2024-2025學年高中數(shù)學第六章導數(shù)及其應用測評課后習題含解析新人教B版選擇性必修第三冊

第六章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.假如物體的運動方程為s(t)=1t+2t(t>1),其中s的單位是米,t的單位是秒,那么物體在2秒末的瞬時速度是()A.74米/秒 B.94米C.32米/秒 D.52米解析∵s(t)=1t+2t,∴s'(t)=-1t2+2.故物體在2秒末的瞬時速度s'(2)=-14+2=74(答案A2.若函數(shù)f(x)=13x3-f'(1)·x2-x,則f'(1)的值為()A.0 B.2 C.1 D.-1解析∵f(x)=13x3-f'(1)·x2-x∴f'(x)=x2-2f'(1)·x-1,∴f'(1)=1-2f'(1)-1,∴f'(1)=0.答案A3.已知函數(shù)f(x)=x4+ax2+1,若曲線y=f(x)在點(-1,a+2)處切線的斜率為8,則a=()A.9 B.6 C.-9 D.-6解析f'(x)=4x3+2ax,由題意,知f'(-1)=-4-2a=8,∴a=-6.故選D.答案D4.函數(shù)f(x)=exsinx在區(qū)間0,π2上的值域為A.[0,eπ2] B.(0,C.[0,eπ2) D.(0,解析f'(x)=ex(sinx+cosx).∵x∈0,π2,f'(x∴f(x)在0,π∴f(x)min=f(0)=0,f(x)max=fπ2答案A5.(2024周口中英文學校高二月考)已知函數(shù)f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2處有極值,則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間是()A.(2,3) B.(3,+∞)C.(2,+∞) D.(-∞,3)解析f'(x)=6x2+2ax+36.因為f(x)在x=2處有極值,所以f'(2)=0,解得a=-15.令f'(x)>0,得x>3或x<2.所以從選項看函數(shù)的一個遞增區(qū)間是(3,+∞).答案B6.若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點,則f(x)的微小值為()A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1解析f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1]·ex-1,則f'(-2)=[4-2(a+2)+a-1]·e-3=0,解得a=-1,則f(x)=(x2-x-1)·ex-1,f'(x)=(x2+x-2)·ex-1,令f'(x)=0,得x=-2或x=1,當x<-2或x>1時,f'(x)>0,當-2<x<1時,f'(x)<0,則f(x)微小值為f(1)=-1.答案A7.設(shè)函數(shù)f(x)=13x-lnx(x>0),則y=f(x)(A.在區(qū)間1e,B.在區(qū)間1e,C.在區(qū)間1e,1內(nèi)有零點,D.在區(qū)間1e,1內(nèi)無零點,解析f'(x)=13-1x=x-33x,令f'(x)=0,得x=3,當0<x<3時,f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上為減函數(shù).又f(1)=13>0,f(e)=e3-1<0,f1e=13e+答案D8.(2024山西高二月考)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x<0時,xf'(x)-f'(x)<0,且f(-3)=0,則不等式f(x)x>0A.(-∞,-3)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(0,3)C.(-3,3) D.(-3,0)∪(3,+∞)解析設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)x,則g'(x當x<0時,xf'(x)-f(x)<0,所以此時g'(x)=xf'(x)-f(x)x2又函數(shù)g(x)=f(x所以函數(shù)g(x)在x>0時單調(diào)遞減,且f(3)=0.畫出函數(shù)g(x)=f(x)x則不等式f(x)x>0的解集為0<x<3即不等式的解集為(-∞,-3)∪(0,3).答案B二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分.9.(2024山東高二期中)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-3x+23,點P是曲線y=f(x)上的隨意一點,P點處的切線的傾斜角為α,則角α的取值范圍包含下列哪些(A.2π3,C.0,π2解析f'(x)=ex-3>-3.