2024屆廣東省廣州市高三上學(xué)期調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題及答案

2024屆廣州市高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.用2B鉛筆在答題卡的相應(yīng)位置填涂考生號(hào).2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.zzz2，zz，則（）z1.已知復(fù)數(shù)滿足A1B.2C.5D.25，xMxy12xNyyeMN2已知集合，則（）121212,,A.B.C.D.a4，btaj3.已知向量，若與b共線，則向量ab在向量上的投影向量為（）A.j4.已知函數(shù)B.jC.2jD.2jbab0是奇函數(shù)，則（fxa）31xA.2ab0B.2ab0C.ab0D.ab05.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱(chēng)為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，……．記各層球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，且anan1a為等n1的前100項(xiàng)和為（差數(shù)列，則數(shù)列）an第1頁(yè)/共5頁(yè)9950200101A.B.C.D.6.直線l:y2與圓C:xy6x70交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍為（）22D.23,87,427,83,4A.B.C.π15350，sin7.已知，，則的值為（）2351AB.C.D.22531fxx3ax2x1在區(qū)間2上存在極小值點(diǎn)，則a的取值范圍為（8.若函數(shù)）354554,2D.A.B.C.4二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.某市實(shí)行居民階梯電價(jià)收費(fèi)政策后有效促進(jìn)了節(jié)能減排．現(xiàn)從某小區(qū)隨機(jī)調(diào)查了200戶(hù)家庭十月份的用電量（單位：kW·h圖，則（）A.圖中a的值為0.015B.樣本的第25百分位數(shù)約為217C.樣本平均數(shù)約為198.4第2頁(yè)/共5頁(yè)D.在被調(diào)查的用戶(hù)中，用電量落在230內(nèi)的戶(hù)數(shù)為108x22y21a0的左、右焦點(diǎn)別為F1FF，過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線E的右支相2210.已知雙曲線E:，a2P,Q交于兩點(diǎn)，則（）A.若E的兩條漸近線相互垂直，則a2B.若E的離心率為3，則E的實(shí)軸長(zhǎng)為1FPF90PFPF412C若，則121周長(zhǎng)的最小值為82aD.當(dāng)變化時(shí)，3π,1π4fxsin）Px的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則（b011.已知點(diǎn)是函數(shù)83π8fx1是奇函數(shù)A.B.28k，kN*333ππ88C.若在區(qū)間fx,上有且僅有2條對(duì)稱(chēng)軸，則2π2π55143D.若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則2或fx,ABCDCDAABC，，的中11112.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，已知M，N，P分別是棱1111點(diǎn)，Q為平面PMN上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線1的夾角為，則（）1DB1A.平面PMN第3頁(yè)/共5頁(yè)B.平面PMN截正方體所得的截面面積為33πC.點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為D.能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計(jì)）的球的半徑的最大值為332三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知拋物線C:y點(diǎn)）的面積為2，則22pxp0的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，x軸，若（O為坐標(biāo)原p______.514.2x2xy的展開(kāi)式中x5y2的系數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）.PABC平面，，615.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，6AB26，且與平面所成角的正弦值為，則該球的表面積為_(kāi)_____.6fxe2x2ax2e16.已知函數(shù)xa2x2a0恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則a______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．的前項(xiàng)和為，且Sn1.aSn2an17.設(shè)數(shù)列nn（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；ana,為奇數(shù)（2）若數(shù)列滿足bn2n，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和bn.b2nna,為偶數(shù)n18.