山東省泰安市新泰市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE17-山東省泰安市新泰市其次中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題1.下列命題中正確的個(gè)數(shù)有（）①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在始終線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)肯定不同．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，結(jié)合向量的定義依次分析四個(gè)命題，綜合即可得答案．【詳解】對(duì)于①，若向向量與是共線向量，則，或A,，，在同條直線上，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)閱挝幌蛄康哪Ｏ嗟?，但是它們的方向不肯定相同，所以單位向量不肯定相等，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，相等向量的定義是方向相同模相等的向量為相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因?yàn)榱阆蛄康姆较蚴遣淮_定的，可以是隨意方向，所以相等，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，比如共線的向量與(A,B,C在一條直線上)起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)相同，故④錯(cuò)誤.故選：．【點(diǎn)睛】本題考查向量的基本定義和命題的真假推斷，關(guān)鍵是理解向量有關(guān)概念的定義．2.把電影院的4張電影票隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事務(wù)“甲分得4排1號(hào)”與事務(wù)“乙分得4排1號(hào)”是（）A.對(duì)立事務(wù) B.不行能事務(wù) C.互斥但不對(duì)立事務(wù) D.以上答案都不對(duì)【答案】C【解析】【分析】事務(wù)“甲分得4排1號(hào)”與事務(wù)“乙分得4排1號(hào)”不行能同時(shí)發(fā)生，故它們是互斥事務(wù).事務(wù)“甲分得4排1號(hào)”與事務(wù)“乙分得4排1號(hào)”可能都不發(fā)生，故它們不是對(duì)立事務(wù).【詳解】由題意知，事務(wù)“甲分得4排1號(hào)”與事務(wù)“乙分得4排1號(hào)”不行能同時(shí)發(fā)生.由互斥事務(wù)的定義可知，它們是互斥事務(wù).又事務(wù)“丙分得4排1號(hào)”與事務(wù)“丁分得4排1號(hào)”其中一個(gè)可能發(fā)生，即事務(wù)“甲分得4排1號(hào)”與事務(wù)“乙分得4排1號(hào)”可能都不發(fā)生.由對(duì)立事務(wù)的定義知，它們不是對(duì)立事務(wù).故選：.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.3.如圖，已知＝，用，表示，則等于()A.－ B.＋ C.－＋ D.－－【答案】C【解析】＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，選C.4.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采納隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15【答案】B【解析】【分析】已知三次投籃共有20種，再得到恰有兩次命中的事務(wù)的種數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解.【詳解】三次投籃共有20種，恰有兩次命中的事務(wù)有：191，271，932，812，393，有5種∴該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考古典概型的概率求法，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5.一梯形的直觀圖是如圖的等腰梯形，且直觀圖的面積為2，則原梯形的面積為（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)，可求出原梯形的面積.【詳解】由斜二測(cè)畫(huà)法知，，又，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查斜二測(cè)畫(huà)法，屬于基礎(chǔ)題.6.一組數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為1，標(biāo)準(zhǔn)差為2，則數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是（）A.，4 B.， C.2，4 D.2，【答案】A【解析】【分析】依據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】由題意知，，，，，…，的平均數(shù)為.數(shù)據(jù)，，，…，標(biāo)準(zhǔn)差為2，,，，，…，的方差為，，即數(shù)據(jù)，，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為4.故選：【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，屬于基礎(chǔ)題.7.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)珍寶，其第五卷商功中有如下問(wèn)題：“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無(wú)深，袤七尺，問(wèn)積幾何？”翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)就是：今有三面皆為等腰梯形，其他兩側(cè)面為直角三角形的五面體的隧道，前端下寬尺，上寬一丈，深尺，末端寬尺，無(wú)深，長(zhǎng)尺（注：一丈十尺）．則該五面體的體積為（）A.立方尺 B.立方尺 C.立方尺 D.立方尺【答案】C【解析】【分析】如圖，在，上取，，使得，連接，，，，，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖，，上取，，使得，連接，，，，故多面體的體積，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和空間想象實(shí)力.8.已知點(diǎn)在平面中，且，則點(diǎn)是的（）A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心【答案】D【解析】【分析】由數(shù)量積的定義可知，兩向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù).由題意得，，，.依據(jù)數(shù)量積的定義，化簡(jiǎn)這3個(gè)等式，即得點(diǎn)的位置.【詳解】由數(shù)量積的定義可知，兩向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù).，，，.當(dāng)時(shí)，如圖所示即，，點(diǎn)在的內(nèi)角的角平分線上.同理，點(diǎn)在的內(nèi)角的角平分線上，點(diǎn)在的內(nèi)角的角平分線上.點(diǎn)是的內(nèi)心.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，屬于中檔題.二、多選題（每小題5分，共4小題20分）9.一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（）A.圓柱的側(cè)面積為 B.圓錐的側(cè)面積為C.圓柱的側(cè)面積與球面面積相等 D.圓錐的表面積最小【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)圓柱、圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式，球的表面積計(jì)算公式，對(duì)選項(xiàng)逐一推斷，即得答案.【詳解】由題意可得，圓柱、圓錐的底面半徑均為，高均為，球的半徑為.則圓柱的側(cè)面積為，故錯(cuò)誤.圓錐的側(cè)面積為，故錯(cuò)誤.球的表面積為圓柱的側(cè)面積與球面面積相等，故正確.圓錐表面積為，圓柱的表面積為，球的表面積為圓錐的表面積最小，故正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查圓柱、圓錐、球的側(cè)面積和表面積的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.10.下列結(jié)論正確的是（）A.若向量，共線，則向量，的方向相同B.中，D是中點(diǎn)，則C.向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上D.若，則，使【答案】B【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量的線性運(yùn)算和共線定理，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析推斷即可.【詳解】對(duì)于A，與的方向相同或相反，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由向量的中點(diǎn)公式，可知是正確的；對(duì)于C，A，B，C，D不肯定在一條直線上，如的四個(gè)頂點(diǎn)；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，不肯定存在，使，所以D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)平面對(duì)量的線性運(yùn)算和共線定理的理解及應(yīng)用，屬于?？碱}.11.是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，我國(guó)采納世衛(wèi)組織的最寬值限定值，即日均值在以下空氣質(zhì)量為一級(jí)，在空氣量為二級(jí)，超過(guò)為超標(biāo)．如圖是某地12月1日至10日的（單位：)的日均值，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.這天中有天空氣質(zhì)量為一級(jí)B.從日到日日均值漸漸降低C.這天中日均值的中位數(shù)是D.這天中日均值最高的是月日【答案】C【解析】【分析】仔細(xì)視察題中所給的折線圖，比照選項(xiàng)逐一分析，求得結(jié)果.【詳解】這10天中第一天，第三天和第四天共3天空氣質(zhì)量為一級(jí)，所以A正確；從圖可知從日到日日均值漸漸降低，所以B正確；從圖可知，這天中日均值最高的是月日，所以D正確；由圖可知，這天中日均值的中位數(shù)是，所以C不正確；故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)利用題中所給的折線圖，描述對(duì)應(yīng)變量所滿(mǎn)意的特征，在解題的過(guò)程中，須要逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.12.設(shè)、表示不同直線，、表示不同平面，則下列結(jié)論中正確的是（）．A.若，，則B.若，，，，則C.、是兩條異面直線，若，，，．則．D.若，，，，則【答案】CD【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)逐一分析：項(xiàng)，有可能.項(xiàng)，當(dāng)與相交，且直線都平行于與的交線時(shí)，也符合條件.項(xiàng)，設(shè)直線，且，直線與確定的平面為，可證，故.項(xiàng)，易知或.分或兩種狀況推斷與的位置關(guān)系，即得答案.【詳解】項(xiàng)，若，，則或，故錯(cuò)誤.項(xiàng)，當(dāng)與相交，且直線都平行于與的交線時(shí)，也符合條件，故錯(cuò)誤.項(xiàng)，設(shè)直線，且，直線與確定的平面為.由題意.，又.同理，.故正確.項(xiàng)，或.若，過(guò)作平面交于直線，則.，又.若，.故正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面、面面的位置關(guān)系，屬于中檔題.三、填空題（每小題5分，共4小題20分）13.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，z的共軛復(fù)數(shù)為，則________.【答案】1.【解析】【分析】先通過(guò)除法，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再計(jì)算其共軛復(fù)數(shù)，用乘法計(jì)算結(jié)果.【詳解】由題可知，所以，所以.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、乘法以及共軛復(fù)數(shù)的求解.14.已知，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__.【答案】【解析】【分析】由與的夾角為銳角，設(shè)為θ，則0＜cosθ＜1，由兩個(gè)向量的夾角公式求出cosθ的解析式，代入不等式求解．【詳解】∵與的夾角為銳角，設(shè)為θ，則0＜cosθ＜1，又cosθ＝，∴0＜＜1，∴λ＜1且4﹣8λ+4λ2＜20+5λ2，即λ＜1且λ≠﹣4.故答案為λ＜1且λ≠﹣4．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積和兩個(gè)向量的夾角公式，當(dāng)兩個(gè)向量的夾角為銳角時(shí)，夾角的余弦值大于0且小于1，屬于基礎(chǔ)題．15.