設(shè)切線的傾斜角為α,則tanα>-3,故可得α∈0,故選CD.答案CD10.(2024福建連城第一中學高二期中)如圖是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f'(x)的圖像,則下面推斷正確的有()A.在(-2,1)上f(x)是增函數(shù)B.在(3,4)上f(x)是減函數(shù)C.在x=-1處取得微小值D.在x=1處取得極大值解析依據(jù)導函數(shù)的正負,得到原函數(shù)的增減性,由圖可得如下數(shù)據(jù):x(-3,-1)-1(-1,2)2(2,4)4(4,+∞)f'(x)-0+0-0+f(x)↘微小值↗極大值↘微小值↗在(3,4)上f(x)是減函數(shù),在x=-1處取得微小值.正確的有BC.答案BC11.(2024福建連城第一中學高二期中)已知函數(shù)f(x)=x2+x-1A.函數(shù)f(x)存在兩個不同的零點B.函數(shù)f(x)既存在極大值又存在微小值C.當-e<k<0時,方程f(x)=k有且只有兩個實根D.若x∈[t,+∞)時,f(x)max=5e2,則t解析由f(x)=0,得x2+x-1=0,解得x=-1±52,所以f'(x)=-x2-x-2ex=-(x+1)(x-2)ex,當f'(x)>0時,-1<x<2,當f'(x)<0時,x<-1或x>2.所以(-∞,-1),(2,+∞)是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,(-1,2)是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,所以當x→+∞時,f(x)→0,依據(jù)B可知,函數(shù)的最小值是f(-1)=-e,再依據(jù)單調(diào)性可知,當-e<k<0時,方程f(x)=k有且只有兩個實根,所以C正確.由圖像可知,t的最大值是2,所以D不正確.故選ABC.答案ABC12.(2024山東省試驗中學高二月考)設(shè)函數(shù)f(x)=exlnx,則下列說法正確的是A.f(x)定義域是(0,+∞)B.x∈(0,1)時,f(x)圖像位于x軸下方C.f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間D.f(x)有且僅有兩個極值點E.f(x)在區(qū)間(1,2)上有最大值解析由題意,函數(shù)f(x)=exlnx滿意x>0,lnx≠0,解得x>0且x≠1,所以函數(shù)f(x)=exlnx的定義域為(0,1)∪(1,+∞),所以A不正確;由f(x)=exlnx,當x∈(0,1)時,lnx<0,∴f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上的圖像都在x軸的下方,所以B正確;因為f'(x)=exlnx-1x(lnx)2>0在定義域上有解,所以函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間,所以C是正確的;由g(x)=lnx-1x,則g'(x)=1x+1x2(x>0),所以g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,則函數(shù)f'(x)=0只有一個根x0,使得f'(x0)=0,當x∈(0,x0)時,f'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,當x∈(x0,+∞)時,函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)只有一個微小值,所以D不正確;由g(x)=lnx-1x,則g'(x)=1x+1x2(x>0),所以g'(x)>0,答案BC三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2024武威第六中學高二月考)已知函數(shù)f(x)=2cosx+3sinx,則f'π3的值為.

解析依題意,得f'(x)=-2sinx+3cosx,故f'π3=-2sinπ3+3cosπ3=-3答案-314.(2024湖南長郡中學高三下學期其次次適應性考試)過曲線y=x3-3x2上一點(2,-4)作曲線的切線,則切線方程為.

解析由題意可得y'=3x2-6x.設(shè)該切線切點為(x0,y0),則切線斜率為3x02-6x0,因此切線方程為y=(3x02-6x0)(x-x0)+y0=(3x02-6x0)(x-x0)又點(2,-4)在切線上,∴(3x02-6x0)(2-x0)+x03-整理,得(2-x0)2(2x0-1)=0,解得x0=2或x0=12代入切線方程,化簡得y=-4或y=-94x+1整理得,y=-4或9x+4y-2=0.答案9x+4y-2=0或y=-415.用長為18cm的鋼條圍成一個長方體形態(tài)的框架,要求長方體的長與寬之比為2∶1,則該長方體的長、寬、高分別為時,其體積最大.

