河北省保定市易縣中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)模擬試題理含解析

PAGE21-河北省保定市易縣中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)模擬試題理（含解析）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】【分析】先解分式不等式得或，再依據(jù)集合運算即可.【詳解】因為或，，所以或．故選：D【點睛】本題考查分式不等式的解法以及集合運算，是基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)為實數(shù)，則正整數(shù)的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意可知只能為偶數(shù)，分別計算比較即可.【詳解】因為，，所以正整數(shù)的最小值為4．故選：B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算，屬基礎(chǔ)題.3.已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的焦距為（）A.4 B.5 C.8 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的方程和雙曲線的漸近線方程得，再依據(jù)計算即可解決.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，由雙曲線的漸近線方程為，可得，所以，．所以雙曲線的焦距為10．故選：D.【點睛】本題考查雙曲線的方程及性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.4.下圖是某市2024年到2024年貧困戶的戶數(shù)（單位：萬戶）與時間的條形圖（時間的取值1，2，…，7依次對應(yīng)2024年至2024年）.若關(guān)于的線性回來方程為，則（）A.2.2 B.4.2 C.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)條形圖，可求出，由回來直線經(jīng)過樣本點的中心，可求出.【詳解】本題考查線性回來方程.依題意，得，，所以，所以.故選：C.【點睛】本題考查回來直線，留意回來直線肯定經(jīng)過樣本點的中心，屬于基礎(chǔ)題.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列出每一次循環(huán)，直到計數(shù)變量滿意退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán)：；其次次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出的為.故選：B.【點睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果，要留意在哪一步退出循環(huán)，是一道簡潔題.6.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由可解除選項C、D；再由可解除選項A.【詳解】因為，故為奇函數(shù)，解除C、D；又，解除A.故選：B.【點睛】本題考查依據(jù)函數(shù)解析式選出函數(shù)圖象的問題，在做這類題時，一般要利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、特別點的函數(shù)值等，是一道基礎(chǔ)題.7.若，滿意約束條件，則的最大值為（）A.21 B.16 C.13 D.11【答案】B【解析】【分析】首先畫出可行域，確定最優(yōu)點，并求最大值.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，聯(lián)立解得．視察可知，當(dāng)直線過點時，有最大值16．故選：B【點睛】本題考查線性規(guī)劃，重點考查數(shù)形結(jié)合分析問題，屬于基礎(chǔ)題型.8.《九章算術(shù)》中有一道“良馬、駑馬行程問題”.若齊國與長安相距3000里，良馬從長安動身往齊國去，駑馬從齊國動身往長安去，同一天相向而行.良馬第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，駑馬第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，則良馬和駑馬第幾日相遇（）A.第10日 B.第11日 C.第12日 D.第60日【答案】A【解析】【分析】先求出良馬和駑馬日行程的通項公式，列出式子，即可求解.【詳解】依題意，可知良馬第日行程為，同理，可得駑馬第日行程為，令，整理可得，所以.故選：A【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)學(xué)文化.，關(guān)鍵點是對題意的翻譯，屬于簡潔題目.9.已知函數(shù)，則有關(guān)函數(shù)的說法正確的是（）A.的圖象關(guān)于點對稱 B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.的最大值為【答案】B【解析】【分析】先利用三角恒等變換化簡函數(shù)得，再依據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】由題可知．令，可得．當(dāng)時，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，也不關(guān)于直線對稱，故A，C錯誤；函數(shù)的最小正周期，故B正確；函數(shù)的最大值為1，故D錯誤；故選：B.【點睛】本題考查三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題.10.已知內(nèi)接于半徑為3的圓，，為圓上的動點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以的中點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，求出，即得的取值范圍.