人教版初中七年級數(shù)學(xué)上冊同步講義-方程及其等式的性質(zhì)（解析版）

第01講方程與等式的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握方程的概念以及方程的解得概念，并能夠熟悉

①方程與方程的解得概念判定以及熟練應(yīng)用。

②一元一次方程的概念2.掌握一元一次方程的概念并能夠熟練判斷，能夠根

③等式的基本性質(zhì)據(jù)一元一次方程的概念解決相應(yīng)的題目。

3.掌握等式的基本性質(zhì)，并對其熟練應(yīng)用。

思維導(dǎo)圖

方程的鼠念

知識點01方程的概念

i.方程的概念：

含有未知數(shù)的等式叫做方程。

特別說明：兩個條件必須滿足：①是等式；②等式中含有未知數(shù)。

題型考點：判斷方程。

【即學(xué)即練1】

1.在①2x+3y-l；②1+7=15-8+1；（3）1-^x=x+l④x+2y=3中方程有（）個.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：①2%+3丁-1,沒有“="，不是方程；

@1+7=15-8+1,沒有未知數(shù)，不是方程；

（3）1--i-x=jc+l,是方程；

④x+2y=3,是方程.

故選：B.

【即學(xué)即練2】

2.下列各式中，不是方程的是（）

A.。=0B.2x+3

C.2x+l=5D.2（x+1）=2x+2

【解答】解：根據(jù)方程的定義可知，4、C、。都是方程，5不是方程,

故選：B.

知識點02方程的解

1.方程的解的概念:

使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。方程有可能不止一個解，也有可能

無解。

題型考點：①判斷某數(shù)是某方程的解。②根據(jù)解的定義求值。

【即學(xué)即練1】

3.下列方程的解是x=2的方程是（）

A.4x+8=0B.-L+2=oC.Zx=2D.1-3x=5

333

【解答】解：把x=2代入各方程驗證可得出x=2是方程-1+2=0的解.

33

故選：B.

【即學(xué)即練2】

4.若x=-1是方程2x+m-6=0的解，則m的值是（）

A.-4B.4C.-8D.8

【解答】解：

把％=-1代入方程2x+m-6=0

可得：2X（-1）+m-6=0,

解得：加=8,

故選：D.

【即學(xué)即練3】

5.已知x=1是關(guān)于x的方程3x3-2X2+X-4+a=0的解，貝!I3a3-Icr+a-4的值是（

A.1B.-1C.16D.14

【解答】解：是關(guān)于x的方程3x3-2X2+X-4+a=0的解,

.*?3-2+1-4+a=0,

解得，a=2,

：.3a3-2a2+a-4=3X23-2X22+2-4=14.

故選：D.

知識點03—兀一次方程

1.一元一次方程的概念：

只含有1個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程。

2.一元一次方程的一般形式：

一元一次方程的一般形式為ax+6=0（a=0）或依=6仿=0）。由一般形式可知，含未知數(shù)的

項的系數(shù)不能等于0。在判斷方程是否為一元一次方程時，先化其形式，在進行判斷。

題型考點：①根據(jù)定義判定一元一次方程。②根據(jù)一元一次方程的定義求值。

【即學(xué)即練11

6.下列方程中是一元一次方程的是（）

A.—=|2B.2xy=5C.x=2x+3D.—x+y=—

y35

【解答】解：/項中分母含有未知數(shù)，方程左邊不是整式，錯誤；

8項中含有兩個未知數(shù)，錯誤；

C選項正確；

。項中含有兩個未知數(shù)，錯誤.

故選：C.

7.下列方程中，一元一次方程共有（）個

①4x-3=5x-2；②3x-4v；③3x+l=工；④^11-+工=0；（5）X2+3X+1=0；⑥x-1=12.

x45

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：①4x-3=5x-2,是一元一次方程，符合題意；

@3x-4y,不符合一元一次方程的定義，不合題意；

③%+1=工，是分式方程，不合題意；

X

④紀工+工=0,是一元一次方程，符合題意；

45

⑤/+3%+1=0,是一元二次方程，不合題意；

⑥x-1=12,是一元一次方程，符合題意.

