2025年高考數(shù)學復習大題題型歸納：專題07 數(shù)列中的構造問題（解析）

專題07數(shù)列中的構造問題1．已知數(shù)列an滿足a1=1，a(1)證明：an+1(2)證明：存在兩個等比數(shù)列bn，cn，使得【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由an+2=5a（2）通過兩次構造等比數(shù)列，求出an【詳解】（1）由已知，an+2=5an+1∴an+2顯然an+1?2an=0與a1∴an+2∴數(shù)列an+1?2an是首項為（2）∵an+2=5an+1∴an+2顯然an+1?3an=0與a1∴∴an+2∴數(shù)列an+1?3an是首項為∴an+1?3a又∵由第（1）問，an+1?2a∴②?①得，an∴存在bn=3n，cn=?22．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=2，(1)求an(2)設bn=?1n?3n?1，數(shù)列bn的前n【答案】(1)an=2n(2)λ∈【分析】（1）由anan+1=4Sn，可得an?1（2）方法1，由題bn=?3n??1n，由等比數(shù)列前n項和公式可得T2k,【詳解】（1）∵anan+1=4S∴anan+1?an?1=4ann≥2，∵又a1=2，a1a2=4S1，當n=2k?1時，a2k?1=4k?2=22k?1；當n=2k綜上，an=2n（2）方法一：∵bn∴Tn=?31??3∴T2k=3方法二：∵bn∴b2k?1∴T2k∴T2k?1∴n=2k,k∈N?時，n=2k?1,k∈N?時，若?k∈N?，都有T2k?1<λ<T2k成立，只需使λ>T∴λ∈3．已知數(shù)列an滿足a1=3(1)證明數(shù)列l(wèi)nan?1(2)若bn=1an+1an【答案】(1)證明見解析，a(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)遞推公式證明lna（2）由an+1=an2?2an+2，得an+1?2=【詳解】（1）因為an+1=a則lna又lna所以數(shù)列l(wèi)nan?1是以ln2則lna所以an（2）由an+1=a則1a所以1a所以bn所以S==2因為222n所以Sn4．已知數(shù)列an的前n項和為Sn(1)an(2)若bn=nan+n，求數(shù)列b【答案】(1)a(2)T【分析】（1）根據(jù)an=S1,n=1Sn?Sn?1,n≥2（2）由（1）可知bn【詳解】（1）因為2Sn當n=1時2S1+2=3當n≥2時2Sn?1①?②得2Sn+2n?2則an=3a所以an+1是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an（2）因為bn=na所以Tn=1×3Tn③?④得?2=3所以Tn5．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1(1)求證：數(shù)列an(2)求數(shù)列{an}的前n項和S【答案】(1)證明見解析(2)S【分析】（1）由題意轉化條件得an+3=2a（2）由題意可得an+3=2【詳解】（1）證明：已知遞推公式an得：an因為an所以an又a1所以數(shù)列an+3是以（2）由（1）an+3=4×2所以S==4?6．設各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足Snan=pn+r（p,r(1)若p=1,r=0，求證：{a(2)若p=13,【答案】(1)證明見解析；(2)an【分析】（1）把p=1,r=0代入，結合“n≥2,S（2）把p=13代入，結合“n≥2,S【詳解】（1）當p=1,r=0時，Sn=nan，當兩式相減，得an=na所以{a（2）當p=13時，Sn=(13n+r)an于是Sn=(13n+兩式相減，得an=(13n+因此an(n+1)n=an?1n(n?1)，數(shù)列{a所以數(shù)列{an}7．已知數(shù)列an，2an+1(1)求證：數(shù)列1a(2)設bn=1?an1?a【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)2an+1=（2）利用裂項相消法求出數(shù)列bn的前n項和S【詳解】（1）∵2an+1=a∵a1=3，∴an?2≠0∴1===?1，∴1an?1是首項為1（2）由（1）知1an?1=?n+∴bn∴S==?2?2+2?=?2?1∵n∈N?，∴∴Sn8．