)?1=4?3?1=11（2）原式=7?2=7?2=?π；（3）原式=36=6+2=8+2【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根與立方根、實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算、化簡(jiǎn)絕對(duì)值，熟練掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)2估算法】（1）若，則；（2）若，則；根據(jù)這兩個(gè)重要的關(guān)系，我們通常可以找距離a最近的兩個(gè)平方數(shù)和立方數(shù)，來(lái)估算和的大小．例如：，則；，則．常見(jiàn)實(shí)數(shù)的估算值：，，．【題型4估算無(wú)理數(shù)】【例4】（2023春·四川成都·七年級(jí)成都七中?？计谥校┰跀?shù)軸上表示?5和330的兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)有（A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】首先對(duì)?5和330進(jìn)行估算，然后把?5【詳解】解：∵4<5<9，∴2<5∴?3<?5∵27<30<64，∴3<3把?5和3∴表示?5和330的兩點(diǎn)之間的整數(shù)有?2、?1、0、1、2、3，共有故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算、數(shù)軸，解本題的關(guān)鍵在正確估算出?5和3【變式4-1】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）判斷11+1之值介于下列哪兩個(gè)整數(shù)之間？（

A．3，4 B．4，5 C．5，6 D．6，7【答案】B【分析】根據(jù)9<11<16，估算出11在哪兩個(gè)整數(shù)之間，再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵9<11<16，∴3<11∴3+1<11∴4<11【點(diǎn)睛】本題主要考查的是估算無(wú)理數(shù)的大小，熟知估算無(wú)理數(shù)大小要用逼近法是解答此題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·河北石家莊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在數(shù)軸上標(biāo)有O，A，B，C，D五個(gè)點(diǎn)，根據(jù)圖中各點(diǎn)所表示的數(shù)，判斷12應(yīng)該在下列線段的（

）

A．OA上 B．AB上 C．BC上 D．CD上【答案】B【分析】計(jì)算已知點(diǎn)的平方，再進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵2.52=6.25∴2.5<12∴12在數(shù)軸上的位置會(huì)在線段AB上，【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理數(shù)的估算，數(shù)軸表示數(shù)的意義和方法，正確的估算無(wú)理數(shù)的大小是正確判斷的前提．【變式4-3】（2023春·四川資陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）規(guī)定a表示小于a的最大整數(shù)，如3=2，10=3．現(xiàn)將37進(jìn)行如下操作：37?【答案】677【分析】根據(jù)可用a表示小于a的最大整數(shù)，反推回去每次求最小整數(shù)可得答案．【詳解】解：∵第四次2=1，最小整數(shù)為則第三次為22+1=第二次為52+1=第一次為262+1=故答案為：677【點(diǎn)睛】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，利用了任何實(shí)數(shù)a，用a表示小于a的最大整數(shù)，反推是解題的關(guān)鍵．【題型5無(wú)理數(shù)整數(shù)部分或小數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算】【例5】（2023春·湖北宜昌·七年級(jí)校聯(lián)考期中）若n<10<n+1，m<?8<m+1，其中m、n【答案】0【分析】根據(jù)平方根的定義估算出n＜10＜n＋1和m＜?8＜m＋1在各自范圍內(nèi)的數(shù)，求出【詳解】由題意可知，求出10和8的整數(shù)部分，可得，∵32＜10＜42，∴3＜10＜4，即n＝3，∵22＜8＜32，∴－3＜－8＜－2，即m＝－3，∴m＋n＝0，故答案為0.【點(diǎn)睛】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，熟練掌握該方法是本題解題的關(guān)鍵.【變式5-1】（2023春·廣東河源·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知k是5的小數(shù)部分，則1k+1=【答案】1【分析】先估算出k的值，再代入化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：∵2<5∴k=5∴1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理數(shù)的估算、二次根式的化簡(jiǎn)，掌握二次根式的運(yùn)算法則是得出正確答案的前提．【變式5-2】（2023春·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知6+10的小數(shù)部分為a，6?10的小數(shù)部分為b，則a+b2023A．1 B．?1 C．10 D．36【答案】D【分析】根據(jù)題意得出a=10【詳解】解：∵3<10∴9<6+10<10∴6+10的小數(shù)部分為6+10?9=10?3∴a=∴a+b2023【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，根據(jù)題意得出a=10【變式5-3】（2023春·四川眉山·七年級(jí)?？计谥校┮阎?+11的整數(shù)部分為a，6?11的小數(shù)部分為(1)求a+b的值；(2)求a?b的值．【答案】(1)13?