1.2.2直線的兩點(diǎn)式方程（2種題型基礎(chǔ)練能力提升練）

1.2.2直線的兩點(diǎn)式方程（2種題型基礎(chǔ)練+能力提升練）一．直線的兩點(diǎn)式方程（共3小題）1．（2023秋?連云區(qū)校級(jí)月考）過點(diǎn)，的直線方程是A． B． C． D．【分析】寫出直線的兩點(diǎn)式方程，化為一般式即可．【解答】解：由題意可得直線的兩點(diǎn)式方程為：，化為一般式可得：故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的兩點(diǎn)式方程，屬基礎(chǔ)題．2．（2023秋?工業(yè)園區(qū)月考）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，，則下列不在直線上的點(diǎn)是A． B． C． D．【分析】由已知的兩點(diǎn)求出直線的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程即可求解．【解答】解：由直線的兩點(diǎn)式方程，得直線的方程為，即，將各個(gè)選項(xiàng)中的坐標(biāo)代入直線方程，可知點(diǎn)，，都在直線上，點(diǎn)不在直線上．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線的方程的求法，點(diǎn)和直線的位置關(guān)系，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．3.（2324高二上·全國·課后作業(yè)）求過下列兩點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程：(1)，；(2)，．【答案】(1)；(2).【分析】由直線兩點(diǎn)式方程的定義即可得解.【詳解】（1）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，，所以該直線的兩點(diǎn)式方程為；（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，，所以該直線的兩點(diǎn)式方程為二．直線的截距式方程（共8小題）4．（2023秋?連云港期中）直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則A．， B．， C．， D．，【分析】根據(jù)截距的定義可知，在軸的截距即令求出的的值，在軸上的截距即令求出的值，分別求出即可．【解答】解：令，得到，解得，所以；令，得到，解得，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生理解直線截距的定義，是一道基礎(chǔ)題．5．（2023秋?阜寧縣校級(jí)期中）已知點(diǎn)，，則直線在軸上的截距為A． B． C． D．【分析】根據(jù)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，然后將代入直線方程，求出的值，即可得到答案．【解答】解：因?yàn)橹本€經(jīng)過兩點(diǎn)、，所以直線方程為，化簡(jiǎn)得，令，得，解得，即直線在軸上的截距為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的方程及其應(yīng)用、直線在坐標(biāo)軸上的截距等知識(shí)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（2023秋?鹽城期中）下列說法中，正確的有A．直線在軸上的截距是2 B．直線經(jīng)過第一、二、三象限 C．過點(diǎn)，且傾斜角為的直線方程為 D．過點(diǎn)且在軸，軸上的截距相等的直線方程為【分析】對(duì)于，結(jié)合截距的定義，即可求解，對(duì)于，將直線化成斜截式，即可求解，對(duì)于，結(jié)合直線過點(diǎn)，且傾斜角為，即可求解，對(duì)于，分直線在軸，軸上的截距為0，不為0兩種情況，即可求解．【解答】解：對(duì)于，直線在軸上的截距是，故錯(cuò)誤，對(duì)于，直線，即，直線的斜率，直線與軸的截距大于0，故直線經(jīng)過第一、二、三象限，故正確，對(duì)于，過點(diǎn)，且傾斜角為的直線方程為，即，故正確，對(duì)于，直線在軸，軸上的截距為0時(shí)，直線過點(diǎn)，則直線方程為，直線在軸，軸上的截距不為0時(shí)，則可設(shè)直線方程為，直線過點(diǎn)，則，解得，故直線方程為，綜上所述，所求直線方程為或，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．7．（2023秋?鹽城月考）若直線過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等，則直線的方程可能為A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，分直線在兩坐標(biāo)軸的截距不為0，為0討論，即可求解．【解答】解：當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸的截距為0時(shí)，可設(shè)直線方程為，直線過點(diǎn)，則，故直線方程為，即，故正確，當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸的截距不為0時(shí)，可設(shè)直線方程為或或，當(dāng)直線方程為時(shí)，則，解得，即，故正確，當(dāng)直線方程為時(shí)，則，解得，即，當(dāng)直線方程為時(shí)，則，解得，即，故正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023秋?新吳區(qū)校級(jí)期中）已知直線過點(diǎn)，且在軸上的截距為在軸上的截距的兩倍，則直線的方程是或．【分析】對(duì)直線是否經(jīng)過原點(diǎn)分類，結(jié)合條件，求出的方程．【解答】解：若直線經(jīng)過原點(diǎn)，滿足條件，可得直線的方程為．若直線不經(jīng)過原點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入可得，解得．直線的方程為，即．綜上可得直線的方程為或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的截距式，考查了分類討論思想與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2023秋?常州期中）過點(diǎn)的直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)．當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，的方程為A． B． C． D．【分析】由題意設(shè)直線的截距式方程為，可得，由基本不等式可得，可得的面積，可得此時(shí)直線的方程．【解答】解：由題意設(shè)直線的截距式方程為，直線過，，，，當(dāng)且僅當(dāng)即且時(shí)取等號(hào)，的面積，面積的最小值為4，此時(shí)直線的方程為，化為一般式方程可得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的截距式方程，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．10．（2023秋?泗陽縣期中）設(shè)為實(shí)數(shù)，直線．