已知數(shù)列an的前n項和為Sn=nn+1n∈(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列bn(3)對于n∈N+，試比較bn+1【答案】(1)a(2)b(3)b【分析】（1）由數(shù)列an的前n項和為Sn=nn+1（2）由bn+1=bnbn+2n∈N（3）將問題轉化為證明2n+1【詳解】（1）當n=1時，a1當n≥2時，an經檢驗，n=1時，a1所以數(shù)列an的通項公式為a（2）易知bn>0，兩邊取倒數(shù)得1b∴1bn∴1（3）由（1）（2）問可知，欲比較bn+1=1即比較2n+1?1與當n=1時，21+1?1=3,1當n=2時，22+1?1=7,2當n=3時，23+1?1=15,3猜想2n+1方法一：當n≥4時，2≥2C所以對于任意的n∈N+都成立，所以方法二：令fx=令gx=f當x∈4,+∞時，g'x=2f'x≥所以fx≥f4>2所以對于任意的n∈N+都成立，所以方法三：下面用數(shù)學歸納法證明①當n=1時，顯然成立；當n=2時，顯然成立；②假設n=k時（k≥2)，猜想成立，即2k+1那么當n=k+1時，2>2?k因為2k對任意的k≥2且k∈N所以有2k+2綜上所述，2n+1?1>n2+n9．已知數(shù)列an有遞推關系(1)記an=bn+k,若數(shù)列bn的遞推式形如(2)求an【答案】(1)1或2(2)a【分析】（1）根據(jù)題意整理可得bn+1=9?5k（2）取k=1，可得bn+1【詳解】（1）因為an=b所以bn+1則?5k2+15k?10=0，解得k=1（2）由（1）可得：當k=1時，則an=b可得1b則1bn+1?1=?故數(shù)列1bn?1是以1∴1bn?1=故an10．已知數(shù)列an滿足a1+a3=2a(1)求數(shù)列cn和a(2)求數(shù)列an的前n項和S【答案】(1)cn=2?(2)S【分析】（1）由題意先求出a1，再根據(jù)cn=a2n?1，得c1=（2）分n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，再結合分組求和法即可得解.【詳解】（1）an+1=3因為a1+a3=2由cn=a又a2k故a2k+1=3a2k?1+2所以cn又c1+1=2，所以數(shù)列cn+1是以所以cn+1=2?3則a2n?1=2?3所以an（2）當n為偶數(shù)時，S=4=4×2當n為奇數(shù)時，Sn綜上所述，Sn11．已知Sn為數(shù)列an的前n項和，a1=2，(1)求數(shù)列bn(2)已知cn=?1n+1?bn+1b【答案】(1)b(2)證明見解析【分析】（1）利用Sn與an的關系，整理數(shù)列（2）寫出數(shù)列cn的通項，利用裂項相消，可得T【詳解】（1）由Sn+1=S∴an+1=4an?3，則∴數(shù)列an∴an?1=4n?1∴bn（2）∵cn∴c∴T=當n為奇數(shù)時，Tn當n為偶數(shù)時，Tn=1213綜上得：Tn12．已知數(shù)列an滿足a(1)求an(2)若bn=2n?1，數(shù)列cn滿足c4n?3=b2n?1【答案】(1)a(2)S【分析】（1）根據(jù)遞推關系解方程得a1=2，進而證明數(shù)列an?1是等比數(shù)列，公比為（2）由題知c4n?3+c4n?2+c4n?1+c4n=8n?2+3?4n?1，進而令d【詳解】（1）解：數(shù)列an滿足所以，a2=2a由an+1=2an?1所以，數(shù)列an?1是等比數(shù)列，公比為2，首項為所以an?1=所以，an的通項公式為（2）解：因為bn=2n?1，所以c4n?3=b2n?1=22n?1?1=4n?3所以，c4n?3令dn設數(shù)列dn的前n項和為T因為數(shù)列8n?2為等差數(shù)列，3?4所以，T因為數(shù)列cn的前4n+1項和為Tn與c4n+1所以，S4n+113．設數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1(1)求an(2)若bn=1Sn，求數(shù)列b【答案】(1)a(2)T【分析】（1）先根據(jù)2Sn+1an+1=2Snan+1（2）先求出數(shù)列bn【詳解】（1）因為2S所以Sn+1所以數(shù)列Snan是以S所以Snan當n≥2時，Sn?1兩式相減得an=n+1所以數(shù)列ann為常數(shù)列，且所以an（2）由（1）得Sn所以bn所以Tn14．已知數(shù)列an滿足a1=1(1)求證：數(shù)列an(2)若bn=2n+1an+1?an，【答案】(1)證明見解析(2)Sn=4n?【分析】（1）根據(jù)遞推公式證明an（2）先由（1）求得數(shù)列an的通項，從而可得數(shù)列b【詳解】（1）因為an所以an又a1所以an+1是以（2）由（1）知an+1=2?3所以bn故Sn則3S兩式相減得?2==?8n?3所以Sn15．設數(shù)列an的前n項和為S(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列2n+1anan+1的前m【答案】(1)a(2)7【分析】（1）當n≥2時，構造Sn?1=2a（2）由（1）可知bn【詳解】（1）因為Sn=2an+2n?6，所以當n=1當n≥2時，Sn?1=2a整理得an=2a所以數(shù)列an?2是首項為2，公比為所以an?2=2×2（2）令bn數(shù)列bn的前m項和T=21則12?2則2m+1m的值為7.16．