故選：c.

【即學(xué)即練2】

8.若（冽-2）》憶祖-3|=6是一元一次方程，則冽等于（）

A.1B.2C.1或2D.任何數(shù)

【解答】解：根據(jù)一元一次方程的特點可得°,

l2m-3=±l

解得m=\.

故選：A.

9.如果（4-冽），加「3-16=0是關(guān)于x的一元一次方程，那么加的值為（）

A.±4B.4C.2D.-4

【解答】解：???（4-加）例-3-16=0是關(guān)于x的一元一次方程，

，|加|-3=1且冽-4W0,

解得m—~4.

故選：D.

知識點04一元一次方程的解

1.一元一次方程的解得概念：

使一元一次方程等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元一次方程的解。一元一次方程只有一

個解。

題型考點：①判斷一元一次方程的解。②根據(jù)一元一次方程的解求值。

【即學(xué)即練1】

10.下列方程中解是x=2的方程是（）

A.3x+6=0B.-2x+4=0C.4j-x=2D.2x+4=0

【解答】解：A.將x=2代入3x+6=0,可得6+6=12W0,

故/不符合題意；

B.將x=2代入-2x+4=0,可得-4+4=0,

故3符合題意；

C.將x=2代入/>x=2，可得￡X2=1W2,

故C不符合題意；

D.將x=2代入2x+4=0,可得4+4=8W0,

故。不符合題意；

故選：B.

【即學(xué)即練2】

11.若x=4是方程辦-3=4x+l的解，則Q的值為（）

A.5B.3C.-3D.1

【解答】解：把x=4代入方程ox-3=4x+l,

得：4。-3=4義4+1,

解得：〃=5,故力正確.

故選：A.

【即學(xué)即練3】

12.關(guān)于x的一元一次方程2%42+〃=4的解是％=1,貝!J加+〃的值是（）

A.4B.5C.6D.7

【解答】解：?.?關(guān)于x的一元一次方程2x^2+九=4的解是％=1,

.fm-2=l

，

*l2Xl+n=4

解得：（m=3,

ln=2

:.加+〃=3+2=5.

故選：B.

知識點05等式的基本性質(zhì)

1.等式的基本性質(zhì)：

性質(zhì)1：等式左右兩邊同時加上（減去）同一個數(shù)（式子），等式仍然成立。

性質(zhì)2：等式左右兩邊同時乘同一個的數(shù)（式子）或同時除以同一個不為0的數(shù)（式子），等

式仍然成立。

性質(zhì)3：對稱性：a=b,則b=a。

性質(zhì)4：傳遞性：a=b,b=c,則a=c。又稱等量代換。

題型考點：①利用等式的基本性質(zhì)變形。②利用等式的基本性質(zhì)解簡單的方程。

【即學(xué)即練1】

13.下列運用等式性質(zhì)進行的變形，正確的是（）

A.如果a+5=5-6,那么a=6B.若包工，則。=6

CC

C.若2x=2a-b,貝!]x=a-6D.若/=6x,貝x=6

【解答】解：若包四,

則c#0,

貝!]—?c=—?*c，

cc

故選：B.

【即學(xué)即練2】

14.下列變形錯誤的是()

A.由x+7=5得x+7-7=5-7

B.由3x-2=2x+l得x=3

C.由-2x=3得x=--

3

D.由4-3x=4x-3得4+3=4x+3x

【解答】解：A.,??x+7=5,

，x+7-7=5-7,故本選項不符合題意;

B.*.*3x~2—2x+l9

**?3x-2x=1+2,

.,.x=3,故本選項不符合題意；

C.V-2x=3,

.?.x=-3,故本選項符合題意；

2

D.：4-3x=4x-3,

；.4+3=4x+3x,故本選項不符合題意；

故選：C.