如圖所示，一艘海輪從A處動(dòng)身，測(cè)得燈塔在海輪的北偏東15°方向，與海輪相距20海里的B處，海輪按北偏西60°的方向航行了30分鐘后到達(dá)C處，又測(cè)得燈塔在海輪的北偏東75°的方向，則海輪的速度為_(kāi)_______海里/分．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題中所給角度求出三角形ABC中的三個(gè)內(nèi)角大小，再由正弦定理即可得解.【詳解】由已知得由正弦定理可得，所以海輪的速度為海里/分．故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)力．16.如圖，在中，，，，則的值為．【答案】【解析】試題分析：考點(diǎn)：向量數(shù)量積四、解答題17.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）.（1）若，求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)；（2）若是關(guān)于的方程一個(gè)虛根，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）2．【解析】分析：（1）因?yàn)?，所以，求出，即可得到的共軛?fù)數(shù)；（2）將代入方程，依據(jù)復(fù)數(shù)相等可求求實(shí)數(shù)的值.詳解：（1）因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.（2）因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)虛根，所以，即.又因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以.點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等的充要條件、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．18.已知中，，，，BC邊上的高為AD.（1）求證：；（2）求點(diǎn)D和向量的坐標(biāo)；（3）設(shè)，求.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）D點(diǎn)坐標(biāo)為，；（3）.【解析】【分析】（1）計(jì)算可得；（2）由及共得點(diǎn)坐標(biāo)，再得向量；（3）由計(jì)算可得．【詳解】（1）證明：，.，，即.（2）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為，則，又，，.①又，而與共線，，②由①②解得，，故D點(diǎn)坐標(biāo)為，.（3），，.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，考查向量平行的坐標(biāo)表示，考查求向量的夾角問(wèn)題．依據(jù)題設(shè)條件，利用向量的夾角公式或相關(guān)學(xué)問(wèn)構(gòu)建方程（或方程組），把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，用方程思想求向量坐標(biāo).同時(shí)要留意轉(zhuǎn)化的細(xì)微環(huán)節(jié)，如本題中的第（3）問(wèn)，必需是向量與向量的坐標(biāo)，有的同學(xué)不當(dāng)心用和的坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算而導(dǎo)致錯(cuò)誤.19.2017年10月18日至10月24日，中國(guó)共產(chǎn)黨第十九次全國(guó)代表大會(huì)簡(jiǎn)稱(chēng)黨的“十九大”在北京召開(kāi)一段時(shí)間后，某單位就“十九大”精神的領(lǐng)悟程度隨機(jī)抽取100名員工進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，調(diào)查問(wèn)卷共有20個(gè)問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題5分，調(diào)查結(jié)束后，發(fā)覺(jué)這100名員工的成果都在內(nèi)，按成果分成5組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知甲、乙、丙分別在第3，4，5組，現(xiàn)在用分層抽樣的方法在第3，4，5組共選取6人對(duì)“十九大”精神作深化學(xué)習(xí)．求這100人的平均得分同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表；求第3，4，5組分別選取作深化學(xué)習(xí)的人數(shù)；若甲、乙、丙都被選取對(duì)“十九大”精神作深化學(xué)習(xí)，之后要從這6人隨機(jī)選取2人再全面考查他們對(duì)“十九大”精神的領(lǐng)悟程度，求甲、乙、丙這3人至多有一人被選取的概率．【答案】（1）87.25；（2）3，2，；（3）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出這100人的平均得分（2）第3組的人數(shù)為30，第4組的人數(shù)為20，第5組的人數(shù)為10，用分層抽樣能求出在這三個(gè)組選取的人數(shù)（3）記其他人為甲、乙、丙、丁、戊、己，從這6人隨機(jī)選取2人，利用列舉法能寫(xiě)出甲、乙、丙這3人至多有一人被選取的概率.【詳解】這100人的平均得分為：.第3組的人數(shù)為，第4組的人數(shù)為，第5組的人數(shù)為，故共有60人，用分層抽樣在這三個(gè)組選取的人數(shù)分別為：3，2，記其他人為甲、乙、丙、丁、戊、己，則全部選取的結(jié)果為甲、乙、甲、丙、甲、丁、甲、戊、甲、己、乙、丙、乙、丁、乙、戊、乙、己

、丙、丁、丙、戊、丙、己、丁、戊、丁、己

、戊、己共15種狀況，其中甲、乙、丙這3人至多有一人被選取有12種狀況，故甲、乙、丙這3人至多有一人被選取的概率為【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖，分層抽樣，古典概率，屬于中檔題.20.設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量.（1）若，求證：三點(diǎn)共線；（2）若與共線，求實(shí)數(shù)的值；（3）若，且三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.（3）.【解析】【分析】（1）利用向量的加法運(yùn)算得，再利用共線向量定理得三點(diǎn)共線；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得，從而得到關(guān)于的方程組；（3）由三點(diǎn)共線得與共線，設(shè)，即，從而得到關(guān)于的方程組?！驹斀狻孔C明：（1），所以.又因?yàn)闉楣颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線