已知數(shù)列an滿足a1=1(1)求數(shù)列an(2)若bn=2n?an【答案】(1)a(2)S【分析】（1）由題意得數(shù)列ann為常數(shù)列，可數(shù)列（2）利用錯位相減法求數(shù)列前n項和.【詳解】（1）由n?1an?nan?1=0n≥2，得a（2）bnSn2S兩式相減，?S所以S17．記數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1(1)求an(2)記數(shù)列an的前n項和為Tn，證明：【答案】(1)a(2)見解析【分析】（1）根據(jù)輔助數(shù)法，整理等式，可得數(shù)列Sn?2n的通項，在根據(jù)a（2）整理數(shù)列an的通項公式，利用錯位相減法，求得T【詳解】（1）由Sn+1=?2Sn+故數(shù)列Sn?2n為以1為公差的等差數(shù)列，則S當n≥2時，an將n=1代入上式，可得a1=?2故數(shù)列an的通項公式a（2）由n∈N?，則?3n+1<0，即Tn2T兩式相減可得，?=2+3×=2+3×=2+6×=2+3×=?4+2則Tn由（1）可得SnTn令bn=4+2n2n?4b1=4+21×Tn令cn=4?2n+2，易知數(shù)列cn為遞減數(shù)列，c綜上，不等式Sn18．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求證；數(shù)列an(2)求證：k=1n【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）Sn+1=2an+1?n+1，Sn（2）首先求出an=2n?1【詳解】（1）由已知得Sn+1=2an+1所以作差得an+1=2所以a又當n=1時，S1=2a1故數(shù)列an（2）由（1）可知：an+1=所以2k=1==1?綜上可知：k=119．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn＝(1)求數(shù)列{an}(2)設cn=an?bn【答案】(1)an=(2)T【分析】（1）{an}根據(jù)前n項和為Sn與an（2）寫出{cn}【詳解】（1）∵Sn＝2anan+1＝2an+1?2an，∴a∴{an}是以首項為1，公比為2的一個等比數(shù)列，由nbn+1?（n+1）∴bn∴bnn=1+(n?1)×1=n，（2）由（1）知cn∴Tn∴2T?T∴Tn20．已知數(shù)列an滿足a1=1，a2=4.有以下三個條件：①an+1=4an?4an?1（n≥2，n∈N?）；【答案】an=n?【分析】選①根據(jù)遞推關系式構造等比數(shù)列，再構造等差數(shù)列即可求得an；選②根據(jù)遞推關系式，結合累乘法求得an；選③利用前n項和與通項的關系，相減求得an【詳解】解：選①由an+1=4an?4an?1故an+1?2即an+12n+1?a則an2n選②由nan+1=2故a化簡得ana1選③由a1當n≥2時，a1由（1）－（2）得an2n?1因此，S2兩式相減得?化簡得S21．若數(shù)列an滿足a1=2(1)證明:an+1(2)設an的前n項和為Sn,求滿足Sn【答案】(1)證明見解析(2)7【分析】(1)根據(jù)題意構造數(shù)列證明等比,求出首項及公比即可,(2)由(1)求出an+1?3an的通項公式,與題中等式聯(lián)立,求出an【詳解】（1）證明：因為an+1所以an+2?2a故a=3又a1=2,則a2故an+1（2）由(1)得an+1?3又an+1?2②－①得,an故S==2易得Sn又S7=1220<2023,Sn22．已知數(shù)列an的首項a1=(1)求證：數(shù)列1a(2)若1a1+【答案】(1)證明見解析(2)50【分析】（1）兩邊取倒數(shù)，再同時減2，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可證明.(2)利用等比數(shù)列求和公式求和，再根據(jù)函數(shù)單調性，即可求解.【詳解】（1）證明：由an+1=21an+1故數(shù)列1a（2）由（1）可知1an?2=1令fn=1?12n+2n，易知fn23．已知數(shù)列an滿足a1=1,(1)證明數(shù)列an+1?2a(2)求數(shù)列an的前n項和S【答案】(1)證明見詳解，a(2)T【分析】（1）根據(jù)遞推公式構造可證，然后借助an+1?2a（2）由錯位相減法可得.【詳解】（1）因為a所以a又因為a所以an+1所以a變形得a所以{an2所以an2（2）因為Tn=1×所以2Tn①-②得：?所以T24．