人教版初中八年級數學上冊同步講義-角平分線的性質（解析版）

第03講角平分線的性質

學習目標

課程標準學習目標

1.掌握角平分的定義以及基本性質。

①角平分線的定義

2,掌握角平分線的性質并能夠證明。

②角平分線的性質

3.掌握角平分線尺規(guī)作圖的基本原理，并能夠利用直

③角平分線的尺規(guī)作圖

尺和圓規(guī)進行角平分線作圖。

思維導圖

平分角

角平分線的定義與性廉［角平分線上的點到角兩邊的距離

知識點01角平分線的定義及其性質

1.角平分線的定義：

角的內部把角分成兩個相等的角的射線這是個角的角平分線。

2.角平分線的性質：

(1)性質1：平分角。

即若OC是/AOB的平分線，則/AOC=/BOC。且他們都等于/A0B的一半

(2)性質2：角平分線上任意一點到角的兩邊的距離相等。

即若0C是NAOB的平分線，P是0C上一點，且PDXOB于點D,PEXOA于點E,則有PD=PE

題型考點：①利用角平分線的性質求線段長度或距離。②利用角平分線的性質求面積。

【即學即練11

1.如圖，在△43C中，NC=90°,BC=9,DC^-BC-4D平分/BAC,則點。到48的距離為（）

3

【解答】解：如圖，過點。作垂足為H

,-BC=9,DC[BC，

o

DCfC=3,

平分/8/C,NC=90°,DHLAB,

:.CD=DH=3,

...點。到的距離等于3,

故選：C.

【即學即練2】

2.如圖，AB//CD,8P和C尸平分。和/DC8,過點尸且與直線N5垂直.若/。=8,則點P到

的距離是（）

【解答】解：過尸作尸于￡,

BA_______

E[\

C

D

,:AB〃CD,ADLAB,

：.AD.LCD,

?:PE工BC,BP和CP平分N45。和NOC5,

：.PA=PE,PE=PD,

即P4=PD=PE,

9

：AD=PA+PD=Sf

：?PA=PD=PE=4,

即點。到5C的距離是4,

故選：C.

【即學即練3】

3.如圖，40是△ZBC中NA4C的平分線，DE1AB,交AB于點、E,DFLAC,交4c于點尸，若DE=2,

【解答】解：?.7。是NA4C的平分線，DELAB,DFL4C,

:,DF=DE,

■:DE=2,

：.DF=2,

A5A^C=-1-^CXDF=AX4X2=4,

故選：A.

【即學即練4】

4.如圖，中，ZC=90°,AD平分NBAC,交BC于點、D,45=10,CD=3,則△45。的面積為

()

A.60B.30C.15D.10

【解答】解：過點。作。45,垂足為E,

A

平分/2/C,DELAB,DCLAC,

：.DE=DC=3,,

?.”=10,

.'.△ABD的面積=

2

=JLX10X3

2

=15,

故選：C.

知識點02角平分線的尺規(guī)作圖

1.作已知角的角平分線:

步驟一：以角的頂點為圓心,一定長度為半徑畫圓弧，交角的兩邊與點M和點N。

步驟二：以點M和點N為圓心，大于一MN的長度為半徑畫圓弧,兩弧交于點P。

2

步驟三：連接OP即為角平分線

步驟一

2.證明上圖中的0P是角平分線:

連接MP,NP

由作圖過程可知，OM.ON,MPNP-

在△OMP與△ONP中

OM=ON

MP=NP

OP=OP

/.△OMP^AONP

/.ZMOP=ZNOP

/.OP是NAOB的角平分線。

題型考點：①尺規(guī)作圖為角平分線的依據。

②尺規(guī)作圖后的有關計算。

③作圖及其實際應用。

【即學即練1】

5.數學課上陳老師要求學生利用尺規(guī)作圖，作一個已知角的角平分線，并保留作圖痕跡.學生小敏的作法

是：如圖，是已知角，以。為圓心，任意長為半徑作弧，與04、。2分別交于N、M；再分別以

為圓心，大于上VN的長為半徑作弧，交于點C；作射線OC；則射線。。是的角平分線.小

2

敏作圖的依據是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【解答】解：在△。M。與△ONC中，

rOM=ON

'oc=oc-

,CM=CN

：./\OMC^^ONC（SSS）,

/COM=ACON,

，射線。。是的角平分線.

故選：D.