解析設(shè)長、寬、高分別為2x,x,h,則4(2x+x+h)=18,h=92-3x∴V=2x·x·h=2x292-3x=-6x3+9x2,由V'=0,得x=1或x=∴x=1是函數(shù)V在(0,+∞)上唯一的極大值點,也是最大值點,故長、寬、高分別為2cm,1cm,32cm時,體積最大答案2cm,1cm,3216.(2024山東濟南高二期中)若f(x)=mlnx-x3+32x2-4x+4在(2,+∞)上單調(diào)遞減,則實數(shù)m的取值范圍為.解析∵f(x)=mlnx-x3+32x2-4x+4(x>∴f'(x)=mx-3x2+3x-4由于f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞減,即f'(x)≤0在(2,+∞)上恒成立,即mx-3x2+3x-4≤0在(2,+∞)上恒成立則m≤3x3-3x2+4x在(2,+∞)上恒成立,即m≤g(x)min在(2,+∞)上恒成立,設(shè)g(x)=3x3-3x2+4x(x>2),g'(x)=9x2-6x+4,知Δ=36-4×9×4<0,∴x∈(2,+∞)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,∴m≤g(x)min=g(2)=3×23-3×22+4×2=20,∴m≤20,即實數(shù)m的取值范圍為(-∞,20].答案(-∞,20]四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分10分)(2024湖北武漢高二期末)已知函數(shù)f(x)=x33+x(1)求f(x)的遞減區(qū)間;(2)當x∈[-1,1]時,求f(x)的值域.解(1)由函數(shù)f(x)=x33+x2,得f'(x)=x2+2由f'(x)=x2+2x<0,解得x∈(-2,0).即f(x)的遞減區(qū)間為[-2,0].(2)當f'(x)=x2+2x>0,解得x∈(-∞,-2)∪(0,+∞),即f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減,在[0,1]上單調(diào)遞增.所以f(0)≤f(x)≤max{f(-1),f(1)},且f(0)=0,f(-1)=23,f(1)=4故f(x)的值域為0,18.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3處取得極值.(1)求f(x)的解析式;(2)求曲線y=f(x)在點A(1,16)處的切線方程.解(1)f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a.∵f(x)在x=3處取得極值,∴f'(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,解得a=3.∴f(x)=2x3-12x2+18x+8.(2)A點在f(x)上,由(1),可知f'(x)=6x2-24x+18,f'(1)=6-24+18=0,∴切線方程為y=16.19.(本小題滿分12分)(2024廣州育才中學高二月考)已知函數(shù)f(x)=x2-2lnx.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求證:當x>2時,f(x)>3x-4.解(1)依題意,知函數(shù)的定義域為{x|x>0},∵f'(x)=2x-2x由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0<x<1.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為[0,1].(2)設(shè)g(x)=f(x)-3x+1=x2-2lnx-3x+4,∴g'(x)=2x-2x-3=2∵當x>2時,g'(x)>0,∴g(x)在(2,+∞)上為增函數(shù),∴g(x)>g(2)=4-2ln2-6+4>0,∴當x>2時,x2-2lnx>3x-4,即當x>2時,f(x)>3x-4.20.(本小題滿分12分)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為rm,高為hm,體積為Vm3.假設(shè)建立成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建立成本為100元/m2,底面的建立成本為160元/m2,該蓄水池的總建立成本為12000π元(π為圓周率).(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域;(2)探討函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大.解(1)因為蓄水池側(cè)面的總成本為100·2πrh=200πrh(元),底面的總成本為160πr2元,所以蓄水池的總成本為(200πrh+160πr2)元.又依據(jù)題意200πrh+160πr2=12000π,所以h=15r(300-4r從而V(r)=πr2h=π5(300r-4r3)因為r>0,又由h>0可得r<53,故函數(shù)V(r)的定義域為(0,53).(2)因為V(r)=π5(300r-4r3所以V'(r)=π5(300-12r2)令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因為r2=-5不在定義域內(nèi),舍去).當r∈(0,5)時,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上為增函數(shù);當r∈(5,53)時,V'(r)<0,故V(r)在(5,53)上為減函數(shù).由此可知,V(r)在r=5處取得最大值,此時h=8.即當r=5,h=8時,該蓄水池的體積最大.21.(本小題滿分12分)(2024四川成都高三三模)已知函數(shù)f(x)=x-1+axlnx(a∈R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)函數(shù)g(x)=m(x+1)+f(x),當0<a≤1時,g(x)≥0恒成立,求整數(shù)m的最小值.解(1)因為f'(x)=a(lnx+1)+1,當a=0時,f'(x)=1>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞);當a>0時,由f'(x)>0得x>e-所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[e-1a-當a<0時,由f'(x)>0得0<x<e-所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,e-1(2)g(x)≥0,即m(x+1)+axlnx+x-1≥0,因為x>0,所以m≥1-axlnx-xx+1,①當x≥1時,因為0<a≤1,所以-axlnx≤0,因此1-x-axlnx≤0,所以只需m≥0.②當0<x<1時,因為0<a≤1,則-axlnx≤-xlnx,所以h(x)≤1-因此只需h(x)≤1-xlnx-xx+1≤m,即m1+1x+lnx-1x+1≥0,構(gòu)造函數(shù)p(x)=m1+1x當m≥2時,p(x)在(0,m-1)上單調(diào)遞減,在(m-1,+∞)上單調(diào)遞增,所以p(x)mi