昆山市重點中學2024年中考數(shù)學模擬試題（含解析）

昆山市重點中學2024年中考數(shù)學全真模擬試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.如圖，在平面直角坐標系中，把△ABC繞原點O旋轉180。得到△CDA,點A,B,C的坐標分別為（-5,2）,（-

2,-2）,（5,-2）,則點D的坐標為（)

C.(2,5)D.(-2,5)

2.下列因式分解正確的是()

A.X2+2X-1=(X-1)2B.x2+l=(x+l)2

C.x2-x+l=x(x-l)+lD.2X2-2=2(X+1)(X-1)

3.如圖，在以O為原點的直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)\=-

x

（x>0）與AB相交于點D,與BC相交于點E,若BD=3AD,且△ODE的面積是9,則k的值是（）

4.矩形具有而平行四邊形不具有的性質是（）

A.對角相等B.對角線互相平分

C.對角線相等D.對邊相等

5.如圖，在正方形ABC。中，G為CZ>邊中點，連接AG并延長，分別交對角線80于點F,交5c邊延長線于點E.若

FG=2,則AE的長度為（）

A.6B.8

C.10D.12

6.如圖，5。為。。的直徑，點A為弧3OC的中點，ZABD=35°,貝!）ND5C=（）

B.35°C.15°D.45°

7.今年我市計劃擴大城區(qū)綠地面積，現(xiàn)有一塊長方形綠地，它的短邊長為60m,若將短邊增長到長邊相等（長邊不變）,

使擴大后的棣地的形狀是正方形，則擴大后的綠地面積比原來增加1600機2,設擴大后的正方形綠地邊長為xm,下面

所列方程正確的是（）

A.x(x-60)=1600

B.x(x+60)=1600

C.60(x+60)=1600

D.60(x-60)=1600

8.如圖是由4個相同的正方體搭成的幾何體，則其俯視圖是（)

x+y=5k

9.若關于x,丁的二元一次方程組.c,的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，則上的值為（

x-y=9k

3&44

A.B.C.D.

44I

10.如果代數(shù)式二上士有意義，則實數(shù)X的取值范圍是（）

X

A.x>-3B.x/0C.x>-3Hx/0D.x>3

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11.若關于x的方程29+%—。=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是.

12.某種商品因換季準備打折出售，如果按定價的七五折出售將賠25元，而按定價的九折出售將賺20元，則商品的

定價是______元，

13.如圖1,在RtAABC中，NACB=90。，點P以每秒2cm的速度從點A出發(fā)，沿折線AC-CB運動，到點B停

止.過點P作PDLAB,垂足為D,PD的長y（cm）與點P的運動時間x（秒）的函數(shù)圖象如圖2所示.當點P運動

5秒時，PD的長的值為.

14.分解因式：x2-1=.

15.在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,DE是AB的垂直平分線，DE交AB于點D,交AC于點E,連接BE.下列

結論①BE平分NABC；②AE=BE=BC；③4BEC周長等于AC+BC；④E點是AC的中點.其中正確的結論有

（填序號）

16.學校乒乓球社團有4名男隊員和3名女隊員，要從這7名隊員中隨機抽取一男一女組成一隊混合雙打組合，可組

成不同的組合共有對.

17.已知函數(shù)y=-V-2x,當時，函數(shù)值y隨x的增大而增大.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）如圖1,在菱形中，AB=645,tanZABC=2,點E從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿

著射線ZM的方向勻速運動，設運動時間為，（秒），將線段CE繞點C順時針旋轉一個角a（a=N5C。），得到對應

線段C尸.

AE<—DAE?-D

（1）求證：BE=DF；

（2）當/=秒時，OF的長度有最小值，最小值等于；

（3）如圖2,連接80、EF、BD交EC、E尸于點P、Q,當，為何值時，△EP。是直角三角形？

19.（5分）某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價x（元）

滿足一次函數(shù)關系m=162-3x.請寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y（元）與每件銷售價x（元）之間的函數(shù)關系式.商

場每天銷售這種商品的銷售利潤能否達到500元？如果能，求出此時的銷售價格；如果不能，說明理由.