詳解】以的中點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)，則，所以，，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查坐標(biāo)法探討平面對量的問題，考查平面對量的坐標(biāo)運算和數(shù)量積的計算，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.11.已知點為拋物線上異于原點的動點，為的焦點.若，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，以、為基底表示向量即可求得點M的坐標(biāo)，代入直線斜率公式求出直線OM的斜率表達(dá)式，再利用基本不等式即可求得范圍.【詳解】設(shè)，明顯，由題意，則，可得.當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故.故選：C【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合問題、向量的線性運算及坐標(biāo)表示、基本不等式求和的最小值，屬于較難題.12.若函數(shù)在上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】由題意可得，在上有兩個不同的實數(shù)根，等價于在上有兩個不同的實數(shù)根，也等價于直線與的圖像在內(nèi)有兩個交點，所以只需利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的極值、最值和單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)圖像可得結(jié)果.【詳解】解：由題意，令，可得.函數(shù)在上有兩個極值點，則需在上有兩個不同的實數(shù)根，等價于在上有兩個不同的實數(shù)根，也等價于直線與的圖像在內(nèi)有兩個交點.令，則.令，可得在區(qū)間上為減函數(shù)，且.所以當(dāng)時，，故，在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，故，在上為減函數(shù)，所以.又，，所以，所以.故選：D【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)極值、單調(diào)性，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，考查了轉(zhuǎn)化實力和計算實力，屬于中檔題.二、填空題：13.若圓臺的母線與高的夾角為，且上、下底面半徑之差為2，則該圓臺的高為__________.【答案】【解析】【分析】若設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為，，圓臺高為，則由題意可得，，從而可求出圓臺的高.【詳解】設(shè)上、下底面半徑分別為，，圓臺高為，依據(jù)軸截面可知，即，所以.故答案為：【點睛】本題考查圓臺的幾何特征，圓臺中的上、下底面半徑與高的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.14.甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為，他們每次射擊是否擊中目標(biāo)互不影響，則甲恰好比乙多擊中目標(biāo)1次的概率為_________.【答案】【解析】【分析】事務(wù)“甲恰好比乙多擊中目標(biāo)1次”可拆成三個互斥事務(wù)：甲擊中1次乙擊中0次，甲擊中2次乙擊中1次，甲擊中3次乙擊中2次，然后可計算概率．【詳解】甲恰好比乙多擊中目標(biāo)1次分為甲擊中1次乙擊中0次，甲擊中2次乙擊中1次，甲擊中3次乙擊中2次三種情形，其概率.故答案：．【點睛】本題考查相互獨立事務(wù)的概率，考查互斥事務(wù)的概率公式，解題關(guān)鍵是把事務(wù)拆成三個互斥事務(wù)的和．這樣可通過概率公式計算概率．15.設(shè)是等比數(shù)列的前項和，，且，則_________.【答案】4或0【解析】【分析】由，得，從而得，然后得或，進(jìn)而求出公比和通項，即可得結(jié)果.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，由，得，即，所以.若，則，此時；若，則，此時.所以或.故答案為：4或0【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了分類思想和計算實力，屬于基礎(chǔ)題.16.已知大、小兩個球外切，且兩球與一個正四面體的三條側(cè)棱都相切，記大球、小球的半徑分別為，，則的值為________.【答案】【解析】【分析】設(shè)正四面體棱長為，大球球心、小球球心分別為，，取底面的中心為，連接，，先作，易知，再作，則，可得出，，又，進(jìn)而得出和的關(guān)系，最終求出的值即可.【詳解】如圖所示，設(shè)正四面體棱長為，大球球心、小球球心分別為，，取底面的中心為，連接，，可知，都在正四面體的高上，因為大球與三條側(cè)棱都相切，作，易知，又因為小球與三條側(cè)棱相切，且與大球外切，作，則，因為，，所以，所以，，又，所以，所以.【點睛】本題考查空間幾何體與球的相切問題，考查邏輯思維實力和計算實力，考查空間想象實力，屬于常考題.三、解答題：17.在中，角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊角互化得，再結(jié)合內(nèi)角和定理與正弦的和角公式化簡得，即可解決.（2）結(jié)合（1）與余弦定理得，再用面積公式求解即可.【詳解】（1）由，及正弦定理得.又，所以，即.因為，所以.所以.因為，所以.（2）由（1）知，.由余弦定理得.所以.所以.所以的面積.【點睛】本題考查利用正余弦定理解解三角形，考查運算實力，是基礎(chǔ)題.18.如圖，四棱錐中，，，.（1）求證：平面；（2）若，且，平面平面，，求直線與平面所成的角.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取線段的靠近的三等分點為，連接，，則，所以且，再結(jié)合已知可證得四邊形為平行四邊形，從而有，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）取中點為，連接，過作交于，可證得直線，，兩兩垂直，所以以為原點，分別以射線，，的方向為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求直線與平面所成的角.