（1）求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的正半軸的截距之和最小，求的方程．【分析】（1）將直線方程整理可得，可得直線恒過與的交點(diǎn)，可證得直線恒過定點(diǎn)；（2）設(shè)直線的截距式方程，可得截距之和，由基本不等式可得它的最小值．【解答】（1）證明：因?yàn)橹本€整理可得：對(duì)恒成立，從而由，解得，從而過定點(diǎn)；（2）解：由題意設(shè)，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以，兩坐標(biāo)軸的正半軸的截距之和為，，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，從而的方程為，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線恒過定點(diǎn)的求法及基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．（2023秋?連云區(qū)校級(jí)期中）已知直線與直線交于點(diǎn)．（1）求過點(diǎn)且平行于直線的直線的方程；（2）求過點(diǎn)并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線的方程．【分析】（1）首先求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線方程即可；（2）討論直線在兩坐標(biāo)軸上的截距是否為0進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）聯(lián)立，解得，即，由題意，設(shè)直線的方程為，將代入直線方程，得，即，所以直線的方程為．（2）當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0時(shí)，直線的斜率為，則直線的方程為，即；當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，將代入直線方程，得，即，所以直線的方程為，即．綜上所述，直線的方程為或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的截距式方程，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．一．多選題1．（2023秋?江蘇月考）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線方程為A． B． C． D．【分析】利用截距式的求法，討論截距的絕對(duì)值相等的情況，在進(jìn)行截距式假設(shè)時(shí)，分截距為0，截距不為0進(jìn)行假設(shè)．【解答】解：當(dāng)直線的截距不為0時(shí)，設(shè)直線的截距式方程為，由題可得所以或解得或所以直線方程為或，故，正確；當(dāng)直線的截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為，由題可知，故直線方程為，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023秋?丹陽市月考）下列說法正確的是A．直線的傾斜角為 B．經(jīng)過點(diǎn)，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為 C．直線恒過定點(diǎn) D．已知直線過點(diǎn)，且與，軸正半軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，則面積的最小值為4【分析】直接利用直線的傾斜角和斜率，恒過定點(diǎn)的直線系，截距式直線方程，基本不等式判斷、、、的結(jié)論．【解答】解：對(duì)于：直線的斜率，由于，，故直線的的傾斜角為，故正確；對(duì)于：經(jīng)過點(diǎn)，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為和，故錯(cuò)誤；對(duì)于：直線，整理得，故該直線恒過定點(diǎn)，故正確；對(duì)于：已知直線過點(diǎn)，且與，軸正半軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，，故，，所以，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線的傾斜角和斜率，恒過定點(diǎn)的直線系，截距式直線方程，基本不等式，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．3．（2023秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）下列說法錯(cuò)誤的是A．過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為 B．直線必過定點(diǎn) C．經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為 D．過，，，兩點(diǎn)的所有直線的方程為【分析】根據(jù)直線過原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，可判定錯(cuò)誤；根據(jù)直線系方程過定點(diǎn)，可判定正確；根據(jù)時(shí)，此時(shí)直線的斜率不存在，可判定錯(cuò)誤；根據(jù)直線的方程，分類討論，可判定正確．【解答】解：對(duì)于中：當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且等于0時(shí)，直線過原點(diǎn)，可設(shè)直線方程為，又直線過點(diǎn)，則，即，此時(shí)直線方程為，滿足題意，所以錯(cuò)誤；對(duì)于中：直線可化為，由方程組，解得，，即直線必過定點(diǎn)，所以正確；對(duì)于中，當(dāng)傾斜角時(shí)，此時(shí)直線的斜率不存在，無意義，所以錯(cuò)誤；對(duì)于中，由兩點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)過，，，兩點(diǎn)的所有直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)過，，，兩點(diǎn)的所有直線的方程為或，適合上式，所以過，，，兩點(diǎn)的所有直線的方程為，所以正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線方程的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．二．解答題4．（2023秋?秦淮區(qū)月考）直線過點(diǎn)且與軸、軸正半軸分別交于、兩點(diǎn)．（1）若直線的斜率為，求的面積；（2）若的面積滿足，求直線的斜率的取值范圍；【分析】（1）點(diǎn)斜式求出直線方程，得到、兩點(diǎn)坐標(biāo)，可計(jì)算的面積；（2）設(shè)直線的斜率為，表示出直線方程，得到、兩點(diǎn)坐標(biāo)，由求直線的斜率的取值范圍．【解答】解：（1）因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的方程為：，整理得：，所以直線與軸、軸正半軸的交點(diǎn)為、，故的面積為．（2）根據(jù)題意，直線的斜率存在且，所以直線的方程為：，整理得：所以直線與軸、軸正半軸的交點(diǎn)為、，所以，解得，所以的面積，由于的面積滿足，所以，整理得：，解不等式得：，故直線的斜率的取值范圍．