20.（8分）如圖是某旅游景點的一處臺階，其中臺階坡面AB和BC的長均為6m,AB部分的坡角/BAD為45。，BC

部分的坡角NCBE為30。，其中BDLAD,CE1BE,垂足為D,E.現(xiàn)在要將此臺階改造為直接從A至C的臺階，

如果改造后每層臺階的高為22cm,那么改造后的臺階有多少層？（最后一個臺階的高超過15cm且不足22cm時，按

一個臺階計算.可能用到的數(shù)據(jù)：72-1.414,73-1.732）

21.（10分）觀察下列等式:

11八1、

第1個等式：a,=---=—x(l——)；

11x323

11zllx

第2個等式：a=---=—x(-----)?

293x5235

11zlK

第3個等式：a,=----=—x(-----)；

35x7257

11zlK

第4個等式：a=----=-x(-----)；

4d7x9279

請解答下列問題：按以上規(guī)律列出第5個等式：a5=—=—；用含有n的代數(shù)式表示第n個等式：a?=—=一（n

為正整數(shù)）；求ai+a2+a3+a4+...+aioo的值.

22.（10分）某商場甲、乙兩名業(yè)務員10個月的銷售額（單位：萬元）如下:

甲7.29.69.67.89.346.58.59.99.6

乙5.89.79.76.89.96.98.26.78.69.7

根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，將下表補充完整:

4.0<x<4.95.0<x<5.96.0<x<6.97.0<x<7.98.0<x<8.99.0<x<10.0

甲101215

乙——————

（說明：月銷售額在8.0萬元及以上可以獲得獎金，7.0?7.9萬元為良好，6.0?6.9萬元為合格，6.0萬元以下為不合

格）

兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示：

結論：

人員平均數(shù)（萬元）中位數(shù)（萬元）眾數(shù)（萬元）

甲8.28.99.6

乙8.28.49.7

（1）估計乙業(yè)務員能獲得獎金的月份有個;

（2）可以推斷出業(yè)務員的銷售業(yè)績好，理由為.（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）

23.（12分）如圖，已知拋物線經(jīng)過原點。和x軸上一點A（4,0）,拋物線頂點為E,它的對稱軸與x軸交于點D.直

線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點B（-2,m）且與y軸交于點C,與拋物線的對稱軸交于點F.

（1）求m的值及該拋物線對應的解析式；

（2）P（x,y）是拋物線上的一點，若SAADP=SAADC,求出所有符合條件的點P的坐標；

（3）點Q是平面內(nèi)任意一點，點M從點F出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設點M的運

動時間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形.若能，請直接寫出點M的運動時間t的值；

若不能，請說明理由.

24.（14分）“大美濕地，水韻鹽城”.某校數(shù)學興趣小組就“最想去的鹽城市旅游景點”隨機調查了本校部分學生，要

求每位同學選擇且只能選擇一個最想去的景點，下面是根據(jù)調查結果進行數(shù)據(jù)整理后繪制出的不完整的統(tǒng)計圖：

請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

（1）求被調查的學生總人數(shù)；

（2）補全條形統(tǒng)計圖，并求扇形統(tǒng)計圖中表示“最想去景點D”的扇形圓心角的度數(shù);

（3）若該校共有800名學生，請估計“最想去景點B“的學生人數(shù).

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、A

【解析】

分析：依據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，即可得到BD經(jīng)過點O,依據(jù)B的坐標為（-2,-2）,即可得出D的坐標

為（2,2）.

詳解：,?,點A,C的坐標分別為（-5,2）,（5,-2）,

點O是AC的中點，

VAB=CD,AD=BC,

.??四邊形ABCD是平行四邊形，

ABD經(jīng)過點O,

的坐標為（-2,-2）,

，D的坐標為（2,2）,

故選A.

點睛：本題主要考查了坐標與圖形變化，圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的

坐標.

2、D

【解析】

直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，進而判斷即可.

【詳解】

2

解：A、X+2X-1-無法直接分解因式，故此選項錯誤；

2

B、x+l，無法直接分解因式，故此選項錯誤；

2

C、x-x+b無法直接分解因式，故此選項錯誤；

D、2x?—2=2（x+l）（x—1）,正確.

故選：D.

【點睛】

此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用公式是解題關鍵.