(2)5+【分析】（1）先估算出3<11<4，進(jìn)而得到9<6+11<10，2<6?11（2）根據(jù)（1）所求進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵9<11<16，∴3<11∴9<6+11<10，∴2<6?11∴a=9，∴a+b=9+4?11（2）解：由（1）得a?b=9?4?【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，實(shí)數(shù)的混合計(jì)算，代數(shù)式求值，正確求出a、b的值是解題的關(guān)鍵．【題型6程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)的運(yùn)算】【例6】（2023·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖是一個(gè)無(wú)理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說(shuō)法：①當(dāng)輸出值y為3時(shí)，輸入值x為3或9；②當(dāng)輸入值x為16時(shí)，輸出值y為2；③對(duì)于任意的正無(wú)理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運(yùn)行，但始終不能輸出y值．其中錯(cuò)誤的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③【答案】D【分析】根據(jù)運(yùn)算規(guī)則即可求解．【詳解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①說(shuō)法錯(cuò)誤；②輸入值x為16時(shí)，16=③對(duì)于任意的正無(wú)理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y，如輸入π2，故③說(shuō)法錯(cuò)誤；④當(dāng)x=1時(shí)，始終輸不出y值．因?yàn)?的算術(shù)平方根是1，一定是有理數(shù)，故④原說(shuō)法正確．其中錯(cuò)誤的是①③．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：π，2π等；開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．【變式6-1】（2023春·貴州六盤(pán)水·七年級(jí)統(tǒng)考期中）根據(jù)以下程序，當(dāng)輸入2時(shí)，輸出結(jié)果為（

）A．2 B．3 C．2 D．3【答案】D【分析】把x=2代入程序，重復(fù)計(jì)算x2?1，直到結(jié)果小于【詳解】解：把x=2代入程序，x2把x=3代入程序，x輸出2，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，實(shí)數(shù)大小的比較，解題關(guān)鍵是根據(jù)程序進(jìn)行計(jì)算求解．【變式6-2】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）根據(jù)如圖所示的計(jì)算程序，若輸入的x的值為4，則輸出的y的值為．【答案】1【分析】先把x=4=2＜4，代入12【詳解】當(dāng)x=4=2時(shí)，y=12故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值和算術(shù)平方根，解答本題的關(guān)鍵就是弄清楚圖中給出的計(jì)算程序．【變式6-3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）按如圖所示的程序計(jì)算：若開(kāi)始輸入的值為64，輸出的值是．【答案】2【分析】根據(jù)運(yùn)算順序，先求算術(shù)平方根，再求立方根，最后求算術(shù)平方根，可得答案．【詳解】解：64＝8，38＝2，2的算術(shù)平方根是2故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根和立方根的意義，熟練掌握算術(shù)平方根和立方根的意義是解題關(guān)鍵．【題型7新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算】【例7】（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)?？计谀?duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義mina，b的含義為∶當(dāng)a<b時(shí)，min{a，b}=a；當(dāng)a>b時(shí)，min{a，b}=b，例如∶min{1，?2}=?2．已知min{30，a}=a，【答案】4【分析】根據(jù)a和b的范圍，求出a和b的值，然后代入2a?b即可求解．【詳解】解：∵min30，a∴a＜∵a和b為兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)，5＜∴a=5，∴2a?b=2×5?6=4．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查用新定義解決數(shù)學(xué)問(wèn)題及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確理解新定義是求解本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·江蘇·七年級(jí)期末）我們規(guī)定用(a,b)表示一對(duì)數(shù)對(duì)，給出如下定義：記m=1a，n=b（其中a>0，b>0），將(m,n)與(n,m)稱為數(shù)對(duì)(a,b)的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”．例如：(4,1)的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”為1(1)數(shù)對(duì)(16,5)的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”是________；(2)若數(shù)對(duì)(9,b)的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”相同，則b的值為_(kāi)_______；(3)若數(shù)對(duì)(a,b)的一個(gè)“和諧數(shù)對(duì)”是(2,1)，直接寫(xiě)出ab的值________．