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線的方程的求法，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．5．（2023秋?海安市校級(jí)月考）已知直線過點(diǎn)，根據(jù)下列條件分別求出直線的方程．（1）在軸、軸上的截距互為相反數(shù)；（2）與兩條坐標(biāo)軸在第一象限所圍成的三角形面積最小．【分析】（1）分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況求直線方程；（2）寫出直線的截距式方程，代入點(diǎn)得，利用不等式即可求解取最值時(shí)的，．【解答】解：（1）①當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，在軸、軸上的截距互為相反數(shù)都等于0，此時(shí)直線的方程為，②當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為在直線上，，，即．綜上所述，直線的方程為或（2）由題意可知，直線與兩坐標(biāo)軸均交于正半軸，故設(shè)直線方程為，將代入可得，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故此時(shí)面積最小為，故直線方程為，即．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線方程的截距式方程的應(yīng)用，還考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．6．（2023秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）已知直線．（1）當(dāng)直線在軸上的截距是它在軸上的截距3倍時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)直線不通過第四象限時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，，顯然滿足題意，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，分別求出直線在，軸上的截距，結(jié)合題意可求；（2）當(dāng)時(shí)，直線方程為，顯然滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程可化為，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可求．【解答】解：（1）當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，，顯然滿足題意，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，令得，，令得，所以，解得或；（2）當(dāng)時(shí)，直線方程為，顯然滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程可化為，由題意得，解得，綜上，的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線方程的截距式的應(yīng)用及一次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（2023秋?廣陵區(qū)校級(jí)月考）已知直線過點(diǎn)．（1）若直線在兩坐標(biāo)軸上截距和為零，求方程；（2）設(shè)直線的斜率，直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為、，求面積最小值．【分析】（1）由題意利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，求出斜率的值，可得結(jié)論．（2）先求出直線在坐標(biāo)軸上的截距，再由題意利用基本不等式求得面積最小值．【解答】解：（1）直線過點(diǎn)，若直線在兩坐標(biāo)軸上截距和為零，設(shè)直線的方程為，即．則它在兩坐標(biāo)軸上截距分別為和，由題意，，或，直線的方程為或．（2）設(shè)直線的斜率，則直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為，、0，，求面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故面積最小值為4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用點(diǎn)斜式求直線的方程，直線在坐標(biāo)軸上的截距，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．8.（2324高二上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知直線的方程為，若在軸上的截距為，且．(1)求直線的方程；(2)已知直線經(jīng)過與的交點(diǎn)，且在軸上截距是在軸上的截距的2倍，求的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直的關(guān)系求得直線的斜率，再利用直線的斜截式即可得解；（2）聯(lián)立與的直線方程，求得它們的交點(diǎn)，再利用截距式與待定系數(shù)法即可得解.【詳解】（1）由直線的方程為，，可得直線的斜率為，又在軸上的截距為，所以直線的方程為.（2）聯(lián)立，解得，因?yàn)橹本€在軸上截距是在軸上的截距的2倍，且過點(diǎn)，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，方程為：，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，，則，解得，故方程為，即；綜上所述：的方程為或.9.在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P(3,1)作直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A，B.(1)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))，求直線l的截距式方程；(2)求當(dāng)eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))取得最小值時(shí)直線l的方程．【解析】解設(shè)A(a,0)，B(0，b)，其中a>0，b>0.(1)∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))，∴(3－a,1)＝eq\f(1,2)(－3，b－1)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a＝－\f(3,2)，,1＝\f(b－1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,2)，,b＝3，))∴直線l的截距式方程為eq\f(x,\f(9,2))＋eq\f(y,3)＝1.(2)∵A，P，B三點(diǎn)共線，∴eq\f(1,3－a)＝eq\f(1－b,3)，整理得eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴eq\o(