四川省綿陽(yáng)市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次診斷性考試試題文含解析

PAGE19-四川省綿陽(yáng)市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次診斷性考試試題文（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求解集合,然后求解.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，先化簡(jiǎn)集合是求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵，題目屬于簡(jiǎn)潔題，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2.若，則下列結(jié)論不正確的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)或特別值，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】因?yàn)?，所以，選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以，選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，選項(xiàng)C不正確；因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以，選項(xiàng)D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，這類問(wèn)題的求解方法是利用常見的不等式的性質(zhì)或者利用特別值進(jìn)行求解，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).3.下列函數(shù)中定義域?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求解選項(xiàng)中各函數(shù)的定義域，再判定各函數(shù)的單調(diào)性，可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋亩x域?yàn)?，所以解除選項(xiàng)B,C.因?yàn)樵谑菧p函數(shù)，所以解除選項(xiàng)A，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，求解函數(shù)定義域時(shí)，熟記常見的類型：分式，偶次根式，對(duì)數(shù)式等，單調(diào)性一般結(jié)合初等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則()A.4 B.5 C.10 D.15【答案】B【解析】【分析】先由求，再求公差，最終可得.【詳解】因?yàn)椋?，可得，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算，嫻熟記憶等差數(shù)列的求和公式及通項(xiàng)公式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).5.已知函數(shù)，若，則()A.-2 B.-1 C.0 D.【答案】B【解析】分析】先由寫出，再由二者關(guān)系可得與的關(guān)系，易得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，易?故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的表示方法，結(jié)合函數(shù)解析式的特征可求，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).6.已知命題函數(shù)，的最小值為；命題若向量，，，滿意，則．下列命題中為真命題的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先推斷命題，命題的真假，利用基本不等式和三角函數(shù)的性質(zhì)可推斷命題為假，再用零向量推斷命題為假，進(jìn)而推斷命題和命題為真，易得為真.【詳解】由題意命題函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由性質(zhì)可得，所以函數(shù)，取不到最小值，即命題為假，則命題為真；命題若向量為零向量，滿意，但不肯定有，所以命題為假，則命題為真，所以為真.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查命題真假的判定，涉及基本不等式的最值問(wèn)題要留意條件的檢驗(yàn)，平面對(duì)量的運(yùn)算要熟記運(yùn)算規(guī)則，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).7.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將化成與同底，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，然后利用中間值1比較的大小，最終易得三者關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋芍笖?shù)函數(shù)單調(diào)遞增，且可得，且，又因?yàn)椋?故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)式，對(duì)數(shù)式比較大小，指數(shù)式的大小比較一般是化為同底數(shù)來(lái)進(jìn)行，不同類的數(shù)值比較一般采納介值法進(jìn)行，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).8.已知x，y滿意約束條件，則的最小值為()A.4 B.2 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先作出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)，確定取到最小值的點(diǎn)，然后求出點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)可得.【詳解】作出可行域，如圖，易得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取到最小值，由得，所以的最小值為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求解最值問(wèn)題，主要求解方法是作出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)，得到最值點(diǎn)，聯(lián)立方程組，求出最值點(diǎn)可得最值.9.設(shè)函數(shù)（其中常數(shù)）的圖象在點(diǎn)處的切線為l，則l在y軸上的截距為()A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，依據(jù)切點(diǎn)寫出切線的點(diǎn)斜式方程，令可得l在y軸上的截距.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，且，則切線方程為，令可得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求解在某點(diǎn)處的切線方程的策略是：先求導(dǎo)數(shù)，代入切點(diǎn)橫坐標(biāo)可得切線斜率，然后結(jié)合點(diǎn)斜式可求切線方程，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).10.