【答案】(1)14,(2)1(3)14【分析】（1）利用“和諧數(shù)對(duì)”的規(guī)定解答即可；（2）利用“和諧數(shù)對(duì)”的定義列出關(guān)于b的等式解答即可；（3）利用“和諧數(shù)對(duì)”的定義列出關(guān)于a、b的等式解答即可．【詳解】（1）解：∵m=116=∴數(shù)對(duì)(16,5)的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”是14,5故答案為：14,5（2）解：∵數(shù)對(duì)(9,b)的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”相同，∴1∴b=1故答案為：19（3）解：∵數(shù)對(duì)(a,b)的一個(gè)“和諧數(shù)對(duì)”是(2,1)，∴m=1a=2，n=b=1∴a=14，b=1，或a=1，∴ab=14故答案為：14【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義的實(shí)數(shù)運(yùn)算，理解新定義的規(guī)定并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)a，我們規(guī)定，用符號(hào)[a]表示不大于a的最大整數(shù)，稱[a]為a的根整數(shù)，例如：(1)仿照以上方法計(jì)算：[4]=_____；(2)計(jì)算：[1(3)如果我們對(duì)a連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為1為止，例如，對(duì)10連續(xù)求根整數(shù)2次，即10=3→[【答案】(1)2；6(2)131(3)255【分析】（1）根據(jù)題目所給的定義進(jìn)行求解即可；（2）通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，所求的和中共有3個(gè)1，5個(gè)2，7個(gè)3，9個(gè)4，11個(gè)5和1個(gè)6，將這些數(shù)字相加即可得到答案；（3）根據(jù)題目所給定義可知，經(jīng)過(guò)4次操作后結(jié)果為1的最小正整數(shù)為256，則可得經(jīng)過(guò)3次操作后結(jié)果為1的最大正整數(shù)為255．【詳解】（1）解：∵4=2∴4=2∵36<37<49，∴6<37∴37=6故答案為：2；6；（2）解：∵1=1∴[=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6=131；（3）解：∵256=16∴256=16，16=4，4=2∴256剛好經(jīng)過(guò)4次操作后的結(jié)果為1，∵255=15，15=3，∴255剛好經(jīng)過(guò)3次操作后的結(jié)果為1，∴只需進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運(yùn)算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中，最大的是255，故答案為：255．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，無(wú)理數(shù)的估算，算術(shù)平方根，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·福建福州·七年級(jí)?？计谀┤绻幸粋€(gè)三位數(shù)p，百位數(shù)為9，十位數(shù)和個(gè)位數(shù)之和也是9，我們把這個(gè)三位數(shù)稱為“九伴數(shù)”，把p的百位數(shù)和個(gè)位數(shù)互換位置得到數(shù)p′．并規(guī)定F（例如918∵1+8=9且百位是9∴918是“九伴數(shù)”，F(xiàn)（(1)若a=946，b=936，直接判斷a，b是否是“九伴數(shù)”，如果是請(qǐng)求出F（a）或(2)若s和t都是“九伴數(shù)”，且s和t的個(gè)位數(shù)分別為m，①分別用含m，n的式子表示F（s）和F（②若2F（s）+F（t）=【答案】(1)a不是“九伴數(shù)”，b是“九伴數(shù)”，175(2)①F（s）【分析】（1）按照“九伴數(shù)”定義驗(yàn)證即可；（2）①根據(jù)s和t都是“九伴數(shù)”，且s和t的個(gè)位數(shù)分別為m，n，用m，n表示出s和t，表示出F（s）、F（t）；②根據(jù)2F（s）+F（【詳解】（1）∵4+6=10，∴a不是“九伴數(shù)”，∵3+6=9，∴b是“九伴數(shù)”，∴F（（2）①∵s和t都是“九伴數(shù)”，且s和t的個(gè)位數(shù)分別為m，n，∴s=900+10（t=900+10（∴F（F（②∵2F（∴2（∴n+2m=23，∴m=7，m=8，m=9，∴s=927，s=918，s=909，∴當(dāng)s=927，nF(s)＝9927＝1103，m此時(shí)mF(t)＞nF(s)，當(dāng)s=918，nF(s)＝7918，mF(t)此時(shí)mF(t)＞nF(s)，當(dāng)s=909，nF(s)＝5909，mF(t)此時(shí)mF(t)＞nF(s)，【點(diǎn)睛】此題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意并根據(jù)新定義做題．【題型8實(shí)數(shù)中的實(shí)際應(yīng)用題】【例8】（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在面積為2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以邊BC為直徑的半圓，則剩下的木料的面積為多少平方米？（π≈3.14，結(jié)果精確到0.1）【答案】1.2平方米【分析】根據(jù)題意，剩下的木料的面積等于正方形面積減去半圓面積?！驹斀狻拷猓河深}意得，正方形的邊長(zhǎng)為2米，則半圓的半徑為r=2剩下的木料的面積=2?12π≈2?1=2?0.785，=1.215，≈1.2（平方米）答：剩下的木料的面積約為1.2平方米．