作業(yè)03解三角形（4大題型鞏固提升練能力培優(yōu)練拓展突破練仿真考場練）

完成時間：月日天氣：作業(yè)03解三角形（4大題型鞏固提升練+能力培優(yōu)練+拓展突破練+仿真考場練）一、應(yīng)用正弦、余弦定理解三角形1．這類問題一般要先審查題設(shè)條件，進行歸類，根據(jù)題目類型確定應(yīng)用哪個定理解決．常見題型有①一邊和兩角(如a，B，C)，②兩邊和夾角(如a，b，C)，③三邊(a，b，c)，④兩邊和其中一邊的對角(如a，b，A)．2.應(yīng)用正弦、余弦定理需注意的三個方面(1)正弦定理和余弦定理揭示了三角形邊角之間的關(guān)系，解題時要根據(jù)題目條件恰當?shù)貙崿F(xiàn)邊角的統(tǒng)一．(2)統(tǒng)一為“角”后，要注意正確利用三角恒等變換及誘導(dǎo)公式進行變形；統(tǒng)一為“邊”后，要注意正確利用配方、因式分解等代數(shù)變換方法進行變形．(3)求值時注意方程思想的運用．二、判斷三角形的形狀1．根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要的方法是邊角互化，常見具體方法有①通過正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換，②通過余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換，③通過三角變換找出角之間的關(guān)系，④b2＋c2－a2>0?A為銳角，b2＋c2－a2＝0?A為直角，b2＋c2－a2<0?A為鈍角．2.利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀的方法(1)通過邊之間的關(guān)系判斷形狀．(2)通過角之間的關(guān)系判斷形狀．合理利用正弦、余弦定理將已知條件中的邊、角互化，把條件統(tǒng)一為邊的關(guān)系或角的關(guān)系．三、正弦、余弦定理在實際中的應(yīng)用1．余弦定理和正弦定理在實際生活中，有著非常廣泛的應(yīng)用，常見的問題涉及距離、高度、角度以及平面圖形的面積等很多方面．解決這類問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出示意圖，將問題抽象為三角形的模型，然后利用定理求解．注意隱含條件和最后將結(jié)果還原為實際問題進行檢驗．2.解題時需注意的幾個問題(1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能準確地找出(或作出)這些角．(2)要注意將平面幾何中的性質(zhì)、定理與正弦、余弦定理結(jié)合起來．(3)發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，才能順利解題．四、與三角形有關(guān)的綜合問題1．該類問題以三角形為載體，在已知條件中設(shè)計了三角形的一些邊角關(guān)系，由于正弦定理和余弦定理都是關(guān)于三角形邊角關(guān)系的等式，通過定理的運用能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化，在邊角互化時，經(jīng)常用到三角函數(shù)中兩角和與差的公式及倍角公式等．2.解三角形綜合問題的方法(1)三角形中的綜合應(yīng)用問題常常把正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換等知識聯(lián)系在一起，要注意選擇合適的方法進行求解．(2)解三角形常與平面向量、三角函數(shù)及三角恒等變換等知識綜合考查，解答此類題目，首先要正確應(yīng)用所學(xué)知識“翻譯”題目條件，然后根據(jù)題目條件和要求選擇正弦或余弦定理求解．一．正弦定理（共4小題）1．（2024春?玄武區(qū)校級月考）已知正五邊形的邊長為，內(nèi)切圓的半徑為，外接圓的半徑為，，則A． B． C． D．【分析】由已知結(jié)合銳角三角函數(shù)定義分別表示，，進而可表示，再利用二倍角公式及同角基本關(guān)系化簡，即可求解．【解答】解：如圖所示，則，，，，中，，即，，即，所以，故．故選：．【點評】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，二倍角公式及同角基本關(guān)系，屬于中檔題．2．（2024春?徐州期中）中，角，，對邊分別為，，，點是所在平面內(nèi)的動點，滿足．射線與邊交于點．若，，則角的值為，面積的最小值為．【分析】判斷出是三角形的角平分線，利用余弦定理求得，根據(jù)三角形面積公式以及基本不等式求得三角形面積的最小值．【解答】解：表示方向的單位向量，表示方向的單位向量，根據(jù)向量加法的幾何意義可知在三角形的角平分線上，即是三角形的角平分線，由可得，，得，則為銳角，所以．依題意，根據(jù)三角形的面積公式有，整理得，所以，當且僅當時等號成立．所以三角形面積的最小值為．故答案為：；．【點評】本題主要考查了利用余弦定理解三角形，主要的方法是邊角互化，將已知條件中的邊和角進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合余弦定理即可求得問題的結(jié)果．求三角形面積的最值，可考慮基本不等式或者三角函數(shù)值域的方法．3．（2024春?