【即學即練2】

6.如圖，在中，ZC=90°,以點N為圓心，適當長為半徑作弧，分別交NC于點D,E,

再分別以點。，E,為圓心，以大于的長度為半徑作弧，兩弧交于點足作射線/尸交3c于點G,

2

若/8=12,CG=3,則A/BG的面積是（）

A.12B.18C.24D.36

【解答】解：過點G作GHLAB于點H,

根據題意得，Zb是NC45的角平分線，

VZC=90°,

C.ACLCG,

?；GH1AB,

:?CG=GH,

VCG=3,

SAABG=yXABXGH蔣X12X3=18，

故選：B.

【即學即練3】

7.如圖，k、/2交于/點，請確定M點，使它到/1、/2的距離相等.（用直尺和圓規(guī)）

【解答】解：如圖，用直尺和圓規(guī)作/9C的平分線/E,并延長；同理做出的平分線4P,并延

長，

點河在直線NE或直線PQ上即可.

0

【即學即練4】

8.如圖，三條公路兩兩相交，現計劃修建一個油庫.

（1）如果要求油庫到兩條公路N3,/C的距離都相等，那么如何選擇油庫的位置？

（2）如果要求油庫到這三條公路的距離都相等，那么如何選擇油庫的位置？

【解答】解：（1）如圖，加油站的位置在直線VN或直線所上.

（2）如圖，點尸1,尸2,尸3,尸4即為所求.

知識點03角平分線的判定

1.角平分線的判定的內容:

角的內部到角兩邊距離相等的點一定在角平分線上。

2.數學語言：

點P在/AOB的內部，PE_LOA于E,PD_LOB于D,且PE=PD,則點P在

ZAOB的平分線上。

即：：PE_LOA于E,PD_LOB于D,且PE=PD

.\ZAOC=ZBOC

題型考點：角平分線的判定證明。

【即學即練11

9.如圖，在四邊形中，/B=NC=90°,點￡為的中點，且4E1平分求證：DE是/

40c的平分線.

【解答】證明：如圖，過點E作EFLAD于F,

VZB=90°,/E平分N3/D,

：.BE=EF,

是BC的中點，

：.BE=CE,

：.CE=EF,

又；NC=90°,EFLAD,

【即學即練2】

10.如圖，DELABE,DFLACF,若BD=CD,BE=CF

：.NE=NDFC=90°,

在和Rt/XCDF中,

[BD=CD,

IBE=CF'

:.RtABDE2RtACDF(HL),

：.DE=DF,

'：AD=AD,

RtZXADEgRtzXAD尸(HL),

ZDAE=ZDAF,

；.4D平分/A4c.

5

知識點04三角形的角平分線性質

1.三角形角平分線的性質：

三角形一個角的角平分線分得的兩個三角形的面積比等于這個角的兩邊

的比，也等于這個角對邊分得的兩條線段的比。

即如圖：AD是^ABC的平分線。

貝ISMBD?SACD=4B:ZC=BD:CD。

特別提示：分別以AB和AC為底、BD和CD為底表示出兩個三角形的面積，然后比即可得出。

題型考點：利用三角形角平分線的性質進行面積有關的計算。

【即學即練1】

11.如圖，在△48。中，ZA=90°,AB=2,BC=5,3。是//8C的平分線，設和△3DC的面積

分別是Sl，S2,則Si：S2的值為（）

A.5：2B.2：5C.1：2D.1：5

【解答】解：過。點作于E,如圖,

是N48C的平分線，DELBC,DALAB,

：.DE=DA,

故選：B.

【即學即練21

12.如圖，△45。的三邊4C、BC、45的長分別是8、12、16,點。是△ZBC三條角平分線的交點，則S

△OAB：S/^OBC-SziCUC的值為（）

C.2：3：4D.3：4：5

【解答】解：如圖，過點。作于點Z),OELBC于點、E,。/，4C于點R

???點。是“BC三條角平分線的交點，

：.OD=OE=OF,

???$△0AB得研3二9160D=80D^

SAOBC=fBC'°E=lX12OD=6OE，

SAOAC=fAC,OF=lX80F=4OF，

=

?'?S^OAB：S^OBC：SAOAC^OD：6OE：4。b=4：3：2.

題型精講

題型01角平分線的性質

【典例1】

如圖，△/BC的外角/NCD的平分線CP與內角//8C的平分線8尸交于點尸，若/5PC=40°,則/C4尸

=()

【解答】解：延長84,作尸ALL8D,PFLBA,PMLAC,

設/PCD=x°,

：C尸平分N/C￡>,

?.ZACP=ZPCD=x°,PM=PN,

；BP平分/4BC,

：.ZABP=ZPBC,PF=PN,

：.PF=PM,

,：ZBPC=40°,

：.ZABP=ZPBC=ZPCD-ZBPC=(x-40)°,

:.NBAC=NACD-/ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,

：.ZCAF=W0°,

在RtAPE4和RtAPMA中，

(PA=PA,

IPM=PF，

；.RtAPE4gRtAm4(HL),

：.ZFAP^ZPAC^5Q0.

