1.1.1集合及其表示方法（8大題型提分練）

1.1.1集合及其表示方法題型一判斷元素能否構(gòu)成集合1．（2324高一上·江蘇淮安·開學(xué)考試）下列對象能構(gòu)成集合的是（

）A．我國近代著名的數(shù)學(xué)家 B．的所有近似值C．所有的歐盟成員國 D．2023年全國高考數(shù)學(xué)試題中所有難題【答案】C【解析】A、B、D：由于描述中標(biāo)準(zhǔn)不明確，無法確定集合；C：所有歐盟成員國是確定的，可以構(gòu)成集合.故選：C2．（2324高一上·江蘇無錫·月考）下列說法中，能構(gòu)成集合的是（

）A．無限接近0的實數(shù)B．中國最美鄉(xiāng)村C．高一（2）班成績優(yōu)秀的學(xué)生D．2022年度國內(nèi)GDP超過1萬億的地級市【答案】D【解析】對于選項A：“無限接近”沒有判定標(biāo)準(zhǔn)，不滿足確定性，故A錯誤；對于選項B：“最美鄉(xiāng)村”沒有判定標(biāo)準(zhǔn)，不滿足確定性，故B錯誤；對于選項C：“優(yōu)秀的學(xué)生”沒有判定標(biāo)準(zhǔn)，不滿足確定性，故C錯誤；對于選項D：“2022年度國內(nèi)GDP超過1萬億的地級市”有統(tǒng)一的判定標(biāo)準(zhǔn)，滿足確定性，故D正確；故選：D.3．（2223高一上·廣東深圳·月考）給出下列表述：①聯(lián)合國常任理事國；②坪高全體游泳健將；③方程的實數(shù)根；④全國著名的歌手，以上能構(gòu)成集合的是（

）A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】A【解析】①聯(lián)合國常任理事國有5個國家，滿足確定性，可以構(gòu)成集合；②坪高全體游泳健將，元素不具有確定性，不能構(gòu)成集合；③方程的實數(shù)根，具有確定性，能構(gòu)成集合；④全國著名的歌手，元素不具有確定性，不能構(gòu)成集合.故選：A4．（2324高一上·湖北孝感·月考）下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（

）A．參加杭州亞運會的全體乒乓球選手 B．小于5的正整數(shù)C．2023年高考數(shù)學(xué)難題 D．所有無理數(shù)【答案】C【解析】對于A，參加杭州亞運會的全體乒乓球選手明確可知，可以構(gòu)成集合；對于B，小于5的正整數(shù)明確可知，可以構(gòu)成集合；對于C，2023年高考數(shù)學(xué)難題模棱兩可，給定一個2023年高考數(shù)學(xué)題不能判斷其是否是難題，不能構(gòu)成集合；對于D，無理數(shù)明確可知，可以構(gòu)成集合.故選：C題型二判斷元素與集合的關(guān)系1．（2223高一上·四川涼山·期中）下列關(guān)系中，正確的有（

）．①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】對于①：因為為實數(shù)集，所以，正確；對于②④：因為為有理數(shù)集，所以，，②正確，④錯誤；對于③：因為為自然數(shù)集，，正確；所以正確的有3個.故選：C.2．（2324高一上·福建三明·期中）下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】表示全體實數(shù)組成的集合，則，故A錯誤；表示全體有理數(shù)組成的集合，則，故B錯誤；表示全體正整數(shù)組成的集合，則，故C正確；表示全體自然數(shù)組成的集合，則，故D錯誤.故選：C.3．（2324高一上·北京豐臺·期中）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，而是集合，與的關(guān)系不應(yīng)該是屬于關(guān)系，而應(yīng)該是包含關(guān)系.故選:A4．（2324高一上·上?！て谀?shù)集，，，若，，則（