如圖，在四棱錐P中，CD//AB，90，AB2BC4，三棱錐42B的體積為.3（1）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；PADABCDNAN2NPNCD，求平面與平面（2）若PAPD，平面平面，點(diǎn)在線段AP上，ABCD夾角的余弦值.第4頁(yè)/共5頁(yè)bsinBcsinCasinAbsinBsinC且19.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知πC.2πBA（1）求證：；2（2）求AsinBsinC的取值范圍.20.已知函數(shù)fxx2xax.yfx在點(diǎn)f0（1）當(dāng)a0時(shí)，求曲線處的切線方程；fx0，求a的取值范圍.1x0（2）當(dāng)時(shí)，21.杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭大運(yùn)河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅(jiān)強(qiáng)剛毅的拼搏精神，海納百川的時(shí)代精神和精致和諧的人文精神．甲同學(xué)可采用如下兩種方式購(gòu)買(mǎi)吉祥物，方式一：以盲盒方式購(gòu)買(mǎi)，每個(gè)盲盒19元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機(jī)放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一個(gè)，只有打開(kāi)才會(huì)知道買(mǎi)到吉祥物的款式，買(mǎi)到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接購(gòu)買(mǎi)吉祥物，每個(gè)30元．（1）甲若以方式一購(gòu)買(mǎi)吉祥物，每次購(gòu)買(mǎi)一個(gè)盲盒并打開(kāi)．當(dāng)甲買(mǎi)到的吉祥物首次出現(xiàn)相同款式時(shí)，用X表示甲購(gòu)買(mǎi)的次數(shù)，求X的分布列；（2）為了集齊三款吉祥物，甲計(jì)劃先一次性購(gòu)買(mǎi)盲盒，且數(shù)量不超過(guò)3個(gè)，若未集齊再直接購(gòu)買(mǎi)吉祥物，以所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，甲應(yīng)一次性購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)盲盒？Px,y是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).若以PF為直徑的圓與圓F3,022.在平面直角坐標(biāo)系4內(nèi)切，記點(diǎn)P的軌跡為曲線E．（1）求E的方程；中，點(diǎn)，點(diǎn)O:x2y2（2）設(shè)點(diǎn)，，，直線A0,1Mt,0N4t,0t2AM，AN分別與曲線E交于點(diǎn)S，T（S，T異于A，垂足為H，求的最小值．第5頁(yè)/共5頁(yè)2024屆廣州市高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.用2B鉛筆在答題卡的相應(yīng)位置填涂考生號(hào).2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.zzz2，zz，則（）z1.已知復(fù)數(shù)滿足A.1B.2C.5D.25【答案】C【解析】z【分析】由條件求得，即可計(jì)算模長(zhǎng).【詳解】∵zz2，zz，∴，2z2，z1iz12(2)25.∴故選：C.，xMxy12xNyyeMN2.已知集合，則（）121212,,D.A.B.C.【答案】A【解析】M,NMN.【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、指數(shù)函數(shù)的值域求得，進(jìn)而求得第1頁(yè)/共25頁(yè)1212【詳解】由12x0，解得x，所以Mx|x，y|y0，而y=ex0，所以N1MN.所以2故選：Aa4，btaj3.已知向量，若與b共線，則向量ab在向量上的投影向量為（）A.jB.jC.2jD.2j【答案】C【解析】j【分析】根據(jù)a與b共線，可得t40，求得t2，再利用向量ab在向量上的投影向(ab)jj量為，計(jì)算即可得解.jja2,4，bt，【詳解】由向量若a與b共線，則t40，所以t2，ab(2)，j0,1上的投影向量為：所以向量ab在向量(ab)jj(1,2)j2j，jj1故選：C4.已知函數(shù)bab0是奇函數(shù)，則（fxa）31xA.2ab0B.2ab0C.ab0ab0D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程，從而求得正確答案.x|x，【詳解】的定義域?yàn)閒x第2頁(yè)/共25頁(yè)由于是奇函數(shù)，所以fxfx0，fxbbb3xb所以aa2axx13x13x131b13x2a2ab0.x31故選：B5.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱(chēng)為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，……．記各層球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，且anan1a為等n1的前100項(xiàng)和為（差數(shù)列，則數(shù)列）an9950200101A.B.C.D.