3、C

【解析】

設B點的坐標為（a,b）,由BD=3AD,得D（q，b）,根據(jù)反比例函數(shù)定義求出關鍵點坐標，根據(jù)SAODE=S矩形

4

OCBA-SAAOD-SAOCE-SABDE=9求出k.

【詳解】

?.?四邊形OCBA是矩形，

.*.AB=OC,OA=BC,

設B點的坐標為（a,b）,

VBD=3AD,

,a、

?"?D（—,b）,

4

;點D,E在反比例函數(shù)的圖象上，

SAODE=S矩形OCBA-SAAOD-SAOCE-SABDE=ab-—?—-—,—--,—?(b--)=9,

242424a

24

??k=—9

5

故選：c

【點睛】

考核知識點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.結合圖形，分析圖形面積關系是關鍵.

4、C

【解析】

試題分析：舉出矩形和平行四邊形的所有性質，找出矩形具有而平行四邊形不具有的性質即可.

解：矩形的性質有：①矩形的對邊相等且平行，②矩形的對角相等，且都是直角，③矩形的對角線互相平分、相等；

平行四邊形的性質有：①平行四邊形的對邊分別相等且平行，②平行四邊形的對角分別相等，③平行四邊形的對角線

互相平分；

.?.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質是對角線相等，

故選C.

5、D

【解析】

ApAR

根據(jù)正方形的性質可得出CD,進而可得出△ABFsaGOB根據(jù)相似三角形的性質可得出——=——=2,結合

GFGD

尸G=2可求出A尸、AG的長度，由DG=CG,可得出AG=GE,即可求出AE=2AG=1.

【詳解】

解：?四邊形為正方形，

：.AB^CD,AB//CD,

ZABF=ZGDF,ZBAF=ZDGF,

：./\ABF^/\GDF,

AFAB.

??------.........=2f

GFGD

AAF=2GF=4,

：.AG=2.

*：AD//BC,DG=CG,

AGDG

??----.........=1,

GECG

：.AG=GE

：.AE=2AG=1.

故選：D.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質，利用相似三角形的性質求出A歹的長度是解題的關鍵.

6、A

【解析】

根據(jù)NA5O=35。就可以求出激)的度數(shù)，再根據(jù)8。=180°，可以求出AB，因此就可以求得NABC的度數(shù)，從而求

得NOBC

【詳解】

解：'：ZABD=35°,

???翁的度數(shù)都是70。，

???50為直徑，

二篇的度數(shù)是180°-70°=110°,

?.,點A為弧30c的中點，

???京的度數(shù)也是110°,

，商的度數(shù)是110°+110。-180°=40°,

AZZ>BC=^X40°=20°,

故選：A.

【點睛】

本題考查了等腰三角形性質、圓周角定理，主要考查學生的推理能力.

7、A

【解析】

試題分析：根據(jù)題意可得擴建的部分相當于一個長方形，這個長方形的長和寬分別為x米和(x-60)米，根據(jù)長方形

的面積計算法則列出方程.

考點：一元二次方程的應用.

8、A

【解析】

試題分析：從上面看是一行3個正方形.

故選A

考點:三視圖

9、B

【解析】

將k看做已知數(shù)求出用k表示的x與y,代入2x+3y=6中計算即可得到k的值.

【詳解】

]x+y=54①

解:[x-y=9k?,

①+②得：2x=14左,即x=7左，

將尤=74代入①得：lk+y=5k,即y=-2左，

將x=7左，y=—2k代入2x+3y=6得：14左一6左=6,

解得：k=J3.

4

故選：B.

【點睛】

此題考查了二元一次方程組的解，以及二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊成立的未知數(shù)的值.

10、C

【解析】

根據(jù)二次根式有意義和分式有意義的條件列出不等式，解不等式即可.

【詳解】

由題意得,x+3>0,x#0,

解得x>-3且x/0,

故選C.

【點睛】

本題考查分式有意義條件，二次根式有意義的條件，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

11、a>-.

8

【解析】

試題分析：已知關于X的方程2X2+X-a=0有兩個不相等的實數(shù)根，所以△=12-4X2X(-a)=l+8a>0,解得a>-L.

s

考點：根的判別式.

