人教A版（2019）必修第二冊8.6.2空間角與空間距離(學案)(原卷版+解析)

8.6.2空間角與空間距離（學案）知識自測知識自測一．異面直線所成的角1.定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任意一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，則異面直線a與b所成的角(或夾角)就是直線a′與b′所成的銳角(或直角).2.范圍：.特別地，當θ＝90°時，a與b互相垂直，記作a⊥b.二．直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線與平面α相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，如圖中直線PA斜足斜線和平面的交點，圖中點A射影過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，圖中∠PAO規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，三．二面角的概念1.定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形.2.相關(guān)概念：(1)這條直線叫做二面角的棱；(2)兩個半平面叫做二面角的面.3.畫法：4.記法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.6.二面角的平面角α的取值范圍是.平面角是直角的二面角叫做直二面角.知識簡用知識簡用題型一線線角【例1-1】（2022·吉林）如圖，在正方體中，、、、分別為、、、的中點，則異面直線與所成的角等于（

）A．45° B．60° C．90° D．120°【例1-2】（2022·高一課前預(yù)習）如圖，在四棱錐中，，底面是平行四邊形，則與所成的角是________．題型二線面角【例2-1】（2022春·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，底面．(1)求證：平面平面；(2)若，求與平面所成角的正弦值．【例2-2】（2022春·全國·高一校聯(lián)考階段練習）如圖，在直三棱柱中，，且，，D是棱的中點，E是棱上靠近的四等分點.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.題型三二面角【例3-1】．（2022·天津）如圖，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，點為的中點.(1)求證：直線平面；(2)求證：；(3)求二面角的余弦值.【例3-2】．（2022·湖北）已知正方體的棱長為3，，分別為棱，上的動點，．若直線與平面所成角為．(1)求二面角的平面角的大?。?2)求線段的長度．(3)求二面角平面角的余弦值．題型四空間距離【例4-1】（2021·高一課時練習）如圖，在長方體中，設(shè)，，，則點B到面的距離為________，直線AC與面的距離為________，面與面的距離為________.【例4-2】（2022春·河北石家莊·高一校考期中）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，平面，，.(1)證明：平面PAC；(2)求點到平面的距離.8.6.2空間角與空間距離（學案）知識自測知識自測一．異面直線所成的角1.定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任意一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，則異面直線a與b所成的角(或夾角)就是直線a′與b′所成的銳角(或直角).2.范圍：0°<θ≤90°.特別地，當θ＝90°時，a與b互相垂直，記作a⊥b.二．直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線與平面α相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，如圖中直線PA斜足斜線和平面的交點，圖中點A射影過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，圖中∠PAO規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，0°≤θ≤90°三．二面角的概念1.定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形.2.相關(guān)概念：(1)這條直線叫做二面角的棱；(2)兩個半平面叫做二面角的面.3.畫法：4.記法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.6.二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.知識簡用知識簡用題型一線線角【例1-1】（2022·吉林）如圖，在正方體中，、、、分別為、、、的中點，則異面直線與所成的角等于（

）A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解析】如圖，連接，由題意，，所以異面直線與所成的角是或其補角，由正方體性質(zhì)知是等邊三角形，，所以異面直線與所成的角是．故選：B．【例1-2】（2022·高一課前預(yù)習）如圖，在四棱錐中，，底面是平行四邊形，則與所成的角是________．【答案】【解析】因為底面是平行四邊形，所以，所以與所成的角即為與所成的角或其補角，又，所以與所成的角為，即與所成的角為.故答案為：.題型二線面角【例2-1】（2022春·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，底面．(1)求證：平面平面；(2)若，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）底面．又ACB=，；又平面，又平面，∴平面（2）取PC的中點O，連接AO、BO；又∵平面平面且交線為，平面，直線AB在平面PBC中的射影為OB，為AB與平面PBC所成的角在直角中，AB=，，【例2-2】（2022春·全國·高一校聯(lián)考階段練習）如圖，在直三棱柱中，，且，，D是棱的中點，E是棱上靠近的四等分點.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）∵，，∴，∴，，∴，同理，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，又，∴平面（2）如圖，取的中點M，連接AM，EM，∵，∴，由（1）知平面，∴平面平面，交線為，∴平面，∴即為直線AE與平面所成的角，∵，，∴，即直線AE與平面所成角的正弦值為.題型三二面角【例3-1】．（2022·天津）如圖，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，點為的中點.(1)求證：直線平面；(2)求證：；(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【解析】（1）設(shè)和交于點，連接，如圖，由于，分別是，的中點，故，∵平面，平面，所以直線平面.（2）在四棱柱中，底面是菱形，則，又平面，且平面，則，∵平面，平面，∴平面.平面，∴.（3）連接，，因為，是中點，所以，因為平面，平面，所以，∴為二面角的平面角，，，，由余弦定理可知，∴二面角的余弦值為.【例3-2】．（2022·湖北）已知正方體的棱長為3，，分別為棱，上的動點，．若直線與平面所成角為．(1)求二面角的平面角的大?。?2)求線段的長度．(3)求二面角平面角的余弦值．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）如圖，作，垂足為，連接，作于，平面，平面，故，，，平面，故平面，平面，故，是二面角的平面角，平面，故，，，平面，故平面，是直線與平面所成的角，是直角三角形，由已知，所以．（2）在中，，．（3）連接交于點，連接，在中，，在中，，故即為二面角的一個平面角，在中，，，，即二面角平面角的余弦值為．題型四空間距離【例4-1】（2021·高一課時練習）如圖，在長方體中，設(shè)，，，則點B到面的距離為________，直線AC與面的距離為________，面與面的距離為________.【答案】

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2【解析】在長方體中，面,所以點B到面的距離為即點B到面的距離為3.面,則直線上任意一點到面的距離相等。由面,所以點到面的距離為所以直線AC與面的距離為1.面與面平行，且與面、面都垂直所以線段為面與面的距離故面與面的距離2.【例4-2】（2022春·河北石家莊·高一?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面