2024-2025學(xué)年湖南省岳陽市平江縣頤華高級(jí)中學(xué)高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省岳陽市平江縣頤華高級(jí)中學(xué)高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共11小題，第1-8題每小題5分，第9-11題每小題6分，共58分。1.已知a=log50.5，b=log30.3A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a2.設(shè)向量a=(cos23°,cos67°)，b=(cos53°,cos37°)，a?A.32 B.12 C.?3.若p：|x|=x，q：x2+x≥0，則p是q的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F(xiàn)，G分別是DD1A.30°

B.45°

C.60°

D.90°5.已知按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：

甲組：27，30，37，a，40，50；

乙組：24，b，33，44，48，52．

若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)對(duì)應(yīng)相等，第50百分位數(shù)也對(duì)應(yīng)相等，則a+b=(

)A.60 B.65 C.70 D.756.1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫下以下公式eix=cosx+isinx(e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位)，這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，下列說法正確的是(????)A.eix+1=0 B.12+37.若一個(gè)圓柱的內(nèi)切球(與圓柱的兩底面以及每條母線均相切)的表面積為4π，則這個(gè)圓柱的體積為(

)A.π B.2 C.2π D.2π8.已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA+3PB|A.4 B.5 C.6 D.9.對(duì)于△ABC，有如下判斷，其中正確的判斷是(

)A.若cosA=cosB，則△ABC為等腰三角形

B.若A>B，則sinA>sinB

C.若a=8，c=10，B=60°，則符合條件的△ABC有兩個(gè)

D.若sin2A+sin10.已知函數(shù)f(x)=|log2(x+a)|,0<x≤2f(x?2),2<x≤4的圖象過點(diǎn)(1,0)，若函數(shù)g(x)=m?f(x)的從小到大的四個(gè)不同的零點(diǎn)依次為x1，xA.x1x2=1 B.x4?11.如圖，正方體ABCD?A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為4，M是側(cè)面ADD′A′上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，點(diǎn)P在棱CC′上，且|PC′|=1，則下列結(jié)論正確的有(

)A.沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短距離為45

B.保持PM與BD′垂直時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為32

C.若保持|PM|=25，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為4π3

二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知集合A={x|x2?3x?10≤0}，集合B={x|m+1≤x≤2m?1}，且B?A，則實(shí)數(shù)m13.已知二次函數(shù)f(x)=ax2?2x+1在區(qū)間[1,3]上是單調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a14.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形；E為PD的中點(diǎn).若AP=1，AD=3，AB=34，當(dāng)三棱錐P?ABCD的體積取到最大值時(shí)，點(diǎn)E到平面PBC

三、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.（13分）已知a→=(2sinx,cos2x)，b→=(3cosx,2)，f(x)=a?b．

16.（15分）已知△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，sin(2C?π2)=12且a2+b2<c217.（15分）定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0．

(1)求f(1)；

(2)證明f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

(3)若關(guān)于x的不等式f(k?3x)?f(918.（17分）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．

(1)求三棱錐A?BDE的體積；

(2)求證：PB⊥平面EFD；

(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小．

19.（17分）某校象棋社團(tuán)組織了一場(chǎng)象棋對(duì)抗賽，參與比賽的40名同學(xué)分為10組，每組共4名同學(xué)進(jìn)行單循環(huán)比賽.已知甲、乙、丙、丁4名同學(xué)所在小組的賽程如表.規(guī)定：每場(chǎng)比賽獲勝的同學(xué)得3分，輸?shù)耐瑢W(xué)不得分，平局的2名同學(xué)均得1分，三輪比賽結(jié)束后以總分排名，每組總分排名前兩位的同學(xué)可以獲得獎(jiǎng)勵(lì).若出現(xiàn)總分相同的情況，則以抽簽的方式確定排名(抽簽的勝者排在負(fù)者前面)，且抽簽時(shí)每人勝利的概率均為12.假設(shè)甲、乙、丙3名同學(xué)水平相當(dāng)，彼此間勝、負(fù)、平的概率均為13.丁同學(xué)的水平較弱，面對(duì)任意一名同學(xué)時(shí)自己勝、負(fù)、平的概率都分別為第一輪甲—乙丙—丁第二輪甲—丙乙—丁第三輪甲—丁乙—丙(1)求丁同學(xué)的總分為5分的概率；

(2)已知三輪比賽中丁同學(xué)獲得兩勝一平，且第一輪比賽中丙、丁2名同學(xué)是平局，求甲同學(xué)能獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率．

參考答案1.B

2.A

3.A

4.D

5.C

6.CD

7.C

8.B

9.ABD

10.AB

11.BCD

12.m≤3

13.{a|a<0或0<a≤13或14.31015.解：(1)a→=(2sinx,cos2x)，b→=(3cosx,2)，

由f(x)=a→?b→=23sinxcosx+2cos2x

=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1，

∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，

由2kπ+π2?2x+π6?3π2+2kπ,k∈Z，

16.解：(1)∵sin(2C?π2)=?sin(π2?2C)=?cos2C=12，

∴cos2C=2cos2C?1=?12，即cos2C=14，

∵a2+b2<c2，即a2+17.解：(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，

令x=y=1，

則F(1)=2f(1)

∴f(1)=0；

(5分)

證明：(2)由f(xy)=f(x)+f(y)

可得f(yx)=f(y)?f(x)，

設(shè)x1>x2>0，f(x1)?f(x2)=f(x1x2)，x1x2>1，

∴f(x1x2)<0，即f(x1)?f(x2)<0

∴f(x1)<f(x2)，所以f(x)18.解：(1)取DC中點(diǎn)M，連接EM，如圖所示：

在△PDC中，M、E分別為CD、CP中點(diǎn)，

∴EM為△PDC的中位線，

∴EM//PD，且EM=12PD，

又∵PD=2，

∴EM=1

∵PD⊥底面ABCD，

∴EM⊥底面ABCD，

∴VA?BDE=VE?ABD=13×12×2×2×1=23；

(2)∵PD⊥底面ABCD，且BC?面ABCD，

∴PD⊥BC，

∵底面ABCD是正方形，

∴DC⊥BC，

又PD∩DC=D，PD、DC?面PDC，

∴BC⊥面PDC，又DE?面PDC，

∴BC⊥DE，

∵PD=DC，且PD⊥DC，

∴△PDC是等腰直角三角形，又DE是斜邊PC的中線，

∴DE⊥PC，

又PC∩BC=C，PC、BC?面PBC，

∴DE⊥面PBC，

∵PB?面PBC，

∴DE⊥PB，

∵PB⊥EF，

又DE∩EF=E，DE、EF?面EFD，

∴PB⊥平面EFD；

(3)由(2)可知PB⊥DF，

故∠EFD是平面CPB與平面PBD的夾角，

∵PD=DC=2，

∴DE=2，

在△PBD中，BD=22，PB=23，DF=263，

又DE⊥面PBC，19.解：(1)丁同學(xué)總分為5分，則丁同學(xué)三輪比賽結(jié)果為一勝兩平，

記第k(k=1,2,3)輪比賽丁同學(xué)勝、平的事件分別為Ak，Bk，

丁同學(xué)三輪比賽結(jié)果為一勝兩平的事件為M，

則P(M)=P(A1B2B3)+P(B1A2B3)+P(B1B2A3)=3×(13)2×16=118，

即丁同學(xué)的總分為5分的概率為118．

(2)由于丁同學(xué)獲得兩勝一平，且第一輪比賽中丙、丁2名同