阜寧縣期中）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，求的面積的最大值．【分析】（1）運用正弦定理和兩角和差的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的特殊值可得所求角；（2）運用余弦定理和基本不等式可得的最大值，再由三角形的面積公式可得所求值．【解答】解：（1）因為，所以由正弦定理可得，即，（2分）所以，又，所以，即，又，所以．（6分）（2）在中，由余弦定理可得，即，（8分）所以，當且僅當時取等號，（9分）所以，故的面積的最大值為．（12分）【點評】本題考查三角形的正弦定理、余弦定理和面積公式的運用，考查基本不等式的運用和化簡整理的運算能力，屬于中檔題．4．（2024春?啟東市校級月考）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求角的值；（2）若為銳角三角形，利用（1）所求的角值求的取值范圍．【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的變換求出的值；（2）直接利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的變換及正切函數(shù)的值求出結(jié)果．【解答】解：（1）由于，整理得，故，由于；所以；（2）為銳角三角形，故；利用正弦定理；所以；即．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．二．余弦定理（共4小題）5．（2023春?興化市期中）如圖，在平面四邊形中，，，．（1）當四邊形內(nèi)接于圓時，求四邊形的面積；（2）當四邊形的面積最大時，求對角線的長．【分析】（1）連接，由余弦定理可得，又，化簡可得：，結(jié)合范圍，可求，，利用三角形的面積公式即可得解．（2）設(shè)四邊形的面積為，則，由余弦定理，解得，可求當時，有最大值，即有最大值．此時，，代入，可得：，結(jié)合，可得，在中，利用余弦定理可求的值．【解答】（本題滿分為14分）解：（1）連接，由余弦定理可得：，，可得：，分又四邊形內(nèi)接于圓，則又，所以：，化簡可得：，又，所以，，分所以，分（2）設(shè)四邊形的面積為，則，可得：，分可得：，可得：，平方后相加，可得：，即：，分又，當時，有最大值，即有最大值．此時，，代入，可得：，又，可得：，分在中，可得：，可得．分【點評】本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．6．（2023春?句容市月考）在①，②，③，這三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答．在中，角，，所對的邊分別為，，，且______．（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的周長．【分析】（1）選①，由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式，結(jié)合，可得，結(jié)合，可求的值．選②，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得的值，結(jié)合，可得的值．選③，利用平方和公式，正弦定理，余弦定理化簡已知可得的值，結(jié)合，可得的值．（2）由余弦定理可得，進而根據(jù)三角形的面積公式可求的值，從而可求，即可得解的周長的值．【解答】解：（1）選①，由正弦定理得，即．因為，所以，所以．又，從而得．選②，因為，所以，．又因為，可得．選③，因為，所以，即，所以，．因為，可得，（2）由余弦定理，得，由，得，所以，故．【點評】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換，完全平方公式，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．7．（2024春?銅山區(qū)月考）在銳角中，設(shè)角，，所對的邊長分別為，，，且．（1）求的大??；（2）若，，點在邊上，______，求的長．請在①；②；③這三個條件中選擇一個，補充在上面的橫線上，并完成解答．（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分）．【分析】（1）由正弦定理化簡已知等式，結(jié)合，可得，可求，結(jié)合范圍，可求的值．（2）若選①．法一：由題意可得，兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算即可求解的值；法二：由余弦定理可求的值，在，中，分別應(yīng)用余弦定理，結(jié)合，可求，即可解得的值．若選②．由于，利用三角形的面積公式即可求解的值；若選③．由余弦定理可求的值，利用三角形的面積公式可得，進而解得的值．【解答】解：（1）在中，由正弦定理，及得，．（2分）因為為銳角三角形，所以，所以．所以．（4分）又因為，所以．（6分）（2）若選①．法一：在中，因為，所以．（8分）所以（10分），所以．（12分）法二：在中，由余弦定理，得，所以，所以．（8分）在中，由余弦定理，得即，在中，由余弦定理，得即．（10分）又，所以．所以，所以．（12分）若選②．在中，，（8分）即，（10分）即，解得．（12分）若選③．在中，由余弦定理，得，所以．（8分）因為，又，（10分）所以，解得．