【即學(xué)即練3】

15.用等式性質(zhì)解下列方程：

(I)4x-7=13

(2)3x+2=x+1.

【解答】解：⑴4r7=13

移項得：4x=20,

方程兩邊同時除以4得：

x=5；

(2)3x+2=x+l

移項得：3x_x=-2+1,

合并同類項得：

2x=-1,

解得：％=-—.

2

題型精講

題型01方程與一元一次方程的判斷

【典例1】

下列各式中，是方程的個數(shù)為（）

①x=0；②3x-5=2x+l；③2x+6；④x-y=0；⑤工=5y+3；（6）a2+a-6=0.

2

A.2個B.3個C.5個D.4個

【解答】解：①、②、④、⑤、⑥是方程，符合題意；

③不是等式，故不是方程，不符合題意；

故選：C.

【典例2】

下列各式中：①2x7=5；②4+8=12；③5y+8；④2x+3y=0；⑤2a+l=l；⑥笈2-5x-1.是方程的是

（）

A.①④B.①②⑤C.①④⑤D.①②④⑤

【解答】解：①2x-1=5符合方程的定義，故本小題符合題意；

②4+8=12不含有未知數(shù)，不是方程，故本小題不合題意；

③5y+8不是等式，故本小題不合題意；

④2x+3y=0符合方程的定義，故本小題符合題意；

⑤2a+l=l符合方程的定義，故本小題符合題意；

⑥2x2,5x-1不是等式，故本小題不合題意.

故選：C.

【典例3】

下列方程是一元一次方程的個數(shù)是（）

①x+y=l,②x-l=3,③2/=1,④5x+5=-1,⑤刈=10,⑥2x+4=0,⑦x=0

A.3個B.4個C.5個D.6個

【解答】解：①x+y=l是二元一次方程的定義，不是一元一次方程；

②x-1=3符合一元一次方程的定義，是一元一次方程；

③2/=1屬于一元二次方程，不是一元一次方程；

④5x+5=-1符合一元一次方程的定義，是一元一次方程；

⑤9=10屬于二元二次方程，不是一元一次方程；

⑥2x+4=0符合一元一次方程的定義，是一元一次方程.

⑦x=0符合一元一次方程的定義，是一元一次方程.

是一元一次方程的個數(shù)是4個，

故選：B.

【典例4】

已知下列方程：①x-2=t；②0.3X=1;③2=5X+1；④，-4X=3；⑤X=6；⑥x+2y=0.其中一元一

x2

次方程的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：①x-2=Z是分式方程，故①不符合題意；

X

②0.3尤=1,即0.3x-l=0,符合一元一次方程的定義.故②符合題意；

'=5x+l，即9X+2=0,符合一元一次方程的定義?故③符合題意；

④--4x=3的未知數(shù)的最高次數(shù)是2,它屬于一元二次方程.故④不符合題意；

⑤x=6,即x-6=0,符合一元一次方程的定義.故⑤符合題意；

⑥x+2y=0中含有2個未知數(shù)，屬于二元一次方程.故⑥不符合題意.

綜上所述，一元一次方程的個數(shù)是3個.

故選：B.

題型02根據(jù)一元一次方程的定義求值

【典例1】

若方程（…）1=5是關(guān)于x的一元一次方程，則a的值為（）

A.±1B.2C.±2D.-1

【解答】解：由題意，得

同=1且a-1W0,

解得a=-\,

故選：D.

【典例2】

若關(guān)于x的方程2/一1+3=0是一元一次方程，則加的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【解答】解：根據(jù)題意得：

m-1=1,

解得：m=2.

故選：D.

【典例3】

若方程1）小Y=3是關(guān)于X的一元一次方程，則人是（）

A.1B.2C.-1D.3

【解答】解：：1）小飛=3是關(guān)于x的一元一次方程,

1#0且應(yīng)-2|=1,

解得：k=3.