）A． B． C． D．A，，都有可能【答案】A【解析】由題意可知：集合A為奇數(shù)集，集合B為偶數(shù)集，即a為奇數(shù)，b為偶數(shù)，則為奇數(shù)，所以BD錯誤，A正確；例如，令，即，解得，所以，故C錯誤；故選：A.題型三根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)1．（2324高一上·上?！て谀┮阎?，且，則實數(shù)a的值為.【答案】0或【解析】因為，則，解得或.故答案為：0或.2．（2324高一上·湖南長沙·月考）已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D3．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）已知集合，其中.若1是集合中的一個元素，則集合（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，集合中的方程為，解得或，，故選：C．4．（2324高一上·福建南平·月考）（多選）集合有且只有2個元素構(gòu)成，且滿足“且，且”，則實數(shù)的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AC【解析】由，且，得，由集合有且只有2個元素構(gòu)成，且滿足“且，得，即，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，符合題意，所以或.故選：AC題型四利用元素的互異性求參數(shù)1．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）若集合中的三個元素分別為,則元素應(yīng)滿足的條件是．【答案】且且【解析】由元素的互異性，可知，解得:且且.故答案為：且且2．（2324高一上·河南·月考）設(shè)集合，若，則實數(shù)（

）A．0 B． C．0或 D．0或1【答案】B【解析】由集合，因，則或，當(dāng)時，，此時，與元素互異性矛盾，舍去；當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足．故．故選：B．3．（2324高一上·廣東江門·月考）已知集合，，則（

）A． B．或1 C．3 D．【答案】D【解析】因，，故有：或，由解得：或，由解得：，又因時，，與集合元素互異性矛盾，故舍去，而時，符合題意.故選：D.4．（2324高一上·廣東韶關(guān)·月考）已知集合，若，則實數(shù)的值為（

）A．2 B． C．2或 D．4【答案】B【解析】由，若，則，不符合集合元素的互異性；若，則或（舍），，此時符合集合元素的特性；若，即，則不符合集合元素的互異性.故.故選：B.題型五用列舉法與描述法表示集合1．（2324高一上·山東濟南·期末）方程組解的集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由解得方程組解的集合只有一個元素所求解的集合為故選：D2．（2324高二下·浙江寧波·期中）用列舉法表示集合的結(jié)果為.【答案】【解析】由可知為的約數(shù)，所以，因為，所以，此時，集合為.故答案為：.3．（2324高一上·上海徐匯·月考）用描述法表示所有正奇數(shù)集．【答案】【解析】正奇數(shù)可表示為，故對應(yīng)集合為.故答案為：4．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)方程的解集；(2)；(3)平面直角坐標(biāo)系中第二、四象限內(nèi)的點的集合；(4)不等式的解集．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】（1）由得，，解得，，所以集合為；（2）由，得x為，，0，1，2，當(dāng)或時，；當(dāng)或時，；當(dāng)時，．所以集合為；（3）；（4）解不等式得，所以不等式的解集可表示為．題型六區(qū)間與集合的相互表示1．（2324高一上·重慶·期中）不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，解得，所以不等式的解集為.故選：D.2．（2324高一上·上海松江·期中）若為一確定區(qū)間，則的取值范圍為.【答案】【解析】由題意，，解得.故答案為：3．（2023高一·全國·專題練習(xí)）用區(qū)間表示下列集合：（1）用區(qū)間表示為；（2）用區(qū)間表示為.【答案】【解析】根據(jù)區(qū)間與集合的關(guān)系可得結(jié)果.故答案為：；.4．（2324高一上·全國·課后作業(yè)）把下列數(shù)集用區(qū)間表示：(1)；(2)；(3)；(4)或.【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】（1）（2）（3）（4）或題型七集合與方程的綜合問題1．（2324高一上·江蘇無錫·月考）已知集合是單元素集，則實數(shù)的取值集合為．【答案】【解析】由集合是單元素集，可得方程只有一個解，當(dāng)，即時，方程為，解得，此時，符合題意；當(dāng)，即時，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值集合為.故答案為：.2．（2324高一上·福建·期中）（多選）集合只有一個元素，則實數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】當(dāng)時，，滿足條件；當(dāng)時，若中僅有一個元素，則，此時，若，則，滿足，若，則，滿足，故選：ABD.3．（2324高一上·河北石家莊·月考）已知集合至多有一個元素，求的取值范圍．【答案】【解析】集合至多有一個元素，當(dāng)時，方程解得，符合題意；當(dāng)時，一元二次方程至多有一個實數(shù)根，，解得或，所以的取值范圍為.4．（2324高一·江蘇·假期作業(yè)）若集合中有2個元素，求k的取值范圍．【答案】且．【解析】由題意得且，解得且.故實數(shù)k的取值范圍為且．題型八集合的新定義問題1．定義集合的一種運算：，若，則中的所有元素之和為．【答案】26【解析】．故答案為：262．（2024·河南·三模）定義集合運算：，若集合，，則集合中所有元素之和為．【答案】4【解析】，，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，.所以，所以集合中所有元素之和為.故答案為：43．（2324高一上·山東淄博·月考）設(shè)，為兩個非空實數(shù)集合，定義集合，若，，則中元素的個數(shù)是．【答案】8【解析】因為定義集合，又，，，，，，，，，所以集合中的元素分別為1，2，3，4，6，7，8，11共8個.故答案為：8．4．（2324高一上·上海閔行·期中）對于任意兩個正整數(shù)m、n，定義運算“*”：當(dāng)m、n都是偶數(shù)或奇數(shù)時，；當(dāng)m、n中一個為偶數(shù)、另一個為奇數(shù)時，.在此定義下，集合中的元素個數(shù)是【答案】17【解析】當(dāng)a，b都是偶數(shù)或奇數(shù)時，因為1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16；當(dāng)a，b一奇一偶時，1×16=16；集合M中的元素是有序數(shù)對，所以集合M中的元素共有8×2+1=17個.故答案為：171．（2324高一上·江西·月考）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，令，解得，又，則，化簡得.故選：B.2．（2223高二下·湖北·期末）已知集合，，，則集合C中元素的個數(shù)為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】因為，，所以或或或，故，即集合中含有個元素；故選：C.3．（2324高一上·貴州遵義·月考）（多選）已知由實數(shù)組成的非空集合A滿足：若，則．下列結(jié)論正確的是（