12、300

【解析】

設成本為x元，標價為y元，根據(jù)已知條件可列二元一次方程組即可解出定價.

【詳解】

f0.75y+25=xfx=250

設成本為X元，標價為y元，依題意得cc，解得“八

0.9y-20=x[y=300

故定價為300元.

【點睛】

此題主要考查二元一次方程組的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意列出方程再求解.

13、2.4cm

【解析】

分析：根據(jù)圖2可判斷AC=3,BC=4,則可確定U5時BP的值，利用sinNB的值，可求出P0.

詳解：由圖2可得，AC=3,BC=4,

.,.AB-^32+42-5,

當Z=5時，如圖所示:

此時AC+CP^5,故BP=AC+BC-AC-CP=2,

..AC3

.sinyN5=---=—,

AB5

3$

:.PD-BP-sinXB-2x—=—=1.2(cm).

55

故答案是：1.2cm.

點睛：本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，解答本題的關鍵是根據(jù)圖形得到AC、BC

的長度，此題難度一般.

14、(x+1)(x-1).

【解析】

試題解析：x2-1=(x+1)(X-1).

考點：因式分解-運用公式法.

15、①②③

【解析】

試題分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NABC、NC的度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的性質得到EA=EB,根據(jù)等腰三角

形的判定定理和三角形的周長公式計算即可.

解：VAB=AC,ZA=36°,

/.ZABC=ZC=72°,

VDE是AB的垂直平分線，

EA=EBf

AZEBA=ZA=36°,

.\ZEBC=36O,

AZEBA=ZEBC,

；.BE平分NABC,①正確；

ZBEC=ZEBA+ZA=72°,

/.ZBEC=ZC,

/.BE=BC,

.*.AE=BE=BC,②正確；

△BEC周長=BC+CE+BE=BC+CE+EA=AC+BC,③正確；

VBE>EC,AE=BE,

AAE>EC,

點E不是AC的中點，④錯誤，

故答案為①②③.

考點：線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質.

16、1

【解析】

利用樹狀圖展示所有1種等可能的結果數(shù).

【詳解】

解：畫樹狀圖為：

S-^9

力1力2男34

五個/N/N不

女'工工女I女2女3女1女2名女1%女3

共有1種等可能的結果數(shù).

故答案為1.

【點睛】

本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n,再從中選出符合事件A或B的結果

數(shù)目m,然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率.

17>x<-1.

【解析】

試題分析：???'=—必—2%=—(%+iy+1,a=-l<0,拋物線開口向下，對稱軸為直線x=-L.?.當XW-1時，y隨

x的增大而增大，故答案為爛-L

考點：二次函數(shù)的性質.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18、(1)見解析；(2)t=(6逐+6),最小值等于12；(3)f=6秒或6逐秒時，AEP。是直角三角形

【解析】

(1)由NECF=NIBa>得NOC尸=N5CE,結合OC=3C、CE=CF證△即可得；

(2)作交ZM的延長線于0.當點E運動至點時，由O歹知此時。歹最小，求得50、AE，即可得

答案；

(3)①NE0P=90。時，由NECF=NBCD、BC=DC、EC=FC得NBCP=NEQP=9Q。,根據(jù)AB=CO=6百，

tanZABC=tanZADC=2即可求得DE；

②NEPQ=90。時，由菱形A3CZ>的對角線AC，5Z>知EC與AC重合，可得Z>E=60.

【詳解】

(1),:NECF=NBCD,即N5CE+/OCE=NOC尸+NOCE,

/.NDCF=ZBCE,

???四邊形A8C。是菱形，

：.DC=BC,

在小OC歹和△BCE中，

CF=CE

<ZDCF=ZBCE,

CD=CB

J.ADCF^ABCE(SAS),

:.DF=BE；

(2)如圖1,作交ZM的延長線于H.