某數(shù)學(xué)小組到進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐調(diào)查，了解鑫鑫桶裝水經(jīng)營(yíng)部在為如何定價(jià)發(fā)愁。進(jìn)一步調(diào)研了解到如下信息：該經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元，銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如下表：銷售單價(jià)/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240依據(jù)以上信息，你認(rèn)為該經(jīng)營(yíng)部定價(jià)為多少才能獲得最大利潤(rùn)？（）A.每桶8.5元 B.每桶9.5元 C.每桶10.5元 D.每桶11.5元【答案】D【解析】【分析】通過(guò)表格可知銷售單價(jià)每增加1元、日均銷售量削減40桶，進(jìn)而列出表達(dá)式，利用二次函數(shù)的簡(jiǎn)潔性質(zhì)即得結(jié)論．【詳解】通過(guò)表格可知銷售單價(jià)每增加1元、日均銷售量削減40桶，設(shè)每桶水的價(jià)格為（6+x）元（0＜x＜13），公司日利潤(rùn)y元，則y＝（6+x﹣5）（480﹣40x）﹣200＝﹣40x2+440x+280（0＜x＜13），∵﹣40＜0，∴當(dāng)x＝＝5.5時(shí)函數(shù)y有最大值，因此，每桶水的價(jià)格為6+5.5=11.5元，公司日利潤(rùn)最大，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)模型的應(yīng)用以及二次函數(shù)求最值，屬于基礎(chǔ)題．11.函數(shù)在上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于對(duì)稱，則的值為()A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先求周期的范圍，再進(jìn)一步得到的范圍，解除選項(xiàng)B,C,D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.又因?yàn)?，所以，所?只有選項(xiàng)A符合，經(jīng)檢驗(yàn)可知圖象關(guān)于對(duì)稱；故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用單調(diào)性和對(duì)稱性確定參數(shù)，特值進(jìn)行解除也是常用方法，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).12.在中，，的平分線AD交邊BC于點(diǎn)D，已知，且，則在方向上的投影為()A.1 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)得出四邊形為菱形，從而可得,進(jìn)而可求在方向上的投影.【詳解】因?yàn)椋鐖D設(shè),,所以四邊形為菱形；因，，所以,即有;結(jié)合比例性質(zhì)可得,所以;在方向上的投影為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量應(yīng)用，明確向量的運(yùn)算規(guī)則是求解的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合能簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿意，當(dāng)時(shí)，，則________．【答案】e【解析】【分析】先依據(jù)可得周期為，利用周期可求，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的周期為，所以；又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的周期求值，主要求解思路是：先依據(jù)題設(shè)條件得出函數(shù)的周期，再結(jié)合周期把目標(biāo)函數(shù)值轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，然后可求，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).14.已知向量，向量的模為1，且，則與的夾角為________．【答案】【解析】【分析】先依據(jù)求得，然后利用向量的夾角公式可求.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即有，，所以，故與的夾角為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的運(yùn)算，向量夾角的求解主要利用公式來(lái)求，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15.2024年10月1日，在慶祝新中國(guó)成立70周年閱兵中，由我國(guó)自主研制的軍用飛機(jī)和軍用無(wú)人機(jī)等參閱航空裝備分秒不差飛越天安門，壯軍威，振民心，令世人矚目．飛行員超群的飛行技術(shù)離不開艱苦的訓(xùn)練和科學(xué)的數(shù)據(jù)分析．一次飛行訓(xùn)練中，地面觀測(cè)站觀測(cè)到一架參閱直升飛機(jī)以千米/小時(shí)的速度在同一高度向正東飛行，如圖，第一次觀測(cè)到該飛機(jī)在北偏西的方向上，1分鐘后其次次觀測(cè)到該飛機(jī)在北偏東的方向上，仰角為，則直升機(jī)飛行的高度為________千米．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【解析】【分析】依據(jù)飛行時(shí)間和速度可求飛行距離，結(jié)合兩次視察方位角及三角形學(xué)問(wèn)可得.【詳解】如圖，依據(jù)已知可得設(shè)飛行高度為千米，即，則;在直角三角形中，,所以，；在直角三角形中，同理可求；因?yàn)轱w行速度為千米/小時(shí)，飛行時(shí)間是1分鐘，所以,所以，解得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查以現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為背景的解三角形問(wèn)題，精確理解方位角是求解本題的關(guān)鍵，融合了簡(jiǎn)潔的物理學(xué)問(wèn)，側(cè)重考查了直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).16.若函數(shù)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】或【解析】【分析】令f（x）＝0，參變分別得a＝，令h（x）＝，對(duì)h（x）求導(dǎo)得函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）,單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，0），（1，+∞），h（x）＝h（0）＝1，h（x）＝h（1）＝，由題意得函數(shù)h（x）與直線y＝a有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，即可得出a的取值范圍．