【答案】D【解析】an【分析】根據(jù)累加法求得，利用裂項(xiàng)求和法求得正確答案.aaa6aaaa3【詳解】，，1232132an12n11n1，n由于aa為等差數(shù)列，所以n1nann1a1aaaaaan所以21321n123nna，也符合，12nn11211an,2所以，2nnn1nn11111111200101101的前1002121所以數(shù)列項(xiàng)和為.an223100101故選：D6.直線l:y2與圓C:xy6x70交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍為（）22第3頁(yè)/共25頁(yè)D.23,87,427,83,4A.B.C.【答案】D【解析】【分析】求得直線恒過(guò)的定點(diǎn)，找出弦長(zhǎng)取得最值的狀態(tài)，即可求出的取值范圍.【詳解】由題易知直線l:y2恒過(guò)，M22y26x70化為標(biāo)準(zhǔn)方程得C:x32y216，圓C:x即圓心為，半徑r4，C3,0M2距離CM22134，圓心到3002M2在圓C所以?xún)?nèi)，則直線l與圓C交點(diǎn)弦最大值為直徑即8，最小時(shí)即為圓心到直線距離最大，即CMl時(shí)，此時(shí)2421323，23,8所以的取值范圍為.故選：Dπ130，sintan，則7.已知，的值為（）255351A.B.C.D.2253【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和與差的余弦、正弦公式求得正確答案.1cossinsin【詳解】，5第4頁(yè)/共25頁(yè)35sinsinsin，cossinsinsincossin1，分子分母同時(shí)除以得：31tantan13①，0πππ000，所以由于，所以，222π022345所以cos，15sin34tan所以，tantan1tantan333,tantantantan即，代入①得：4441tantan13tantan33.3，解得tantan544故選：B1fxx3ax2x1在區(qū)間2上存在極小值點(diǎn)，則a的取值范圍為（8.若函數(shù)）354554,2D.A.B.C.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的零點(diǎn)、的極值點(diǎn)的情況列不等式，由此求得的取值范圍.fxfxa1fxx3ax2x1fxx22ax1，，【詳解】3fxx22ax1xay，與軸的交點(diǎn)為，的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為當(dāng)a0時(shí)，在區(qū)間上，￠，單調(diào)遞增，f(x)>0fxa0沒(méi)有極值點(diǎn)，所以，第5頁(yè)/共25頁(yè)要使在區(qū)間2上存在極小值點(diǎn)，則x22ax10在2有兩個(gè)不等的正根，fxfxa0Δ4a240541a則需，解得，0a2f254a05所以a的取值范圍是.4故選：A1）確定2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)fx3）求出fx0fx4）用fx的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，考查這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，進(jìn)fx0的根將fx而確定5）根據(jù)單調(diào)區(qū)間求得的極值點(diǎn).fxfx二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.某市實(shí)行居民階梯電價(jià)收費(fèi)政策后有效促進(jìn)了節(jié)能減排．現(xiàn)從某小區(qū)隨機(jī)調(diào)查了200戶(hù)家庭十月份的用電量（單位：kW·h圖，則（）A.圖中a的值為0.015B.樣本的第25百分位數(shù)約為217C.樣本平均數(shù)約為198.4D.在被調(diào)查的用戶(hù)中，用電量落在230內(nèi)的戶(hù)數(shù)為108【答案】AC【解析】第6頁(yè)/共25頁(yè)【分析】根據(jù)頻率直方圖，結(jié)合各個(gè)統(tǒng)計(jì)量的含義，逐項(xiàng)分析判斷即可.20(0.0060.0070.010.012a)1，【詳解】對(duì)A，所以a，故A正確；對(duì)B設(shè)樣本的第25百分位數(shù)約為b則200.0070.140.2520(0.0070.012)0.380.25，b170,190，故B錯(cuò)誤；所以0.0071800.0122000.0152200.012400.006)198.4對(duì)C，樣本平均數(shù)為：故C正確；，對(duì)D，用電量落在230內(nèi)的戶(hù)數(shù)為：20(0.0120.015200148，故D錯(cuò)誤.故選：ACx22y21a0的左、右焦點(diǎn)別為F1FF，過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線E的右支相2210.已知雙曲線E:，a2P,Q交于兩點(diǎn)，則（）A.若E的兩條漸近線相互垂直，則a2B.若E的離心率為3，則E的實(shí)軸長(zhǎng)為1FPF90PFPF412C.若，則121周長(zhǎng)的最小值為82aD.