已知正項數(shù)列an的前n項和為S①數(shù)列an2的前n項和為②a1③a1=1,a2=從上述三個條件中任選一個，完成以下問題：(1)求數(shù)列an(2)設數(shù)列bn滿足b1=1,bn=a【答案】(1)任選一條件，都有a(2)不存在，理由見解析.【分析】（1）選①，結合an2=Tn?Tn?1求得an；選②（2）先假設存在符合題意的bk【詳解】（1）選①：因為數(shù)列an2的前n項和為所以當n=1時，a12=1；當n≥2經檢驗n=1時，a12=1故正項數(shù)列an的通項公式為a選②：因為a1=1,a所以ann為常數(shù)列，即ann=選③：由an所以數(shù)列an2從第2項起成等差數(shù)列，且經檢驗n=1時，a1=1符合上式，所以正項數(shù)列an（2）數(shù)列bk中不存在連續(xù)三項bk,理由如下：由（1）知當n≥2時，bn所以1b假設數(shù)列bn中存在連續(xù)三項bk,當k=1時，1,2當k≥2時，則2(k+1即k+1+兩邊同時平方，得k+1+k+2k+1所以(k+1)k=(k?1)(k+2)，整理得k2所以0=?2，矛盾，故假設不成立．綜上所述，數(shù)列bn中不存在連續(xù)三項bk,25．已知數(shù)列an中，a1=5且(1)求證：數(shù)列bn(2)從條件①n+bn，②求數(shù)列______的前n項和Tn注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)證明見解析(2)選①：Tn=n2【分析】（1）根據(jù)遞推公式使用構造法可得an?12（2）選①：由分組求和法可得；選②：使用錯位相減法可得.【詳解】（1）因為a1=5且所以當n?2時，an所以an?1所以an?12所以an所以an=因為b1=a1所以數(shù)列bn（2）選①：因為bn=2則T==選②：因為bn=2n，所以2T（i）?（ii）得?T26．已知數(shù)列an的前n項的和為Sn且滿足Sn=2an?(1)求出數(shù)列an，b(2)求出數(shù)列an+bn的前【答案】(1)an=(2)T【分析】（1）利用an與Sn關系可得an=2an?1+2n?1，進而得到a（2）采用分組求和法，分別利用錯位相減法和等差數(shù)列求和公式可求得數(shù)列an,bn的前【詳解】（1）當n=1時，a1=S當n≥2時，Sn?1=2an?1?∴an2n=an?12n?1∴an2∵數(shù)列bn是兩個等差數(shù)列1,4,7,10,???與4,9,14,19,???∴數(shù)列bn是以4為首項，15為公差的等差數(shù)列，∴（2）設An為數(shù)列an的前n項和，Bn為數(shù)列b∵An=2×∴?A∴An=n?∴數(shù)列an+bn的前27．記Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項和，已知a3+3a4=(1)求an(2)證明數(shù)列bn2n(3)求證：對任意的n∈N?，【答案】(1)a(2)證明見解析；b(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題意求出等差數(shù)列的首項與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項即可得解；（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義結合遞推公式證明bn2n（3）由（2）得1bn=【詳解】（1）解：設等差數(shù)列an的公差為d,d≠0因為a3則a1解得a1=2d=2所以an（2）證明：因為bn所以bn2n所以bn因為b1=a所以數(shù)列bn2n+1是以所以bn所以bn（3）證明：由（2）得1b故i=1≤1+=1×所以i=1n28．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足a1(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列1Sn的前n項和【答案】(1)an(2)Tn【分析】（1）利用Sn與an的關系求解通項公式；（2）利用等差數(shù)列求和公式求解Sn（1）因為2Sn=n兩式相減得2a即n+2an+1=又a2=2a1=2因此，數(shù)列ann是每項都是1的常數(shù)列，從而（2）因為an=n，所以從而1S因此Tn29．設數(shù)列an滿足a1=2(1)求證：an?n為等比數(shù)列，并求(2)若bn=an?n?n，求數(shù)列【答案】(1)證明見解析，a(2)T【分析】（1）由遞推公式可得an?n=2an?1?n?1，即可得到an（2）由（1）可得bn【詳解】（1）解：因為a1=2，所以an=2又a1?1=2?1=1，所以an?n是以所以an?n=1×（2）解：由（1）可得bn所以Tn=1×所以2Tn①?②得?即?Tn=30．問題：已知n∈N?