【典例2】

如圖，在△48C中，ZC=90°,平分/8NC,過點。作若BC=1,BD=4,則。￡的長為

()

A.5B.4C.3D.2

【解答】解：VZC=90°,AD平分NBAC,DELABE,

：.DE=DC,

U：BC=1,BD=4,

???。。=7-4=3,

：.DE=3,

故選：C.

【典例3】

如圖，在△45C中，ZC=90°,Z1=Z2,5C=16c加，點。到45的距離為6c加，則她的長為（）

A.7cmB.8cmC.9cmD.10cm

【解答】解：過點。作。于點區(qū)

U：DELAB,

；?DE=6cm,

VZ1=Z2,

：.AD是/CAB的角平分線,

VZC=90°,DE工AB,

DE=CD=6cm,

VBC=\6cm,

:?BD=T0cm.

故選：D.

【典例4】

如圖，點尸是△48C的三個內角平分線的交點，若△48C的周長為24cm,面積為36c/,則點尸到邊3c

的距離是()

【解答】解：過點P作尸于D,PE_LBC于■E,PFLACF,如圖,

...點尸是△/BC的內角平分線的交點，

：.PE=PF=PD,

又△48C的周長為24CTM,面積為36cm2,

SAABC=^-AB-PD-HyBC-PE^1-AC-PF=yPE(AB+BC+AC)，

?*X24XPE=36，

o

:?PE=3cm.

故選：B.

【典例5】

如圖，△/2C的周長為12c%,/ABC、N/CB的平分線交于點0,OD_LBC于點。，且O￡>=2cw,則4

ABC的面積為cm2.

【解答】解：過。點作0ELA8于E,OFLACF,連接04,如圖,

NABC、ZACB的平分線交于點0,

：.0E=0D=2,0F=0D=2,

S”BC=S“OB+SABOLS"oc

=Lx48X2+工X2CX2+lx/CX2

222

=AB+BC+AC

=12(cm2').

故答案為12.

【典例6】

如圖，AD是△48C的角平分線，48=8,BC=4,且&UBC=36,則△03C的面積是

【解答】解：如圖，過點。作。ELN5于￡,DFLBCF,

:BD是的一條角平分線，

：.DE=DF,

：/8=8,BC=4,

，S“BC=—AB?DE+—BC-DF=—X8?DF+—X4?。尸=36,

2222

解得DF=6,

SADBC=—BC-DF=AX4X6=12.

22

故答案為：12.

題型02角平分線的作圖

【典例1】

觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列說法錯誤的是（）

A.0E是的平分線

B.OC=OD

C.點C、。到。E的距離不相等

D.NAOE=/BOE

【解答】解：根據尺規(guī)作圖的畫法可知：0E是的角平分線.

/、OE是/4。8的平分線，/正確；

B、OC=OD,8正確；

C、點C、D到OE的距離相等，。不正確；

D、ZAOE=ZBOE,。正確.

故選：C.

【典例2】

如圖，已知按照以下步驟作圖：①以點。為圓心，任意長為半徑畫分別交04,于點C,D；

②分別以點C,。為圓心，以大于寺⑦的長為半徑畫弧，兩弧交于點E；③連接?！?CE,DE,CD.下

列結論錯誤的是（）

A.ZOCE=ZODEB.ZECD=ZOCDC.ZAOE=ZBOED.CDLOE

【解答】解：由作圖步驟可得：OE是/的角平分線，則NCO￡=/DOE,故C選項正確,

又OC=OD,0E=0E,

:.△OCE"AODE(&4S),

：.N0CE=N0DE,故/正確;

,：0C=0D,EC=ED,

/.OE垂直平分CD,則OE_LCD,故。選項正確，

沒有條件能得出/OCD=NECD,

故選：B.

【典例3】

如圖，在△/SC中，AB=AC,按如下步驟作圖：以點4為圓心、適當長度為半徑作弧，分別交NC于

點、M、N；分別以點M、N為圓心、大于Lw的長為半徑作弧，兩弧相交于點R連接N尸并延長，交

2

3c于點￡.下列結論不一定成立的是（）

A.NABC=/ACBB.BE=CEC.AELBCD.NBAE=L/B

2

【解答】解：由作法得NE平分/8/C,

NBAE=L/BAC,

2

；4B=AC,

：.NABC=/ACB,BE=CE,AE±BC.