當(dāng)變化時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線、離心率、定義、三角形的周長(zhǎng)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，b2，bab2A選項(xiàng)，若雙曲線的兩條漸近線相互垂直，所以，故A正確；a222cc22a2b2bB選項(xiàng)，若E的離心率為e113，aaaa2a第7頁(yè)/共25頁(yè)解得a1，所以實(shí)軸長(zhǎng)2a2，故B錯(cuò)誤；PF22a1FPF90C選項(xiàng)，若，則，1222PFPF4c21224c24a2b24整理得，故C正確；1212PFPF2a12D選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線的定義可知，，2a12PFPQ4a,PF4aPQ兩式相加得所以1，11114a2周長(zhǎng)為，b24PQ1FPQ當(dāng)時(shí)，取得最小值，2aa88所以4a2PQ4a24a82，aa84a當(dāng)且僅當(dāng)，即a2時(shí)，等號(hào)成立，a所以1周長(zhǎng)的最小值為82，故D正確.故選：ACD3π,1π4fxsin）Px的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則（b011.已知點(diǎn)是函數(shù)83π8fx1A.B.28k，kN*333ππ88C.若在區(qū)間fx,上有且僅有2條對(duì)稱(chēng)軸，則2π2π55143D.若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則2或fx,【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)的對(duì)稱(chēng)中心求得,，根據(jù)奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性等知識(shí)確定正確答案.fx第8頁(yè)/共25頁(yè)3π,1π4fxsinPx的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，b0【詳解】依題意，點(diǎn)是函數(shù)83π8π43ππ28所以b1，且sinπ,k,kN*①，B選項(xiàng)正確.84332833πfxsinkx則kN，*43π828333ππ84fx1sinkx所以28πsinkx12k，3323π82833π由于12k是奇數(shù)，所以fx1sinkx12k是偶函數(shù)，2A選項(xiàng)錯(cuò)誤.3π11π3πππ11ππx,xC選項(xiàng)，，888448428k,kN*將代入得：333π28π28833433π11π28πkkkx，483342833π8π2ππkxπ整理得，4333ππ由于在區(qū)間fx,上有且僅有2條對(duì)稱(chēng)軸，883π8π2π5π13161916kN*，所以k1，所以對(duì)應(yīng)，解得，由于k2332282，所以C選項(xiàng)正確.33π2πD選項(xiàng)，在區(qū)間fx,上單調(diào)遞減，552ππ2πππππ2ππx,x,x，55528554454k,kN*將代入得：33π28π28kkxπ2π28πk，53343345334第9頁(yè)/共25頁(yè)8π7π28kxπ16ππkk整理得，1560334156016ππ8π7π60178kkπ，解得1kk2，則，而kN，所以k1或*1560158π7π16ππ37π21π606020k,k,k1時(shí)，，符合單調(diào)性，1560158π7π16ππ71π127π606060k2時(shí)，15k,k,k2，不符合單調(diào)性，所以舍去60152812所以，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.33故選：BCABCDCDAABC，，的中11112.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，已知M，N，P分別是棱1111點(diǎn)，Q為平面PMN上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線1的夾角為，則（）1DB1A.平面PMNB.平面PMN截正方體所得的截面面積為33πC.點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為D.能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計(jì)）的球的半徑的最大值為332【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PMN的法向量，得到線面垂直；B選項(xiàng)，作出輔助線，找到平面PMN截正方體所得的截面，求出面積；C選項(xiàng)，作出輔助線，得到點(diǎn)Q的軌跡，并求出軌跡長(zhǎng)度；D選項(xiàng)，由對(duì)稱(chēng)性得到平面PMN分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體對(duì)稱(chēng)，由對(duì)稱(chēng)性可知，球心在第10頁(yè)/共25頁(yè)，由1DRt,t,tRSt得到方程，求出半徑的最大值上，設(shè)球心為.,DC,x,y,z【詳解】A選項(xiàng)，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，1，P2,0,M2,N0,1,D0,0,0,B2,2,212,2,2,PM1,2,PN2,1故.1，設(shè)平面PMN的法向量為mx,y,zmx,y,z1,2xy2z0則，mx,y,z2,1x2yz01，xy1m令z1得，，故DB2m1因?yàn)?