（12分）【點評】本題主要考查了正弦定理，平面向量數(shù)量積的運算，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．8．（2024春?新吳區(qū)校級月考）為直角三角形，斜邊上一點，滿足．（1）若，求；（2）若，，求．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得，可得，可求，即可解得的值；（2）設(shè)，可得，，，可求，由已知利用余弦定理可求，即可求解的值．【解答】解：（1）為直角三角形，，，由正弦定理：，即，，可得，，為直角，可得，．（2）設(shè)，，，，，，由余弦定理得：，得，．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．三．三角形中的幾何計算（共5小題）9．（2024春?鼓樓區(qū)校級期中）中，，，，為線段的中點，點，分別在線段，上．若為正三角形，則的面積為A． B． C． D．【分析】由已知結(jié)合正弦定理先表示，結(jié)合同角基本關(guān)系及正弦定理求出，再由三角形面積公式即可求解．【解答】解：設(shè)，則，在中，，，，在中，，，在中，，，則，所以，由題，為正三角形，所以，即，所以，所以，所以，從而的面積為．故選：．【點評】本題主要考查了正弦定理，同角基本關(guān)系及三角形面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．10．（2024春?新吳區(qū)校級月考）如圖，正方形的邊長為6，是的中點，是邊上靠近點的三等分點，與交于，則．【分析】如圖所示，建立以點為原點的平面直角坐標系，就是，的夾角，利用向量的夾角公式求解【解答】解：如圖所示，建立以點為原點的平面直角坐標系，則，，，，，，由于就是，的夾角，．，的余弦值為．故答案為：．【點評】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，屬于中檔題．11．（2024春?宿遷期中）法國著名軍事家拿破侖波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形的頂點”．如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．以，，為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，．（1）求；（2）若△的面積為，求的面積的最大值．【分析】（1）由正弦定理及三角形內(nèi)角和定理可得的值，再由角的范圍，可得角的大??；（2）連接，，由正三角形的面積公式可得的大小，再由余弦定理及基本不等式可得的最大值，進而求出的面積的最大值．【解答】解：（1）在中，因為，所以，根據(jù)正弦定理可得，即，因為，，可得，由，可得；（2）如圖，連接，，則，正△的面積，因為，而，則，在△中，由余弦定理得：，即，則，由基本不等式知，，所以，即，當且僅當時取等號，所以．所以的面積的最大值為．【點評】本題考查正弦定理，余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．12．（2024春?鹽城期中）如圖，在凸四邊形中，已知，．（1）若，，求的值；（2）若，四邊形的面積為4，求的值．【分析】（1）中求出，在中，由正弦定理求出，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求；（2）在、中，分別由余弦定理求出，兩式相減可得與的關(guān)系式；又由的與的關(guān)系式，兩個關(guān)系式平方后相加即可求出．【解答】解：（1）在中，因為，，所以，在中，由正弦定理得：，所以，因為，所以，所以．（2）在，中，由余弦定理得，，，從而，①，由，得：，②，①②得，，所以．【點評】本題考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．13．（2024春?泗陽縣校級月考）已知，在斜三角形中，角，，的對邊分別為，，，．（1）求的大??；（2）若，求的最小值；（3）若，求，的大?。痉治觥浚?）利用誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合角的范圍利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）由正弦定理，，利用平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)恒等變換可求，進而利用基本不等式即可求解；（3）由題意利用三角函數(shù)恒等變換可求，解得的值，進而可求的值，可求的值．【解答】解：（1）因為，所以，所以或，，因為，，，，所以或，由為斜三角形知，（舍，所以；（2）由正弦定理：，所以，同理，，所以（當且僅當時，等號成立），所以的最小值為；（3）因為，所以，所以，所以，即，整理得，所以，所以或，因為是鈍角，所以，所以，所以．【點評】本題考查了余弦函數(shù)的性質(zhì)，正弦定理，平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)恒等變換以及基本不等式等知識的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．四．解三角形（共18小題）14．（2024春?