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)際問(wèn)題中的實(shí)數(shù)的運(yùn)算：正方形和圓形結(jié)合的陰影面積的求法，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)D形面積之間的關(guān)系．【變式8-1】（2023春·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期中）座鐘的擺針擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回所需的時(shí)間稱為一個(gè)周期，其計(jì)算公式為T(mén)＝2πl(wèi)g，其中T表示周期(單位：秒)，l表示擺長(zhǎng)(單位：米)，g＝9.8米/秒2【答案】42次【分析】根據(jù)題意可知，直接把數(shù)值代入公式中進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：T＝2π0.59.8≈1.42，60÷1.42答：在1分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了42次滴答聲．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的應(yīng)用.認(rèn)真審題找準(zhǔn)數(shù)值是關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一個(gè)半徑為10cm的圓柱體容器里的藥液倒進(jìn)一個(gè)底面是正方形的長(zhǎng)方體容器內(nèi)，如果藥液在兩個(gè)容器里的高度是一樣的，那么長(zhǎng)方體容器的底面邊長(zhǎng)是多少？（結(jié)果精確到0.1）【答案】17.7cm【分析】由題意得，圓柱體和長(zhǎng)方體里面的藥液是一樣的，所以體積相同，根據(jù)高度一樣，結(jié)合體積公式可得兩個(gè)容器底面積相等，列出式子求出即可．【詳解】解：由題意得兩個(gè)容器底面積相等，所以體積相同，再根據(jù)體積公式可得兩個(gè)容器的底面積相等，即正方形面積為π×102＝100π設(shè)長(zhǎng)方體容器底面邊長(zhǎng)為x∴x2=100π∴x==100π長(zhǎng)方體容器底面邊長(zhǎng)為100π≈17.7cm．答：長(zhǎng)方體容器的底面邊長(zhǎng)約為17.7cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，能夠得出底面積相等，列出方程，準(zhǔn)確的解出方程是解決本題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)為2cm，寬為1（1）將長(zhǎng)方形ABCD進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指睿ó?huà)出分割線），使分割后的圖形能拼成一個(gè)正方形，并畫(huà)出所拼的正方形；（標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)和數(shù)據(jù)）（2）求所拼正方形的邊長(zhǎng)．【答案】（1）分割方法不唯一，如圖，見(jiàn)解析；（2）拼成的正方形邊長(zhǎng)為2cm【分析】（1）根據(jù)AB=2AD，可找到CD的中點(diǎn)，即可分成兩個(gè)正方形，再沿對(duì)角線分割一次，即可補(bǔ)全成一個(gè)新的正方形；（2）設(shè)拼成的正方形邊長(zhǎng)為xcm【詳解】（1）如圖，∵AB=2AD，找到CD,AB的中點(diǎn)，如圖所示，可把矩形分割成4個(gè)等腰直角三角形，再拼成一個(gè)新的正方形；（2）設(shè)拼成的正方形邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)題意得x∴x=2答：拼成的正方形邊長(zhǎng)為2cm【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的特點(diǎn)進(jìn)行分割．【題型9實(shí)數(shù)中的規(guī)律探究題】【例9】（2023春·福建泉州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）按一定規(guī)律排列的一列數(shù):3，82，153，244，其中第7A．437 B．637 C．357【答案】B【分析】觀察這列數(shù)，得到分子和分母的規(guī)律，進(jìn)而得到答案．【詳解】解：根據(jù)一列數(shù)：3，82=32?1第n個(gè)數(shù)分母是n，分子是(n+1)2-1的算術(shù)平方根，據(jù)此可知：第7個(gè)數(shù)是82?故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化類(lèi)，從分子、分母兩個(gè)方面考慮求解是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于觀察出分子的變化．【變式9-1】（2023春·福建漳州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）22+4+1=3,32+6+1【答案】n【分析】觀察被開(kāi)方數(shù)所隱含的規(guī)律，然后用含字母n的式子表示規(guī)律即可．【詳解】∵22＋4＋1＝22＋2×2×1＋132＋6＋1＝32＋2×4×1＋1；42＋8＋1＝42＋2×4×1＋1；52＋10＋1＝22＋2×5×1＋1；…∴n故答案為n2【點(diǎn)睛】本題主要考查的是算術(shù)平方根、探究數(shù)字的變化規(guī)律，掌握被開(kāi)放數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將正整數(shù)的算術(shù)平方根按如圖所示的規(guī)律排列下去．若用有序?qū)崝?shù)對(duì)(m,n)表示第m排，從左到右第n個(gè)數(shù)，如(4,2)表示實(shí)數(shù)8，則這些實(shí)數(shù)中從小到大第十個(gè)有理數(shù)對(duì)應(yīng)的有序數(shù)對(duì)是．【答案】（14，9）【分析】根據(jù)題意可知第十個(gè)有理數(shù)為10，即100，根據(jù)第m排有m個(gè)數(shù)，找到第100個(gè)數(shù)即可求解．【詳解】解：依題意