，故平面PMN，A正確；1AD,AB,CCE,F,QMQ,ME,EN,NF,FP,PQ,EP,1B,CD，連接，1B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)111CDAABC的中點(diǎn)，因?yàn)镸，N，P分別是棱，，111NF//1B,//CDCD//EP//AB所以所以，又，111NF////EPPMN截正方體所得的截面為正六邊形，，所以平面32233，B正確；其中邊長(zhǎng)為2，故面積為64第11頁(yè)/共25頁(yè)C選項(xiàng)，Q為平面PMN上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線1的夾角為，13DB1PMN又平面，設(shè)垂足為S，以S為圓心，r1S為半徑作圓，3即為點(diǎn)Q的軌跡，1BDBD44423BSBD3其中，由對(duì)稱(chēng)性可知，，111123故半徑r31，3故點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為2π，C錯(cuò)誤；CDAABCD選項(xiàng)，因?yàn)镸，N，P分別是棱，，的中點(diǎn)，111所以平面PMN分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體對(duì)稱(chēng)，不妨求能放入含有頂點(diǎn)D的空間幾何體的球的半徑最大值，1A1D該球與平面PMN切與點(diǎn)S，與平面，平面ADCB，平面相切，11Rt,t,t上，設(shè)球心為，則半徑為，tBD1由對(duì)稱(chēng)性可知，球心在第12頁(yè)/共25頁(yè)33，故t，即，解得31tt，SRSt233故球的半徑的最大值為，D正確.2故選：ABD【點(diǎn)睛】立體幾何中截面的處理思路：（1）直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)平面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過(guò)程；（2）作平行線法：過(guò)直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過(guò)過(guò)點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長(zhǎng)線找交點(diǎn)法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過(guò)作延長(zhǎng)線的方法先找到交點(diǎn)，然后借助交點(diǎn)找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面中，則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知拋物線C:y點(diǎn)）的面積為2，則【答案】2222pxp0的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，x軸，若（O為坐標(biāo)原p______.【解析】ppp2pF(,0)xy，帶入面積公式S【分析】根據(jù)所給條件，可得，再令得，計(jì)算即可224得解.ppF(,0)xyp，【詳解】由，令得221pp2所以Sy2，2242p8，p22.所以故答案為：22514.2x2xy的展開(kāi)式中x52y的系數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）.【答案】120【解析】第13頁(yè)/共25頁(yè)【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式有關(guān)知識(shí)求得正確答案.2x5y2x2xy2，【詳解】由于所以2x2所以2x2xy的展開(kāi)式中含x5225y2的項(xiàng)為C522x2C13x1C22y120xy2，55xy的展開(kāi)式中x5y2的系數(shù)為120.故答案為：12015.已知三棱錐PABC平面，，6的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，6AB26，且與平面所成角的正弦值為，則該球的表面積為_(kāi)_____.6【答案】36π【解析】16外接圓圓心OO作OO1OO1PC平面O為三棱錐1122PABC的外接球球心，求出半徑即可求得球的表面積.【詳解】如圖根據(jù)題意，平面，6PAC所成角，則sinPAC所以即為與平面，6又因?yàn)?，AB26，6PC所以sinPACAP6，則ACAP2PC230,6AP又AC230AB2BC2ABBC，即三角形為直角三角形，AC中點(diǎn)O，則O取為三角形1外接圓圓心，1PC6取AP中點(diǎn)O，則OOPC，且OO1，122第14頁(yè)/共25頁(yè)所以，即O為三棱錐PABC的外接球球心，226302其半徑R22O21A29，2PABC4R36π.所以三棱錐的外接球的表面積為2故答案為：36πfxe2x2ax2e16.已知函數(shù)xa2x2a0恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則a______.e2【答案】2【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，求出的單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)即函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同的fxfxfx交點(diǎn)，從而建立等量關(guān)系求解可得.fxe2x2ax2e【詳解】因?yàn)閤a2x2a0，所以fx2e2x2aexx2x2eaxeaxx2e2axy0axyxax，則yexa，令令，xay0yex故當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)，0ye，函數(shù)xayxax當(dāng)時(shí)即當(dāng)xa時(shí)函數(shù)yx，ax有最小值a1aa1a0若0aefx時(shí)0fx，此時(shí)函數(shù)