故選：D.

【典例4】

如圖，在△NBC中，ZC=90°,按以下步驟作圖：①以點N為圓心、適當長為半徑作圓弧，分別交邊/C、

4B于點、M、N；②分別以點M和點N為圓心、大于/MN的長為半徑作圓弧，在NA4。內，兩弧交于點

P；③作射線/尸交邊8C于點。，若CD=4,/2=15,則△N3D的面積是（）

由基本作圖可知，N尸平分NC/8

尸平分/C43,ZC=90°,DELAB,

：.DE=DC=4,

:.4ABD的面積=LX/BXZ）E=30,

2

故選：B.

題型03角平分線的性質的實際應用

【典例1】

為促進旅游發(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村，如圖所示，若要使度假村到三條

公路的距離相等，則這個度假村應修建在（）

A.△/BC三條高線的交點處

B.△/BC三條中線的交點處

C.△/BC三條角平分線的交點處

D.△/BC三邊垂直平分線的交點處

【解答】解：???度假村到三條公路的距離相等,

這個度假村為△N8C的角平分線的交點.

故選：C.

【典例2】

三條公路將/、8、C三個村莊連成一個如圖的三角形區(qū)域，如果要在三角形區(qū)域內修建一個集貿市場，要

使集貿市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿市場可選的位置有（）

一

A.1處B.2處C.3處D.4處

【解答】解：三條公路將4、2、C三個村莊連成一個如圖的三角形區(qū)域，如果要在三角形區(qū)域內修建一

個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿市場可選的位置應該在△ZBC三個角

的角平分線的交點處，可選的位置有1處，

故選：A.

強化訓練

1.到三角形的三條邊距離相等的點（）

A.是三條角平分線的交點B.是三條中線的交點

C.是三條高的交點D.以上答案都不對

【解答】解：???三角形三條角平分線交于一點，這點到三角形的三邊的距離相等.

...到三角形的三條邊距離相等的點是三條角平分線的交點，

故選：A.

2.如圖，即是△4SC的角平分線，DELAB,垂足為E.若△N3C的面積為26,AB=8,BC=5,貝UDE

的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：作。于尸，如圖，

是△4BC的角平分線，DELAB,DFLBC,

:.DE=DF,

S"BC=SAABD+SACBD,

/.JLX5XDF+—X8XZ)E=26,

22

：.UDE=26,

2

：.DE=4.

故選：D.

3.如圖，在△/8C中，NC=90°,4B=10,40是△43C的一條角平分線.若CD=3,則△43。的面積

為（）

A.15B.30C.12D.10

【解答】解：過。點作。于應如圖,

「力。平分N5ZC,DEL4B,DCLAC,

:,DE=DC=3,

.,.S^D=—X10X3=15.

A2

故選：A.

4.如圖，OP平分NMON,B4LON于點/，點0是射線。河上的一個動點.若刃=2,則P。的長不可能

【解答】解：:。尸平分NMON,PALON,

/.點P到OM的距離等于E4,即點P到OM的距離為2,

.?.尸022.

故選：D.

5.如圖，在△4SC中，ZACB=90°,BE平分NABC,CFLAB,交4B于點、F,交8E于點。，若BC=

8cm,DF=3cm,則△CD8的面積為（）

A.\2cnrB.8cm2C.6cm2D.4cm2

【解答】解：作。X，8c于點X,如圖:

E

a

c*s

fBE平分N4BC,CFLAB,DH±BC,

：.DH=DF.

?:DF=3cm.

:?DH=3cm.

9：BC=Scm.

...△CD3的面積為：yBCDH=12^2.

故選：A.

6.如圖，ZAOB=10°，點C是內一點，CD_LON于點。，CELOB于點、E,且CD=CE,則NDOC

的度數是（）

【解答】解：'：CDVOA,CEVOB,且CD=C￡,

；.。。平分/403,

:NA0B=7Q°,

ZDOC=^-ZAOB=35°,

2

故選：B.

7.如圖，AD//BC,//2C的平分線3P與NB4D的平分線4P相交于點尸，作尸E_L4B于點E,若PE=4,

則點P到40與3c的距離之和為（）

AA--------D

E/A

'P

BC

A.4B.6C.8D.10

【解答】解：過點尸作尸尸_L5C,垂足為R延長尸尸交4。于點M,

YAD〃BC,

：.ZBFP=ZDMP=90°,

〈BP平分N4BC,PELAB,PFLBC,

：?PE=PF=4,

?；4P平分/B4D,PELAB,PMLAD,

：?PE=PM=4,

：.MF=PM+PF=S,

???點P到AD與BC的距離之和為8,

故選：C.