）．A．若，則 B．C．A可能僅含有2個元素 D．A所含的元素的個數(shù)一定是【答案】ABD【解析】若，則，，A正確．若，則，而中分母不能為0，即，所以，B正確．若，則，所以，所以，．若，即，此方程無實數(shù)解，所以，若，即，此方程無實數(shù)解，所以，若，即，此方程無實數(shù)解，所以，所以若，則，，，且x，，，互不相等．所以A所含的元素的個數(shù)一定是，非空集合A所含的元素最少有4個，C錯誤，D正確．故選：ABD．4．（2324高三下·河南周口·開學(xué)考試）已知集合中僅有3個整數(shù)，則的取值范圍為．【答案】【解析】因為，所以在數(shù)軸上集合A的端點關(guān)于點1對稱，從而A中的三個整數(shù)為，所以，且，解得．即實數(shù)a的取值范圍為故答案為：5．（2023高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)集合，，已知且，則的取值集合為.【答案】【解析】因為，即，所以或，若，則或；若，即，則或.由與互異，得，故或，又，即，所以，解得且，綜上所述，的取值集合為.故答案為：6．（2324高一上·福建泉州·月考）已知集合.(1)若A是空集，求a的取值范圍；(2)若A中只有一個元素，求a的值，并把這個元素寫出來；(3)若A中至少有一個元素，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)的值為或，當(dāng)時，元素為，當(dāng)時，元素為；(3)【解析】（1）A是空集，且，，解得，的取值范圍為：；（2）當(dāng)時，集合，當(dāng)時，，，解得，此時集合，綜上所求，的值為或，當(dāng)時，元素為，當(dāng)時，元素為；（3）當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，要使關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則，得.綜上，若集合A中至少有一個元素，則實數(shù)a的取值范圍為.7．（2324高一上·福建廈門·月考）已知由實數(shù)組成的集合，，又