，即，即在R上為增函數(shù)，與題意不符；yeax,a0與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，a1a0若aex時(shí)，此時(shí)函數(shù)1e1x2設(shè)交點(diǎn)為x,0,x,0，且01，即，12e22xxxxy0f(x)>0，即，此時(shí)函數(shù)fx為增函數(shù)，所以當(dāng)或時(shí)21當(dāng)1，即fx0，此時(shí)函數(shù)fx為減函數(shù)，x2時(shí)y0依題意，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)即函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即或，fxfxf10fx02所以2120或e222a22e2a220，e212ax2e1a21第15頁(yè)/共25頁(yè)e1e2x2化簡(jiǎn)得12或，所以a，212e2故答案為：.2【點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問(wèn)題的一般方法：設(shè)Fxfxgx方法一：轉(zhuǎn)化為函數(shù)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)求解單調(diào)性構(gòu)造不等式求解；FxFxyfx,ygx的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題求解.方法二：轉(zhuǎn)化為函數(shù)四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．的前項(xiàng)和為，且Sn1.aSn2an17.設(shè)數(shù)列nn（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；ana,為奇數(shù)（2）若數(shù)列滿足bn2n，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和bn.b2nna,為偶數(shù)n2n1an【答案】（1）123（2）2n22n12nn3【解析】1,n1ana.n1）根據(jù)求得SS,n2nn1（2）根據(jù)分組求和法求得正確答案.【小問(wèn)1詳解】S2a1依題意，，nn當(dāng)n1時(shí)，a2aa1，111當(dāng)n2時(shí)，S2n11，n1aSS2a2a,a2an2，n1所以nnn1nn1n所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，an2n1a，也符合.1an所以第16頁(yè)/共25頁(yè)2n1an所以.【小問(wèn)2詳解】n為奇數(shù)b由（1）得，所以n2n,為偶數(shù)122n12n0242n2223214142n02n2n224nn2n313222n1n2n.3318.如圖，在四棱錐P中，CD//AB，90，AB2BC4，三棱錐42B的體積為.3（1）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；PADABCDNAN2NPNCD，求平面與平面（2）若PAPD，平面平面，點(diǎn)在線段AP上，ABCD.夾角的余弦值【答案】（1）26（2）3【解析】1）根據(jù)等體積法求得點(diǎn)P到平面（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面【小問(wèn)1詳解】ABCD的距離；NCDABCD夾角的余弦值.與平面設(shè)點(diǎn)P到平面ABCDh，第17頁(yè)/共25頁(yè)13423則BPhS，12SABBC4由題可知，PABDSABD42h2，所以4所以點(diǎn)P到平面【小問(wèn)2詳解】ABCD的距離為2.PAPD,PMAD取AD的中點(diǎn)M，連接，因?yàn)?，又平面PAD平面ABCD且交線為，由（1）知PMAD，PM平面PAD，PMAD，所以平面ABCD2.4222222，由題意可得BD22,AD2BD2AB2，所以ADBD.所以AD以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，過(guò)點(diǎn)D作，z的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角A22,0,0,P2,2,C2,2,0坐標(biāo)系，則232232232,2,0,AP2,2,ANAP,0,，依題意423223DAAN,0,所以.x,y,zNCDn設(shè)平面的法向量為，1111n2x2y01112232，n則，故可設(shè)4231n1101平面的一個(gè)法向量為n0,1，ABCD2NCDABCD的夾角為設(shè)平面與平面，nn26cosn,n12則，1261nn3126NCDABCD夾角的余弦值為所以平面與平面.3第18頁(yè)/共25頁(yè)bsinBcsinCasinAbsinBsinC且19.