故選：D.

【典例4】

已知方程（I-w）通創(chuàng)一49=0是關(guān)于x的一元一次方程，則加的值為（）

A.1B.-1C.—D.0

2

【解答】解：由（1-%）/@1+9=0是關(guān)于x的一元一次方程，得

|2加|-1=1且1-mW0.

解得m=-1.

故選：B.

題型03方程的解與一元一次方程的解的判斷

【典例1】

下列方程中，以》=-1.5為解的方程是（）

A.2x=3B.3x=x+3C.x=3x+3D.x=3x-3

【解答】解：A,把x=-1.5代入方程得：左邊=-3力右邊，則不是方程的解，選項錯誤；

B、把x=-1.5代入方程，得左邊=-4.5,右邊=1.5,則左邊/右邊，不是方程的解，選項錯誤；

。、把x=-1.5代入，左邊=-1.5,右邊=-1.5,左邊=右邊，是方程的解，選項正確；

D、把x=-1.5代入，左邊=7.5,右邊=-4.5-3=-7.5,左邊W右邊，則不是方程的解，選項錯誤.

故選：C.

【典例2】

下列方程中，解為x=2的是（）

A.2x=6B.（x-3）（x+2）=0

C.X2=3D.3X-6=0

【解答】解：/、把x=2代入，左邊=4W右邊，則不是方程的解，選項錯誤；

B、把x=2代入方程，左邊=-4#右邊，則不是方程的解，選項錯誤：

C、把x=2代入方程，左邊=4/右邊，則不是方程的解，選項錯誤；

D、把尤=2代入方程，左邊=0=右邊，則是方程的解，選項正確.

故選：D.

【典例3】

下列方程中，解是x=-3的是()

A.2x+6=1B.3x-8=1C.3x-1=0D.-2x-6=0

【解答】解：A.2X(-3)+6=OW1,故不符合題意;

B.3X(-3)-8=-17Wl,故不符合題意;

C.3X(-3)-1=-10^0,故不符合題意;

D.-2X(-3)-6=0,故符合題意；

故選：D.

【典例4】

下列方程中，解為x=2的是()

-工+工=

A.3x+6=0B.3-2x=0C..lx-iD.0

242

【解答】解：/、將x=2代入3x+6=0,左邊=12W右邊=0,故本選項不合題意;

B、將x=2代入3-2x=0,左邊=-1=右邊=0,故本選項不合題意；

C＞將％=2代入［x=L左邊=-lW右邊=1,故本選項不合題意；

D、將x=2代入」左邊=0W右邊=0,故本選項符合題意.

42

故選：D.

題型04根據(jù)方程的解求值

【典例1】

已知x=2是關(guān)于x的方程3x+q=0的一個解，則a的值是()

A.-6B.-3C.-4D.-5

【解答】解：把％=2代入方程得：6+q=0,

解得：a=-6.

故選：A.

【典例2】

已知x=5是方程ax-8=20+〃的解，則a的值是()

A.2B.3C.7D.8

【解答】解：把x=5代入方程辦-8=20+。，

得：5a-8=20+。，

解得：a=7,

故選：C.

【典例3】

若x=l是關(guān)于x的一元一次方程辦-b-2=0（qWO）的一個根，則a-b的值等于（）

A.2B.1C.0D.3

【解答】解：把x=l代入方程得："6-2=0,

貝！Ja-b=2,

故選：A.

【典例4】

若x=2是關(guān)于x的一元一次方程mx+n=3的解，則代數(shù)式6冽+3〃-2的值是（）

A.2B.3C.7D.9

【解答】解：把％=2代入方程可得2冽+幾=3,

6m+3n-2

=3（2加+〃）-2

=3X3-2

=7.

故選：C.