邗江區(qū)校級月考）中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世．如圖，某同學(xué)為測量鸛雀樓的高度，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點處，，三點共線）測得建筑物頂部，鸛雀樓頂部的仰角分別為和，在處測得樓頂部的仰角為，則鸛雀樓的高度約為A． B． C． D．【分析】先在中求出的長度，然后再求出中的，，利用正弦定理求出，最后在中利用三角函數(shù)的定義求出的長度即可．【解答】解：由題意，在中，，在中，，，，由正弦定理，得，又在中，．故選：．【點評】本題考查解三角形的應(yīng)用題的解題思路，側(cè)重考查了正弦定理和三角函數(shù)的定義，屬中檔題．15．（2024春?廣陵區(qū)校級期中）若的角，，所對邊，，，且滿足，則的最大值為A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，推得，再結(jié)合正切函數(shù)的兩角和公式，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：，，則，即，即，即，故，所以，，均為三角形內(nèi)角，則，，故，不能同時為0，所以，不妨設(shè)，，當且僅當，，即，時，等號成立，故的最大值為．故選：．【點評】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．16．（2024春?常熟市期中）已知銳角中，，則邊上的高的取值范圍為A． B． C． D．【分析】設(shè)邊上的高為，根據(jù)題意得，再結(jié)合條件得，再分析求值域即可．【解答】解：因為銳角中，，設(shè)邊上的高為，所以，解得，由正弦定理可得，所以，，因為，所以，因為，，，，所以，，所以，．所以邊上的高的取值范圍為，．故選：．【點評】本題考查解三角形問題，正弦定理的應(yīng)用，函數(shù)思想，屬中檔題．17．（2024春?海門區(qū)校級期中）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】利用三角恒等變換與正弦定理的邊角變換，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，從而利用三角形的性質(zhì)得到的范圍，再利用正弦定理轉(zhuǎn)化所求即可得解．【解答】解：因為，則由正弦定理得，又，所以，則，所以，即，則，所以，解得，則，所以，則的取值范圍是．故選：．【點評】本題考查了兩角和的正弦公式和正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（2024春?贛榆區(qū)期中）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若，，則A．或 B． C．或 D．或【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理求解即可．【解答】解：的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，，可得，可得，可得，故，或，即或；又，可得，，，或．故選：．【點評】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．19．（2024春?邗江區(qū)校級期中）在中，，，分別是角，，所對的邊，的平分線交于點，，，則的最小值為A．16 B．32 C．64 D．128【分析】由題中等式以及正弦定理進行角化邊運算可得邊的關(guān)系，由余弦定理可求出，結(jié)合角平分線由三角形面積公式建立等量關(guān)系，結(jié)合均值不等式可得出最小值．【解答】解：由及正弦定理知，，在中，由余弦定理知，，，，．，，即，得，，當且僅當且，即時，等號成立，．故選：．【點評】本題考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式以及均值不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20．（2024春?海陵區(qū)校級期中）如圖，小明想測量自己家所在樓對面的電視塔的高度，他在自己家陽臺處，到樓地面底部點的距離為，假設(shè)電視塔底部為點，塔頂為點，在自己家所在的樓與電視塔之間選一點，且，，三點共處同一水平線，在處測得陽臺處、電視塔頂處的仰角分別是和，在陽臺處測得電視塔頂處的仰角，假設(shè)，和點在同一平面內(nèi)，則小明測得的電視塔的高為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意可得，在中利用正弦定理可求，進而在中求得結(jié)果．【解答】解：在中，，在中，，，則，由正弦定理，可得，在中，．故選：．【點評】本題主要考查解三角形，正弦定理的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．21．（2024春?銅山區(qū)期中）在中，已知且，則面積的最大值是．【分析】設(shè)，可得的面積的表達式，再由余弦定理可得的表達式，進而可得三角形面積的最大值．【解答】解：因為且，設(shè)，則，又因為，所以．當，即時取等號．故答案為：．【點評】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用及余弦定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．