8.如圖，△ABC中，4D_L5C交BC于點Q,AE平分/BAC交BC于點、E.過點。作4E的垂線交的

延長線于點尸，交4。的延長線于點G,連接5G,下列結論：

?ZBAD=ZBCG；

②NECF《（/4BD-ZACE\

③ZAGC=ZBAE+ZACB；

@S/^ABD*S^CDG=S^BDG*S^ACD，

其中止確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：①?.?/O_L8C,AFLCG,

：.ZBCG+ZCGA=90°,ZGAF+ZCGA=90°,

???NBCG=NGAF,

根據已知條件無法判定NB/。與NGN尸相等，

，無法判定NBAD與ZBCG相等，

故結論①不正確；

②設NECF=a,即N8CG=a,

由①可知：ZGAF=ZBCG=a,即/D4E=a

設N8/C=2B，

平分入B/C,

NBAE=NCAE=*/B4C=B，

：.ZBAD=/BAE-ZGAF=^-a,NAED=NACB+NCAE=ZACB+^,

'JADLBC,

：.ZBAD+ZABD=90°,ZDAE+ZAED=90°,

/.p-a+ZABD=90°,a+N/CB+B=90°,

P-a+N/5￡)=a+N4C5+B，

.?.a=A(AABD-/ACE),

2

:./ECF=L(.ZABD-NACE),

2

故結論②正確；

③平分N8/C,

ZBAE=ZCAE,

：.NAED=NCAE+NACB=ZBAE+ZACB,

'：AD±AB,AFLCG,

：.ZAGC+ZGAF=90°,ZAED+ZGAF=90°,

ZAGC=ZAED=ZBAE+ZACB,

故結論③正確；

@"：ADLBC,

S^ABD=—BD*AD,S^CDG=—CD,DG,S^BDG=—BD,DG,S^ACD=CD'AD,

222

S&ABD,CDG=-BD-AD-CD-DG,S^BDG'S^ACD=—BD-DG'CD-AD,

44

S/^ABD?COG=SABDG?S"CD，

故結論④正確.

綜上所述：結論②③④正確，共3個.

故選：C.

9.隨著人們生活水平的不斷提高，汽車逐步進入到千家萬戶，小紅的爸爸想在本鎮(zhèn)的三條相互交叉的公路

（如圖所示），建一個加油站，要求它到三條公路的距離相等，這樣可供選擇的地址有處.

【解答】解：如圖所示，加油站站的地址有四處,

故答案為：4.

2

10.如圖，BD是/ABC的平分線，DELAB于點E,SAABC=15cm,AB=8cm,BC=12cm,則DE=cm.

【解答】解：過點。作。尸，5C于點R

,.?3。是NZ5C的平分線，DELAB,

：.DE=DF,

AB=Scm,BC=12cm,

:.S"BC=s"BD+S&BCD=LB?DE+LBC?DF=LDE?(AB+BC)=15cm2,

222

；,DE=1.5cm.

故答案為：1.5.

11.如圖，。是3c內一點，且。到三邊/8、BC、G4的距離。戶=O￡）=OE,若/B/C=70°，ZBOC

4

B

D

【解答】解：尸=OO=OE,

：.OB、。。分另1J平分/A8C和N/C3,

■:NBAC=1Q°，

ZABC+ZACB=180°-70°=110°,

：.ZOBC+ZOCB=^-(NABC+NACB)=AxilO°=55°,

22

；./8OC=180°-(NOBC+NOCB)=180°-55°=125°.

故答案為：125°.

12.如圖所示，已知△/2C的周長是20,OB,OC分別平分。和00_LBC于。，且OD=3,

則△A8C的面積是

【解答】解：如圖，連接。4,

'JOB,OC分別平分/48C和NZC3,

二點。到AB、AC.BC的距離都相等,

:ZUBC的周長是20,0D_L8C于。，且。。=3,

.,.SZUBC=4X20X3=30.

2

故答案為：30.

13.已知：如圖，8。平分//8C,點尸在上，點G在NC上，連接尸G、FC,PC與8。相交于點H,

/GFH+NBHC=180°.

A

(1)證明：N1=N2；

(2)若N/=55°,NA8C=80°,求/尸GC.

【解答】(1)證明：■:NGFH+NBHC=l80°,/BHC=/FHD,

：.ZFHD+ZGFH=1SQ°,

：.FG//BD,

B