E'AEjD

當點E運動至點?時，DF=BE\此時OF最小，

在RtAABE，中，AB=6下,tanNA5C=tan/BAE，=2,

.?.設AH=x,則5?=2x,

***AB=^5x=6^5>x=6t

則AE,^6

:.DE，=6指+6,。尸=BE'=12,

時間t=6后+6,

故答案為：6^/5+6,12；

(3),:CE=CF,

：.ZCEQ<9Q°,

①當NEQ尸=90。時，如圖2①，

圖2①尸

■:NECF=NBCD,BC=DC,EC=FC,

：.ZCBD=ZCEF,

■:NBPC=NEP。，

:.ZBCP=NE0P=90°,

,:AB=CD=6下,tanZABC=tanZADC=2,

；.DE=6,

t=6秒；

②當NEP0=9O。時，如圖2②,

A(E)D

圖2②

?.?菱形ABCD的對角線AC±BD,

，EC與AC重合，

:.DE=6非,

?,?t=6y[5秒，

綜上所述，f=6秒或6逐秒時，AEPQ是直角三角形.

【點睛】

此題是菱形與動點問題，考查菱形的性質，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性質，最短路徑問題，注意(3)中

的直角沒有明確時應分情況討論解答.

19、(1)y=-3x2+252x-1(2<x<54)；(2)商場每天銷售這種商品的銷售利潤不能達到500元.

【解析】

(1)此題可以按等量關系“每天的銷售利潤=(銷售價-進價)x每天的銷售量，，列出函數(shù)關系式，并由售價大于進價,

且銷售量大于零求得自變量的取值范圍.

(2)根據(jù)(1)所得的函數(shù)關系式，利用配方法求二次函數(shù)的最值即可得出答案.

【詳解】

(1)由題意得：每件商品的銷售利潤為(x-2)元，那么機件的銷售利潤為廠機(x-2).

又,.,》1=162-3x,.,.y-(x-2)(162-3x),BPy=-3x2+252x-1.

Vx-2>0,.,.x>2.

又,.,機對，.*.162-3x>0,即爛54,.".2<x<54,所求關系式為y=-3x?+252x-1(2<x<54).

(2)由(1)得尸-3/+252X-1=-3(X-42)2+432,所以可得售價定為42元時獲得的利潤最大，最大銷售利潤是

432元.

???500>432,.?.商場每天銷售這種商品的銷售利潤不能達到500元.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)在實際生活中的應用，解答本題的關鍵是根據(jù)等量關系：“每天的銷售利潤=(銷售價-進價)x

每天的銷售量”列出函數(shù)關系式，另外要熟練掌握二次函數(shù)求最值的方法.

20、33層.

【解析】

根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系和等腰直角三角形的性質得到BD和CE的長，二者的和乘以100后除以20即

可確定臺階的數(shù).

【詳解】

解：在RtAABD中，BD=AB?sin45°=30m,

*一1

在RtABEC中，EC=-BC=3m,

2

；.BD+CE=3+30,

?.?改造后每層臺階的高為22cm,

.?.改造后的臺階有(3+3正)xl00-22=33(個)

答：改造后的臺階有33個.

【點睛】

本題考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的鉛直高度與對應的水平距離的比值，即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的

正弦.也考查了含30度的直角三角形三邊的關系和等腰直角三角形的性質.

9xlf2><(9-11)⑵(2n-l)x(2n+l)>2X(2n-l()—

2n+l3201

【解析】

(1)(2)觀察知，找等號后面的式子規(guī)律是關鍵：分子不變，為1；分母是兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積，它們與式子序號之

間的關系為：序號的2倍減1和序號的2倍加L

(3)運用變化規(guī)律計算

【詳解】

(1』—

解:

9x112911

_1J.1______

⑵an=(2n-l)x(2n+l)2n-「2n+l；

(3)3i+32+33+34+?..+a100=—x(1--)+—X(-----)+—X(-----)+,,,+-X(---------)

232352572199201

=-1x=—1x-20-0=100

22201201

22、填表見解析；(1)6；(2)甲；甲的銷售額的中位數(shù)較大，并且甲月銷售額在9萬元以上的月份多.

【解析】

(1)月銷售額在8.0萬元及以上可以獲得獎金，去銷售額中找到乙大于8.0的個數(shù)即可解題，

(2)根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)即可解題.

【詳解】

解：如圖,

銷售額

數(shù)量

4.0<x<4.95.0<x<5.96.0<x<6.97.0<x<7.98.0<x<8.99.0<x<10.0

X

人員

甲101215

乙0130