題型05利用等式的基本性質(zhì)變形

【典例1】

下列利用等式的性質(zhì)，錯誤的是（）

A.由a=b,得至Ijl-q=l-bB.由包=2，得到a=6

22

C.由a=b,得到ac=bcD.由ac=bc,得至!Ja=b

【解答】解：當(dāng)。=0時，ac=bc=O,

但a不一定等于b

故。錯誤

故選：D.

【典例2】

下列變形中，不正確的是（）

A.若a-3=6-3,則a=bB.若包四，貝!|a=b

CC

C.若a=6,則D.若ac=bc,貝!Ja=b

c+lC+1

【解答】解：N選項，等式兩邊都加3,故該選項不符合題意；

8選項，：cWO,

???等式兩邊都乘c,故該選項不符合題意；

C選項，Vc2+l>0,

???等式兩邊都除以（d+l）,故該選項不符合題意；

。選項，題中沒有說cWO,等式兩邊不能都除以c,故該選項符合題意;

故選：D.

【典例3】

下列運用等式的性質(zhì)，變形不正確的是（）

A.若I="貝!]x+5=y+5B.若％=乃則三=工

aa

C.若％=乃則l-3x=l-3yD.若a=b,貝!JQC=6C

【解答】解：/、若x=y,貝！Jx+5=y+5,正確，不合題意；

B、若x=?則三=工，〃W0,故此選項錯誤，符合題意；

aa

C、若工=乃則l-3x=l-3y,正確，不合題意；

D、若a=b,則ac=6c,正確，不合題意.

故選：B.

【典例4】

下列運用等式的性質(zhì)進行的變形，錯誤的是（）

A.如果x+2=y+2,貝ljx=yB.如果x=y,貝

-2-2

C.如果加工=叼，貝！Jx=yD.如果區(qū)貝1Jx=y

mm

【解答】解：4、如果x+2=y+2,貝l」x=y,故4不符合題意；

B、如果x=?則工=工，故5不符合題意；

-2-2

C、如果冽X=叼（冽W0）,則x=y,故。符合題意;

D、如果三二，則x=y,故。不符合題意；

mm

故選：C.

題型06利用等式的性質(zhì)解方程

【典例1】

利用等式的性質(zhì)解方程：

（1）5+x=-2

（2）3x+6=31-2x.

【解答】（1）5+x=-2

5+x-5=-2-5

x=-7；

(2)3x+6=31-2x

3x+6+2x-6-31-2x+2x-6

5x=25

x=5.

【典例2】

利用等式的性質(zhì)解方程：

(1)5-x=-2

(2)3x-6=-31-lx.

【解答】解：(1)兩邊都減5,得-x=-7,

兩邊都除以-I,得

x=7；

(2)兩邊都加(2x+6),得

5x=-25,

兩邊都除以5,得

X--5.

【典例3】

利用等式性質(zhì)解方程

①--X-5=4

3

②4x-2=2.

【解答】①解：兩邊同時加5得，

--X-5+5=4+5,

3

兩邊同時乘以-3得，

-Lx(-3)=9X(-3),

3

即x=-27；

②解：兩邊同時加2得，

4x-2+2=2+2,

即4x=4,

兩邊同時除以4得，

4x4-4=44-4,

即x=\.

強化訓(xùn)練

1.下列各式中，屬于方程的是（）

A.6+（-2）=4B.—x-2C.7尤>5D.2x-1=5

5

【解答】解：4、6+（-2）=4不含未知數(shù)，不是方程，不符合題意；

B、2不是等式，故不是方程，不符合題意；

5

C、7x>5不是等式，故不是方程，不符合題意；

D、2x-1=5是含有未知數(shù)的等式，是方程，符合題意.

故選：D.