，數(shù)列an的前n項和為Sn，是否存在數(shù)列an在①an+1=2(Sn+1+Sn注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】選①：an=1,n=18n?8,n≥2；選②：a【分析】選①：利用an與Sn的關系得到關于Sn的遞推公式，再由遞推公式求Sn，然后可得通項an；選②：利用a【詳解】選①：a∵∴∴Sn+1?∴Sn當n≥2時，a顯然，n=1時，上式不成立，所以an選②：當n≥2時，an=所以a整理得a又a2=所以{a∴當n≥2時，an+1+1=4?顯然，n=1時，上式成立，所以a選③：∵∴又a∴{a∴an31．已知數(shù)列an的前n項和為S(1)從①S1=1，②2Sn+1=S(2)在第（1）問的前提下，若bn=an+1a注：如果選擇多種情況分別解答，按第一種解答計分.【答案】(1)an(2)2【分析】（1）選①②，結合題意證明數(shù)列Sn?2是等比數(shù)列，公比為12選：②③，先根據(jù)題意得a1=1,a2=12選：①③，結合題意證明數(shù)列an是等比數(shù)列，公比為12，首項為（2）結合（1）得bn(1)解：選①②，因為2Sn+1=因為S1=1，所以，數(shù)列Sn?2是等比數(shù)列，公比為12所以Sn?2=?所以，當n≥2時，an當n=1時，a1=S所以an=1選：②③，因為2Sn+1=所以2a1+a2因為Sn+1=所以2Sn+所以，整理得an+1所以數(shù)列an是等比數(shù)列，公比為12，首項為所以an選：①③，因為S1=a所以Sn+所以，兩式作差得Sn+1?S所以數(shù)列an是等比數(shù)列，公比為12，首項為所以an=1所以2S所以2S(2)解：由（1）得an=1所以數(shù)列bn的前n項和TT==2?32．在數(shù)列an中，a1=5(1)證明：an?1為等比數(shù)列，并求(2)令bn=(?1)n?an【答案】(1)證明見解析，a(2)S【分析】（1）依題意可得an+1?1=2an?1（2）由（1）可得bn=(?1)【詳解】（1）解：因為an+1=2an?1，所以a所以an故an?1=4×2（2）解：由（1）得bn則bn①當n=2k,k∈NS=?②當n=2k?1,k∈NSn綜上所述，S33．已知數(shù)列an滿足a(1)求數(shù)列an(2)當cn=an+1?an【答案】(1)a(2)T【分析】（1）當n≥2時可得ann=an?12(n?1)，令bn=ann，則b（2）利用分組求和法及等差數(shù)列前n項和公式求和即可；【詳解】（1）解：當n≥2時，2n?1an?nan–1=0又因為b1=a11=1所以bn=12n（2）解：因為cn所以T=a34．設數(shù)列{an}的前n(1)求數(shù)列{a(2)若bnn=log2an2+1(3)證明：i=1【答案】(1)a(2)5或6(3)證明見解析【分析】（1）利用遞推關系，當n≥2時，Sn?1=2an?1?n?1，兩式相減得（2）先求出bn（3）對1a2i=14i?1【詳解】（1）1因為Sn=2an=1時，S1=2n≥2時，Sn?1①-②得an=2an?1+1所以數(shù)列an+1是2為首項，故a（2）bnn=于是當1<n<5時，bn<0；b6=0；當n>6時，bn>0.所以當（3）1a2i35．設數(shù)列an的前n項和為Sn，a1(1)求數(shù)列an(2)設bn=4n+【答案】(1)a(2)(?【分析】（1）由題意得到2Sn?1=an+2n?6，兩式相減化簡得到an+1（2）由（1）得到bn=4n+t(?1)n(3【詳解】（1）解：因為數(shù)列an的前n項和為Sn，a1當n≥2時，2S兩式相減可得2a即an+1=3an?2當n=1時，2a1=a2所以數(shù)列an所以an?1=3所以數(shù)列an的通項公式a（2）解：由bn=4n+則bn+1因為數(shù)列bn是遞增數(shù)列，所以bn+1?當n為奇數(shù)時，3×4n+t(4×又由?3×所以數(shù)列?3×4n當n為偶數(shù)時，3×4n?t(4×同理可得，數(shù)列3×4n4×綜上可得，實數(shù)t的取值范圍為(?636．設數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求Sn(2)證明：當n≥2時，2S【答案】(1)S(2)見解析【分析】（1）先利用an=S（2）先表示出2S【詳解】（1）當n=1時，2S1+1=2當n≥2時，2S即Sn∴{Sn+12則Sn+1（2）由Sn=3則2Sn+3a令f(t)=t?1+9t，則f'(t)=1?9∴f(t)在[9,+∞)上單調遞增，f(t)≥f(9)=9，即3n當且僅當n=2時，取等，得證.37．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，(1)求數(shù)列an(2)記bn=an?3n【答案】(1)a(2)Tn【分析】（1）利用Sn+1?S（2）先