【詳解】（1）如圖，取線段的靠近的三等分點為，連接，.則，所以且.又且,所以四邊形為平行四邊形.所以.又平面，平面，所以平面.（2）如圖，取中點為，連接，過作交于.因為平面平面，，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，平面.所以直線，，兩兩垂直，以為原點，分別以射線，，的方向為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則取，得.所以，所以直線與平面所成的角為45°.【點睛】此題考查了線面平行的證明，求直線與平面所成的角，考查了空間想象實力和計算實力，屬于中檔題.19.某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個零件，質(zhì)檢員小張每天都會隨機地從中抽取50個零件進(jìn)行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對其余全部零件進(jìn)行檢查．依據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和閱歷，這些零件的長度聽從正態(tài)分布（單位：微米），且相互獨立．若零件的長度滿意，則認(rèn)為該零件是合格的，否則該零件不合格．（1）假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為，求及的數(shù)學(xué)期望；（2）小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件，若以此頻率作為當(dāng)天生產(chǎn)零件的不合格率．已知檢查一個零件的成本為10元，而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元．假設(shè)充分大，為了使損失盡量小，小張是否須要檢查其余全部零件，試說明理由．附：若隨機變量聽從正態(tài)分布，則．【答案】（1）見解析（2）須要，見解析【解析】【分析】（1）由零件的長度聽從正態(tài)分布且相互獨立,零件的長度滿意即為合格,則每一個零件的長度合格的概率為,滿意二項分布,利用補集的思想求得,再依據(jù)公式求得；（2）由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可推斷.【詳解】（1）,由于滿意二項分布,故.（2）由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為；若檢查,成本為,由于,當(dāng)充分大時,,所以為了使損失盡量小,小張須要檢查其余全部零件.【點睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用,考查二項分布的期望,考查補集思想的應(yīng)用,考查分析實力與數(shù)據(jù)處理實力.20.已知中心在原點的橢圓的左焦點為，與軸正半軸交點為，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作斜率為、的兩條直線分別交于異于點的兩點、.證明：當(dāng)時，直線過定點.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】分析】（1）在中，計算出的值，可得出的值，進(jìn)而可得出的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，依據(jù)已知條件得出，利用韋達(dá)定理和斜率公式化簡得出與所滿意的關(guān)系式，代入直線的方程，即可得出直線所過定點的坐標(biāo).【詳解】（1）在中，，，，，，，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題不妨設(shè)，設(shè)點，聯(lián)立，消去化簡得，且，，，，，∴代入，化簡得，化簡得，，，，直線，因此，直線過定點.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中直線過定點的問題，考查計算實力，屬于中等題.21.已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在上存在唯一的零點；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）求解出導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點的存在性定理說明在上存在唯一的零點即可；（2）依據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點，推斷出的單調(diào)性，從而可確定，利用以及的單調(diào)性，可確定出之間的關(guān)系，從而的值可求.【詳解】（1）證明：∵，∴.∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，令，，則在上單調(diào)遞減，，故.令，則所以函數(shù)在上存在唯一的零點.（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.∴.由（*）式得.∴，明顯是方程的解.又∵是單調(diào)遞減函數(shù)，方程有且僅有唯一的解，把代入（*）式，得，∴，即所求實數(shù)的值為.【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到推斷函數(shù)在給定區(qū)間上的零點個數(shù)以及依據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)，難度較難.（1）推斷函數(shù)的零點個數(shù)時，可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點的存在性定理進(jìn)行推斷；（2）函數(shù)的“隱零點”問題，可通過“設(shè)而不求”的思想進(jìn)行分析.22.在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與交于、兩點，中點為，的垂直平分線交于、.以為坐標(biāo)原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.（1）求的直角坐標(biāo)方程與點的直角坐標(biāo)；（2）