2.下列所給條件，不能列出方程的是（）

A.某數(shù)比它的平方小6

B.某數(shù)加上3,再乘以2等于14

C.某數(shù)與它的工的差

2

D.某數(shù)的3倍與7的和等于29

【解答】解：設(shè)某數(shù)為X,

/、f-x=6,是方程，故本選項錯誤；

B、2（x+3）=14,是方程，故本選項錯誤；

C、x-L,不是方程，故本選項正確；

2

D、3x+7=29,是方程，故本選項錯誤.

故選：C.

3.若x=2是方程4x+2m-14=0的解，則加的值為（）

A.10B.4C.3D.-3

【解答】解：把x=2代入4x+2冽-14=0,得

4X2+2冽-14=0,

解得m=3.

故選：C.

4.已知方程（〃-2）/。+6=0是關(guān)于x的一元一次方程，則Q的值為（

A.±2B.-2C.1D.2

【解答】解：由題意，得

同-1=1且a-2W0,

解得a=-2,

故選：B.

5.小麗同學(xué)在做作業(yè)時，不小心將方程2(x-3)--=x+l中的一個常數(shù)污染了，在詢問老師后，老師

告訴她方程的解是x=9,請問這個被污染的常數(shù)■是()

A.4B.3C.2D.1

【解答】解：把x—9代入2(x-3)-■—x+1,得

2X(9-3)--=9+1,

解得?=2；

故選：C.

6.小李在解方程5a-x=13(x為未知數(shù))時，誤將-x看作+x,得方程的解為x=-2,則原方程的解為()

A.x=0B.x=lC.x=2D.x=3

【解答】解：由題意得，5a-2=13,

解得，。=3,

...原方程為15-x=13,

解得，x=2；

故選：C.

7.下列變形中，正確的是()

A.若5x-6=7,貝U5x=7-6

B.若-3x=5,則

5

C.若5x-3=4x+2,則5x-4x=2+3

2

D.若562-3c2-(3廬-3。2)+c+2016abc,貝1J2(x-1)+3(x+1)=1

【解答】解：/、若5x-6=7,貝!j5x=7+6,故此選項錯誤.

B、若-3x=5,則乂=苴，故此選項錯誤.

3

C、5x-3=4x+2,貝U5x-4x=2+3,正確.

D、5b2-3c2-(3b2-3c2)+c2+2016abc,則2(x-1)+3(x+1)=6,故此選項錯誤.

故選：C.

8.下列運用等式的性質(zhì)對等式進行的變形中，錯誤的是()

A.若。=兒則與=今

JJ

B.若a=b,則QC=6C

C.若〃(/+1)=b(x2+l),則a=b

D.若x=?貝!Jx-3=y-3

【解答】解：A.若a=6,cWO,則號=與，所以N選項符合題意；

CC

B.若a=b,則qc=6c,所以3選項不符合題意；

。.若q（/+1）=b（x2+l）,則a=b,所以。選項不符合題意；

D.若x=y,則x-3=y-3,所以。選項不符合題意；

故選：A.

9.寫出一個解為％=3的方程：.

【解答】解：,??方程的解為x=3,

方程為x-3=0,

故答案為：x-3=0（答案不唯一）.

10.已知（4-3）由「2_5=8是關(guān)于x的一元一次方程，則。的值為.

【解答】解：根據(jù)題意得：

\a\-2=1,

解得〃=3或〃=-3,

因為a-3W0,

所以a豐3,

綜上可知：a=-3.

故答案為：-3.

11.已知5a+8b=3b+10,利用等式性質(zhì)可求得Q+6+I=.

【解答】解：5^+86=36+10,

5a+86-3b=3b-36+10,

5。+56=10,

5（。+6）=10,

a+6=2,

「?a+b+1=2+1=3.

故答案為：3.

12.已知x=l是關(guān)于x的方程3x-m=x+2”的解，則式子■jmfn+2022的值為

【解答】解：是關(guān)于x的方程3x-m=x+2n的解，

?'?3-加=1+2〃,

貝?。菁?2〃=2,

??1'//z+z71,

2

貝I式子1m+n+2022=1+2022=202