【詳解】令f（x）＝0，可得：a＝，令h（x）＝，h（x）＝，令h（x）＝0，解得x＝0或1，x（﹣∞，0）0（0，1）1（1，+∞）h（x）﹣0+0﹣h（x）單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減由表格可得：h（x）＝h（0）＝1，h（x）＝h（1）＝，且，.由f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）與直線y＝a有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．∴當(dāng)或時(shí)，函數(shù)h（x）與直線y＝a有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，也考查了分析推理轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題與計(jì)算的實(shí)力，屬于中檔題．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，且，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先結(jié)合三角恒等變換的公式把目標(biāo)函數(shù)化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)型，結(jié)合周期求解公式和單調(diào)區(qū)間求解方法可求；（2）結(jié)合所給角的范圍，確定的范圍，結(jié)合函數(shù)值可得所求角.【詳解】解：（1）∴，即的最小正周期為．∵的單調(diào)遞減區(qū)間為，，∴由，，解得，，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2）由已知，可得，即，再由，可得，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及性質(zhì)，一般求解思路是：先利用公式把目標(biāo)函數(shù)化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)型，然后利用相應(yīng)性質(zhì)的求解方法求解，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).18.在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由，，成等比數(shù)列，列式解得（舍去）或，進(jìn)而得；再由數(shù)列的前n項(xiàng)和，得，且，進(jìn)而得；（2）由（1）得，利用分組求數(shù)列的前n項(xiàng)和即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則，，∵，，成等比數(shù)列，，即，整理得，解得（舍去）或，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，滿意上式，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，，.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，也考查了數(shù)列的分組求和的方法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．19.已知中三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿意．（1）求；（2）若，b是角B的對(duì)邊，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先依據(jù)及平方關(guān)系，可以求得；（2）依據(jù)三角形性質(zhì)及正弦定理可求，，然后利用面積公式可得.【詳解】解：（1）在中，，即，∴，由題意得．兩邊平方可得，依據(jù)，可整理為，解得或（舍去）．∴．（2）由，且，可得，為鈍角，∴，又，由正弦定理得，∴，．又為鈍角，由（1）得．∴的面積為綜上所述，的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理和面積公式求解三角形問(wèn)題，解三角形時(shí)須要留意三角形性質(zhì)的運(yùn)用及面積公式的選擇，邊角的相互轉(zhuǎn)化是求解的常用策略，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2，若存在，求出的值；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）微小值為，極大值為；（2）存在，理由見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，得的單調(diào)性，進(jìn)而得的極值；（2）求導(dǎo)得，按，，進(jìn)行分別探討得的單調(diào)性，進(jìn)而求出最大值，推斷最大值是2能否成馬上可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，由，得或；由，得，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．的微小值為，極大值為.（2），當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，最大值為，解得（舍）；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最大值為或，由，解得（舍），由，解得.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，最大值為，解得（舍)．綜上所述：.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值求參數(shù)等問(wèn)題，也考查了分類探討思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．21.已知函數(shù)，，．（1）若存在微小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若的極大值為，求證：．【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，令，則，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由題意得按，分類探討，計(jì)算實(shí)數(shù)a的取值范圍即可；（2）由（1）知，的極大值為，，令，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞增，即可證得.【詳解】（1）由題意得，令，則．∴當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，，，∴．①當(dāng)，即時(shí)，，于是在上是增函數(shù)，從而在上無(wú)極值．②當(dāng)，即時(shí)，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)遞增，故是在上的微小值．綜上，．（2）由（1）知，的極大值為．又，，令，，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在探討函數(shù)單調(diào)性、極值和最值中的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立以及分類探討思想，變換過(guò)程困難，須要很強(qiáng)的邏輯推理實(shí)力，屬于中