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知πC.2πBA（1）求證：；2（2）求AsinBsinC的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）2,3【解析】cosAsinB1）根據(jù)正弦定理和余弦定理可把題設(shè)中的邊角關(guān)系化簡(jiǎn)為，結(jié)合誘導(dǎo)公式及ππCBA可證.22πBAcosAsinB，結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式將（2）根據(jù)及2π2π221232AsinBsinC2sinBsinC2sinAsin2A化為2A，先求出角A的范圍，然后利用余弦函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閎sinBcsinCasinAbsinBsinC，由正弦定理得，b2c2a2bcsinB，由余弦定理得b2c2a2bcAbcsinB，πcosAsinBAsin()，所以sin()sinB所以，又.22ππ又0Aπ，0Bπ，所以AB或ABπ，22ππABBA所以或，22πππ又C，所以ABπCBA，所以，得證.222第19頁(yè)/共25頁(yè)【小問(wèn)2詳解】ππBA，所以CπAB2A由（1）知，22π2π2cosAsinBAsinBsinC2sinBsinC2sinAsin2A又，所以212322cosAcos2A2cos2A2cosA12A，Aπ0ππ20BAπcosA10A因?yàn)?，所以，所以?42π0C2Aπ212232A,1單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)y2A在22222213123123所以222A213，22222所以AsinBsinC的取值范圍為2,3.20.已知函數(shù)fxx2xax.yfx在點(diǎn)處的切線方程；f0（1）當(dāng)a0時(shí)，求曲線fx0，求a的取值范圍.1x0（2）當(dāng)時(shí)，【答案】（1）（2）,2.【解析】2xy0；x2x1f(x)ln(x處的切yf(x)在1線方程．x2x111xf(x)ln(xag(x)f(x)(x(0)g(x)0，（2x1(x2(x2故f(x)在(0)上為減函數(shù)，討論a2和a2時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.【小問(wèn)1詳解】第20頁(yè)/共25頁(yè)因?yàn)閍0，所以f(x)(x2)x，f(0)(02)ln10x2，，由切點(diǎn)為0201f(x)ln(xf(0)ln(02，，所以x1yf(x)在處的切線方程為y02(x0)，所以曲線即2xy0．【小問(wèn)2詳解】x2x1f(x)ln(xag(x)f(x)(x(0))，令由則11xg(x)20，x1(x(x2故f(x)在x(0)上為減函數(shù)．又f2a，f(x)f(0)0f(x)(0)在①當(dāng)a2時(shí)，，故上為增函數(shù)，f(x)f(0)0所以恒成立，故a2符合題意；f(0)2a0②當(dāng)a2時(shí)，由于，1a1ea2fe時(shí)aaae2a10a由1ea10且當(dāng)，，t(0)ft)0根據(jù)零點(diǎn)存在定理，必存在，使得由于f(x)在(0)上為減函數(shù)，x(t)f(x)0xt,0)f(x)0，時(shí)故當(dāng)時(shí)，，x(t)故f(x)在上為增函數(shù)，xt,0)上為減函數(shù)f(x)在所以當(dāng)xt,0)時(shí)，f(x)f(0)0，故上不恒成立，f(x)0在(0)所以a2不符合題意．,2．a(chǎn)綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查恒成立問(wèn)題，是難題．本題的關(guān)鍵有：第21頁(yè)/共25頁(yè)（1）二次求導(dǎo)，利用二次求導(dǎo)得出導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；（2）分類(lèi)討論，找到討論點(diǎn)是關(guān)鍵，本題討論點(diǎn)為a2和a2.21.杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭大運(yùn)河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅(jiān)強(qiáng)剛毅的拼搏精神，海納百川的時(shí)代精神和精致和諧的人文精神．甲同學(xué)可采用如下兩種方式購(gòu)買(mǎi)吉祥物，方式一：以盲盒方式購(gòu)買(mǎi)，每個(gè)盲盒19元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機(jī)放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一個(gè)，只有打開(kāi)才會(huì)知道買(mǎi)到吉祥物的款式，買(mǎi)到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接購(gòu)買(mǎi)吉祥物，每個(gè)30元．（1）甲若以方式一購(gòu)買(mǎi)吉祥物，每次購(gòu)買(mǎi)一個(gè)盲盒并打開(kāi)．當(dāng)甲買(mǎi)到的吉祥物首次出現(xiàn)相同款式時(shí)，用X表示甲購(gòu)買(mǎi)的次數(shù)，求X的分布列；（2）為了集齊三款吉祥物，甲計(jì)劃先一次性購(gòu)買(mǎi)盲盒，且數(shù)量不超過(guò)3個(gè)，若未集齊再直接購(gòu)買(mǎi)吉祥物，以所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，甲應(yīng)一次性購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)盲盒？【答案】（1）分布列詳見(jiàn)解析（2）買(mǎi)2個(gè)【解析】1）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式、排列組合數(shù)的計(jì)算公式求得X的分布列.（2.【小問(wèn)1詳解】由題意可知X所有可能取值為2,3,4，313A233C1249A33329234PX,PX,PX,3233所以X的分布列如下：X234134929P【小問(wèn)2詳解】x設(shè)甲一次性購(gòu)買(mǎi)個(gè)吉祥物盲盒，集齊