2025屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之專題突破詳解專題06導(dǎo)數(shù)的幾何意義含解析

II）知,當(dāng)時(shí),.從而在單調(diào)遞減,所以即.取,當(dāng)時(shí),有.因此,對(duì)隨意給定的正數(shù),總存在,當(dāng)時(shí),恒有.注:對(duì)c的分類不同有不同的方式，只要解法正確，均相應(yīng)給分.10.【2014高考重慶理第20題】（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問4分，（Ⅱ）小問3分，（Ⅲ）小問5分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.（Ⅰ）確定的值；（Ⅱ）若，推斷的單調(diào)性；（Ⅲ）若有極值，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）增函數(shù)；（Ⅲ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）由因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，又曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以有，利用以上兩條件列方程組可解的值；（Ⅱ）由（Ⅰ），，當(dāng)時(shí)，利用的符號(hào)推斷的單調(diào)性；（Ⅲ）要使函數(shù)有極值，必需有零點(diǎn)，由于，所以可以對(duì)的取值分類探討，得到時(shí)滿意條件的的取值范圍.試題解析：解：（Ⅰ）對(duì)求導(dǎo)得，由為偶函數(shù)，知，即，因，所以又，故.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，那么故在上為增函數(shù).（Ⅲ）由（Ⅰ）知，而，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.下面分三種狀況進(jìn)行探討.當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意，此時(shí)無極值；當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意，此時(shí)無極值；當(dāng)時(shí)，令，留意到方程有兩根，即有兩個(gè)根或.當(dāng)時(shí)，；又當(dāng)時(shí)，從而在處取得微小值.綜上，若有極值，則的取值范圍為.11.【2015北京理18】（本小題13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的最大值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）證明見解析，（Ⅲ）的最大值為2.【解析】試題分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)在處的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值，再用直線方程的點(diǎn)斜式寫出直線方程；其次步要證明不等式在成立，可用作差法構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，由于，在（0，1）上為增函數(shù)，則，問題得證；第三步與其次步方法類似，構(gòu)造函數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，但須要對(duì)參數(shù)作探討，首先符合題意，其次當(dāng)時(shí)，不滿意題意舍去，得出的最大值為2.試題解析：（Ⅰ），曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，即不等式，對(duì)成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在（0，1）上為增函數(shù)，則，因此對(duì)，成立；（Ⅲ）使成立，，等價(jià)于，；，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在（0，1）上位增函數(shù)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，-0+微小值，明顯不成立，綜上所述可知：的最大值為2.12.【2015課標(biāo)1理21】（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=.(Ⅰ)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線的切線；（Ⅱ）用表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù)，探討h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn).【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點(diǎn)的方程組，解出切點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)的值；（Ⅱ）依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)將分為探討的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，若零點(diǎn)不簡(jiǎn)潔求解，則對(duì)再分類探討.試題解析：（Ⅰ）設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，則，，即，解得.因此，當(dāng)時(shí)，軸是曲線的切線.……5分（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，從而，∴在（1，+∞）無零點(diǎn).當(dāng)=1時(shí)，若，則，,故=1是的零點(diǎn)；若，則，,故=1不是的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，所以只需考慮在（0,1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(ⅰ)若或，則在（0,1）無零點(diǎn)，故在（0,1）單調(diào)，而，，所以當(dāng)時(shí)，在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，在（0，1）無零點(diǎn).(ⅱ)若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)=時(shí)，取的最小值，最小值為=.①若＞0，即＜＜0，在（0,1）無零點(diǎn).②若=0，即，則在（0,1）有唯一零點(diǎn)；③若＜0，即，由于，，所以當(dāng)時(shí)，在（0,1）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在（0,1）有一個(gè)零點(diǎn).…10分綜上，當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn).……12分13.【2015天津理20】（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中.(I)探討的單調(diào)性；(II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,求證：對(duì)于隨意的正實(shí)數(shù)，都有；(III)若關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)根，求證：【答案】(I)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(II)見解析；(=3\*ROMANIII)見解析.【解析】(I)由，可得，其中且，下面分兩種狀況探討：（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：令，解得或，當(dāng)改變時(shí)，的改變狀況如下表：所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.(2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(II)證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，即，則由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以對(duì)隨意的正實(shí)數(shù)都有，即對(duì)隨意的正實(shí)數(shù)，都有.(=3\*ROMANIII)證明：不妨設(shè)，由(II)