22．（2024春?建鄴區(qū)校級期中）如圖，為了測量河對岸，兩點之間的距離，在河岸這邊取點，，測得的長為12千米，在點處測得，，在點處測得，．則，兩點間的距離為千米．（設(shè)，，，四點在同一平面內(nèi)）【分析】由題意可得，在中，由正弦定理可得的值，在中，由余弦定理可得的大?。窘獯稹拷猓涸谥?，，，所以，所以，因為，，在點處測得，，所以，，所以，在中，由正弦定理可得：，所以，而，在中，由余弦定理可得：．故答案為：．【點評】本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．23．（2024春?徐州期中）在圓內(nèi)接四邊形中，，，，則四邊形面積為．【分析】利用余弦定理可求，解得，結(jié)合范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，利用三角形面積公式即可計算得解．【解答】解：因為為圓內(nèi)接四邊形，所以，則，利用余弦定理得，，解得，所以，由，，得，因為，所以，．故答案為：．【點評】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．24．（2024春?徐州期中）圣索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美．為了估算圣索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物，高約為，在它們之間的地面上的點，，三點共線）處測得建筑物頂、教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在建筑物頂處測得教堂頂?shù)难鼋菫?，則可估算圣索菲亞教堂的高度約為．【分析】根據(jù)題意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出．【解答】解：由題可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，則在直角中，，即圣索菲亞教堂的高度約為．故答案為：．【點評】本題考查了解三角形的實際應(yīng)用，考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．25．（2024春?廣陵區(qū)校級期中）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，點是的重心，若，且，則4．【分析】先求出，再利用點為的重心，得到，結(jié)合向量求解．【解答】解：由，得，整理得，解得或（舍，又為銳角三角形，，點為的重心，，，即，整理得，解得或（舍．故答案為：4．【點評】本題考查向量在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．26．（2024春?溧陽市期末）已知的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求的周長的取值范圍．【分析】（1）邊化角，將變形為的形式，進而求得，可得；（2）應(yīng)用正弦定理將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合為銳角三角形，求得，即可得解．【解答】解：（1）已知，由正弦定理得：，，得，又，即，即，又因為，所以，且，所以，即；（2）由正弦定理得：，即，且，，即，而由為銳角三角形，，，得，所以，即．所以，且，所以的周長的取值范圍為．【點評】本題考查三角變換以及正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．27．（2024春?宿遷期中）在直角三角形中，，點，在邊上，且，設(shè)，．（1）若，求，的值；（2）若，求的最大值．【分析】（1）由題意可求，，，進而利用兩角差的正切公式即可求解；（2）由題意可求，，進而利用兩角差的正切公式以及基本不等式即可求解．【解答】解：（1）若，則三角形為等腰直角三角形，所以，，，所以，；（2）若，則，，所以，當且僅當時取等號，所以的最大值為．【點評】本題主要考查了兩角差的正切公式以及基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．28．（2024春?揚州月考）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求角的取值范圍；求面積的取值范圍．【分析】（1）由題設(shè)及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用結(jié)合，，可求，進而可求的值．（2）由題設(shè)及正弦定理，可求，結(jié)合，可求，可求范圍，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解面積的取值范圍．【解答】解：（1）由題設(shè)及正弦定理得：，因為，所以．由，可得，所以．因為，所以，因為，所以；（2）因為為銳角三角形，所以，，由（1）知，，所以，即角的取值范圍為；由題設(shè)及（1）知，的面積．由正弦定理得．因為，所以，所以，從而．因此面積的取值范圍是．【點評】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形的面積公式等知識在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．29．（2024春?泗陽縣校級月考）在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）證明：為等腰三角形．（2）若是邊的中點，，求的面積．【分析】（1）先利用正弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理推出，從而知是等腰三角形；（2）在和中，分別利用余弦定理，可建立關(guān)于的方程，解之，再由三角形面積公式，求解即可．【解答】（1）證明：由正弦定理及，得，，由余弦定理得，，，整理得，，為等腰三角形．（2）解：由（1）知，是邊的中點，，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，，代入，，得，由得，，的面積．【點評】本題考查解三角形，熟練掌握正余弦定理，三角形面積公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．30．（2024春?相城區(qū)校級月考）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知．（1）求角的大??；（2）若是邊的三等分點（靠近點，，設(shè)，①用表示，，及；②求實數(shù)的取值范圍．【分析】（1）由題意及正弦定理，余弦定理可得的值，再由角的范圍，可得角的大??；（2）中，中，由正弦定理得，的表達式，整理可得的表達式，由的范圍，可得的范圍．【解答】解：（1）由題意及正弦定理可得：，整理可得：，，又因為，所以；（2）設(shè)，，，則，，在中，由正弦定理得：，即，①在中，由正弦定理得：，又，由，整理可得，得，②由①②可得：，所以，因為，所以，所以，，即，所以，解得．【點評】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．31．（2024春?玄武區(qū)校級月考）在中，、為邊上兩點，且滿足，，，，（1）求證：；（2）求證：為定值；（3）求面積的最大值．【分析】（1）在和中，分別利用正弦定理，再由等量代換，即可得證；（2）結(jié)合已知條件與三角形的面積公式，可得，兩式相乘得；（3）設(shè)，根據(jù)余弦定理及三角形面積公式，用含的式子表示三角形的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求解即可．【解答】（1）證明：在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因為，所以，即．（2）證明：因為，，，，所以，，兩式相乘得，，所以，為定值．（3）解：由（2）知，設(shè)，則，所以，在中，由余弦定理知，，所以，所以，由，得，故當時，取得最大值，所以面積的最大值為27．【點評】本題考查解三角形，熟練掌握正余弦定理、三角形面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．一．多選題（共1小題）1．（2024春?建鄴區(qū)校級期中）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，點，，分別是的重心，垂心，外心．若，則以下說法正確的是A． B． C． D．【分析】設(shè)，，，由，可求，進而可求得，，，進而由正弦定理可判斷；不妨取，由三角形外心的性質(zhì)可得，可判斷；設(shè)外心到邊的距離為，由歐拉線定理可得，進而可得，進而可求，判斷；由題意設(shè)邊上的中線長為，由平行四邊形的性質(zhì)可得，可求得，可判斷．【解答】解：設(shè)，，，由，解得，即，可求得，所以，故正確；不妨取，由外心性質(zhì)可知，中面積比等價于，故正確；設(shè)外心到邊的距離為，由三角形中的歐拉線定理知三角形的外心、垂心和重心在一條直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心的距離之半（根據(jù)重心為中線的三等分點可證），又在邊的垂直平分線上，進而可得，所以，所以，所以，結(jié)合選項，可得，故正確；設(shè)邊上的中線長為，設(shè)邊上的中線長為，設(shè)邊上的中線長為，由重心的性質(zhì)可得，設(shè)三角形中，為邊上的中點，，，所對邊為，，，延長邊上的中線至，使，連接，，可得四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得，所以可得邊上的中線長為，結(jié)合中線長公式可得，所以，故錯誤．故選：．【點評】本題考查了正弦定理和三角形的面積公式，屬于難題．二．填空題（共3小題）2．（2024春?邗江區(qū)校級期中）已知是銳角三角形，內(nèi)角，，所對應(yīng)的邊分別為，，．若，則的取值范圍是．【分析】根據(jù)用余弦定理化簡得到，再結(jié)合正弦定理化簡得出，從而可得，從而可得，令，，再利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求解．【解答】解：因為，得，由余弦定理得，所以，即，由正弦定理得，因為，則，所以，即，因為是銳角三角形，所以，，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，則，因為是銳角三角形，所以，，，所以，由正弦定理得，令，因為，所以，在上單調(diào)遞增，當時，，當時，，故．故答案為：．【點評】本題考查解三角形中最值或范圍問題，屬于難題．3．（2024春?高郵市校級期中）在中，，點與點分別在直線的兩側(cè)，且，，則的長度的最大值是．【分析】根據(jù)可分析出是直角三角形，畫出圖形，可設(shè)，借助于余弦定理在三角形中表示出，然后再利用三角形借助于余弦定理找到與角的關(guān)系，代入表達式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的方法求解．【解答】解：在三角形中，設(shè)，則，且．由正弦定理得，解得，顯然為銳角，故．．設(shè)，．在中，①．又在中，．．代入①式得：．令，則上式可化為，②．，令得，可見．即，或（舍將代入②式得，故．（因為開區(qū)間內(nèi)唯一的極值點即為該函數(shù)的最值點）故答案為：．【點評】本題考查了利用正余弦定理解三角形的問題，同時也考查了導(dǎo)數(shù)在實際優(yōu)化問題中的應(yīng)用．還考查了學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力．難度較大，4．（2024春?南京期中）已知的內(nèi)角，，所對的邊為，，，且，，若點是外一點，，，則當四邊形面積最大時，．【分析】由已知以及正弦定理可知，化簡可得，結(jié)合的范圍可求，設(shè)，，可求，，，在中，由余弦定理可得，利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，其中，，由，，，，可求，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值．【解答】解：由以及正弦定理可知，，即．由于：，，可得：，．中，由于，設(shè)，，則，，則，在中，由余弦定理可得：，由于，，則：，可得：，則，而，則，其中，，則當時，四邊形的面積有最大值，由于，，則此時，故，則，由于，，則．故四邊形面積最大時，．故答案為：．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．三．解答題（共7小題）5．（2024春?邗江區(qū)校級月考）已知中，角，，的對邊分別為，，，，．（1）若，求的值；（2）過點作的垂線，為上一點．①若，，求線段的長；②若且點在外部，求線段長的取值范圍．【分析】（1）利用正弦定理可得，，再結(jié)合已知條件，求解即可；（2）①在中，利用正弦定理求得，從而知的值，再在中，由，代入運算，求解即可；②設(shè)，，在中，利用正弦定理表示出，再在中，利用正弦定理表示出，然后結(jié)合三角恒等變換公式，求解即可．【解答】解：（1）由正弦定理知，，所以，，若，則，即，兩邊同時除以得，．（2）①在中，由正弦定理得，，所以，所以，又，所以，所以，若，則，，三點共線，在中，，所以．②設(shè)，，則，，在中，由正弦定理知，，所以，在中，由正弦定理知，，所以，因為，所以，，所以，，所以，，故線段長的取值范圍為．【點評】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于難題．6．（2024春?海門區(qū)校級期中）在凸四邊形中，．（1）若，，，四點共圓，，求四邊形的面積；（2）若，求的值．【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得到，從而在中利用余弦定理列式，解出，，同理，在中利用余弦定理算出，，進而根據(jù)三角形的面積公式，算出；（2）設(shè)，則，，結(jié)合，算出，在中利用正弦定理，推導(dǎo)出，根據(jù)三角恒等變換公式化得到關(guān)于的一元二次方程，解出的值，進而算出，可得的值．【解答】解：（1）因為，，，四點共圓且，所以，可得，在中，由余弦定理得，結(jié)合，，所以，解得（舍負），所以，則，在中，由余弦定理，得，結(jié)合，可得，解得或（舍去），所以，所以，可得；（2）在中，設(shè)，，則，，由，可得，因為，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以，即，所以，整理得，結(jié)合，解得，根據(jù)正弦定理，可得，故，所以．【點評】本題主要考查三角恒等變換公式、利用正弦定理與余弦定理解三角形等知識，考查了運算求解能力、圖形的理解能力，屬于難題．7．（2024春?東?？h期中）已知中，角，，的對邊為，，，是邊上的中點．（1）若．求；若，，求的面積；（2）若，，，試探究存在時，，滿足的條件．【分析】（1）由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式可得，進而可求的值；在中，由余弦定理得，利用平面向量數(shù)量積的運算可得，聯(lián)立方程可求得，進而利用三角形的面積公式即可求解；（2）在中，由余弦定理得①，利用平面向量數(shù)量積的運算可得②，聯(lián)立解得，與同號，分類討論即可求解．【解答】解：（1）在中，因為，由正弦定理可得，所以，因為，得，所以，故；在中，由余弦定理得，即，①因為是邊上的中點，所以，即，②①②得，所以的面積為；（2）如圖所示，在中，由余弦定理得，即①；因為是邊上的中線，所以，兩邊平方有②，將①式代入②，得，與同號，當時，，存在，當時，，由②可得，因為，所以，即，當為銳角時，，，，③式為，令，，知在上單調(diào)遞減，所以，當為鈍角時，，，，③式為，令，，知在上單調(diào)遞增，所以，所以，當時，，存在；當為銳角時，，存在；當為鈍角時，，存在．【點評】本題考查了正弦定理，兩角和的正弦公式，余弦定理，平面向量數(shù)量積的運算以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了分類討論思想和函數(shù)思想，屬于難題．8．（2024春?常州期中）三角形的布洛卡點是法國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育學(xué)家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當時的人們所注意．1875年，布洛卡點被一個數(shù)學(xué)愛好者布洛卡重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．當內(nèi)一點滿足條件時，則稱點為的布洛卡點，角為布洛卡角．如圖，在中，角，，所對邊長分別為，，，點為的布洛卡點，其布洛卡角為．（1）若．求證：①為的面積）；②為等邊三角形．（2）若，求證：．【分析】（1）①先根據(jù)表示出三角形得面積，再在，，中由余弦定理相加，再化簡整理，即可得證；②先利用作差法證明，并求出取等號的條件，再結(jié)合即可得證；（2）根據(jù)（1）得出與的等量關(guān)系，再利用余弦定理和三角形的面積公式，化簡整理即可得證．【解答】解：（1）①證明：若，則，所以，在，，中，分別由余弦定理得：，，，三式相加整理得，即，所以；②證明：由余弦定理可得，則，當且僅當且時取等號，因為，所以，所以，所以，即當且僅當且時取等號，即當且僅當為等邊三角形時取等號，所以，當且僅當為等邊三角形時取等號，又由①知，所以為等邊三角形；（2）由（1）得，所以，因為，所以，又由余弦定理可得，所以，所以，所以，由正弦定理可得．【點評】本題考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．9．（2024春?江陰市校級月考）拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點．”已知在中，以，，為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，．若角，，的對邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，求△的面積最大值．【分析】（1）由正弦定理邊化角及三角形內(nèi)角和定理化簡即可得到，再由輔助角公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求得；（2）利用余弦定理及基本不等式求得的最大值，再次利用基本不等式及三角形的面積公式可求得△的面積最大值．【解答】解：（1）由正弦定理得，因為，，，因為，所以即，則或，因為為三角形的內(nèi)角，，；（2）由余弦定理得，當時取等號，取的中點，，，同理，，，，．【點評】本題主要考查三角形中的幾何計算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．10．（2024春?建鄴區(qū)校級期中）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，的面積為．（1）求；（2）若點在內(nèi)部，滿足，求的值；（3）若所在平面內(nèi)的點滿足，求的值．【分析】（1）切化弦得出，即可求解；（2）根據(jù)在內(nèi)部，得出，結(jié)合余弦定理得出，根據(jù)面積公式得出，即可得解；（3）根據(jù)角的取值分與在直線異側(cè)和異側(cè)，結(jié)合余弦定理求解即可．【解答】解：（1），，因為，所以，又因為，所以或，（2）因為點在內(nèi)部，所以，所以，設(shè)，，，由余弦定理知，；；，，又因為，所以，，且，所以，綜上所述，．（3）①當時，與在直線異側(cè)，設(shè)，，，因為，所以，由余弦定理；；，，式知，．②當時，與在直線異側(cè)，同①，，此時，，③，與在直線同側(cè)，，，由余弦定理；，，，綜上所述，滿足條件的點有3個，的值分別為，8和4．【點評】本題考查解三角形的應(yīng)用，屬于難題．11．（2024春?徐州期中）某居民小區(qū)內(nèi)建有一塊矩形草坪，米，米，為了便于居民平時休閑散步，該小區(qū)物業(yè)管理公司將在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路、和，考慮到小區(qū)整體規(guī)劃，要求是的中點，點在邊上，點在邊上，且，如圖所示．（1）設(shè)，試將的周長表示成的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；（2）經(jīng)核算，三條路每米鋪設(shè)費用均為400元，試問如何設(shè)計才能使鋪路的總費用最低？并求出最低總費用．【分析】（1）要將的周長表示成的函數(shù)關(guān)系式，需把的三邊分別用含有的關(guān)系式來表示，而，，分別可以在，中求解，利用勾股定理可求，從而可求．（2）要求鋪路總費用最低，只要求的周長的最小值即可．由（1）得，，利用換元，設(shè)，則，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值．【解答】解：（1）在中，，，，在中，，，，．又，，即．當點在點時，這