山西省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文含解析

PAGE16-山西省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文（含解析）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由二次不等式的解法求再利用集合交集的運算可得，得解.【詳解】解:因所以,故選:C.【點睛】本題考查了二次不等式的解法及集合交集的運算，屬基礎(chǔ)題.2.在空間直角坐標系中，若，，則（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】干脆利用兩點間距離公式計算得到答案.【詳解】，，則.故選：【點睛】本題考查了空間坐標系中兩點間的距離，意在考查學(xué)生的計算實力.3.某中學(xué)初一、初二、初三的學(xué)生人數(shù)分別為500,600,700,現(xiàn)用分層抽樣的方法從這三個年級中選取18人參與學(xué)校的演講競賽,則應(yīng)選取的初二年級學(xué)生人數(shù)為()A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】干脆利用分層抽樣中，每個層次被抽取的概率相等求解即可.【詳解】因為分層抽樣中，每個層次在總體中所占的比例與在樣本中所占的比例相等，所以，應(yīng)選取的初二年級學(xué)生人數(shù)為×18=6，故選B.【點睛】分層抽樣適合總體中個體差異明顯，層次清楚的抽樣，其主要性質(zhì)是，每個層次，抽取的比例相同.4.若直線與平行，則的值為（）A.2 B.1或3 C.3 D.2或3【答案】A【解析】【分析】依據(jù)直線平行得到，解除重合狀況，計算得到答案.【詳解】因為直線與平行所以，解得或當時，這兩條直線重合，解除，故.故選：【點睛】本題考查了依據(jù)直線平行求參數(shù)，忽視掉重合的狀況是簡單犯的錯誤.5.已知是三個不同的平面，是兩條不同的直線，下列推斷正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】B【解析】【分析】依據(jù)直線和平面的位置關(guān)系，依次推斷每個選項的正誤得到答案.【詳解】A.若，，則或相交，錯誤；B.若，，則，同時垂直于一個平面的兩條直線相互平行，正確；C.若，，，則或或異面，錯誤；D.若，，，則或異面，錯誤故選：【點睛】本題考查了直線和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象實力.6.已知兩個單位向量的夾角為60°,向量，則=A. B. C. D.7【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量的模計算公式，即可求出。【詳解】因為，且，所以，故選A?！军c睛】本題主要考查向量的數(shù)量積的定義應(yīng)用以及向量的模的計算公式應(yīng)用。7.點到直線的距離的最小值為（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用點到直線的距離公式得到，依據(jù)三角函數(shù)的有界性得到答案.【詳解】點到直線的距離為：.故選：【點睛】本題考查了點到直線的距離公式和三角函數(shù)的有界性，意在考查學(xué)生的計算實力.8.已知，，，則的邊上的高線所在的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先計算，得到高線的斜率，又高線過點，計算得到答案.【詳解】，高線過點∴邊上的高線所在的直線方程為，即.故選：【點睛】本題考查了高線的計算，利用斜率相乘為是解題的關(guān)鍵.9.光線自點射入，經(jīng)傾斜角為的直線反射后經(jīng)過點，則反射光線還經(jīng)過下列哪個點（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先計算，計算點關(guān)于直線的對稱點為，計算得到直線方程，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為則，解得所以反射光線所在直線方程為當時，；當時，.故過點故選：D.【點睛】本題考查了直線的對稱問題，計算點關(guān)于直線的對稱點是解題的關(guān)鍵.10.已知分別為圓與圓上的動點，為軸上的動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計算圓關(guān)于軸對稱的圓為，的最小值為，計算得到答案.【詳解】圓關(guān)于軸對稱圓為圓則的最小值為.故選：【點睛】本題考查了距離的最值問題，轉(zhuǎn)化為圓心距的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算實力和轉(zhuǎn)化實力.11.唐朝聞名的鳳鳥花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（如圖2）.當這種酒杯內(nèi)壁表面積（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，表面積為平方厘米，半球的半徑為厘米）固定時，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓柱的高度與半球的半徑分別為，計算容積得到，依據(jù)高的關(guān)系得到，計算得到答案.【詳解】設(shè)圓柱的高度與半球的半徑分別為，則，則，所以酒杯的容積，又，所以，所以，解得.故選：【點睛】本題考查了幾何體的體積運算，意在考查學(xué)生的計算實力和空間想象實力.12.若直線與函數(shù)的圖象恰有3個不同的交點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出函數(shù)圖像，直線過定點，依據(jù)直線與圓的上半部和下半部關(guān)系計算得到答案.【詳解】的圖象由圓的下半部分與圓的上半部分組成直線過定點.當直線與圓的上半部分相切時，解得或（舍去）當直線經(jīng)過點時，.數(shù)形結(jié)合可得：.故選：【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的交點問題，畫出函數(shù)圖像依據(jù)函數(shù)圖像求解是解題的關(guān)鍵.第Ⅱ卷二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.設(shè)函數(shù)，則________.【答案】16【解析】【分析】干脆代入數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】故答案為16【點睛】本題考查分段函數(shù)求值，考查運算求解實力14.如圖，某幾何體由兩個同底面的圓錐組合而成，若底面積為，小圓錐與大圓錐的高分別為4和6，則該幾何體的表面積為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)底面積計算底面半徑，再利用表面積公式得到答案.【詳解】底面積為幾何體的表面積為.故答案為：【點睛】本題考查了表面積計算，意在考查學(xué)生的計算實力.15.若圓與圓內(nèi)切，則__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)圓內(nèi)切得到等式，計算得到答案.【詳解】兩圓內(nèi)切，故圓心距等于半徑之差的肯定值即，解得.又，則.故答案為：【點睛】本題考查了圓和圓的位置關(guān)系，依據(jù)位置關(guān)系得到圓心距和半徑之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.16.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為的中點，為線段上的動點，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)長度關(guān)系得到，，將翻折至與平面共面，如圖所示，得到當為與的交點時，取得最小值，利用余弦定理計算得到答案.【詳解】平面，，平面易知：，，在中，.利用余弦定理得到：，所以.將翻折至與平面共面，如圖所示：則圖中，當為與的交點時，取得最小值.此時，.故答案為：【點睛】本題考查了立體幾何中的最值問題，將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的空間想象實力和計算實力.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.17.已知直線經(jīng)過點.（1）若與直線平行，求的方程（結(jié)果用一般式表示）；（2）若在軸上的截距與在軸上的截距相等，求的方程（結(jié)果用一般式表示）.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）依據(jù)平行得到的斜率為2，得到點斜式為，化簡得到答案.（2）依據(jù)直線是否過原點兩種狀況分別計算得到答案.【詳解】（1）因為與直線平行，所以的斜率為2，由點斜式可得，的方程為，即.（2）當直線過原點時，的斜率為，所以的方程為.當直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，代入，得，所以的方程為.綜上所述：的方程為或.【點睛】本題考查了直線方程，探討直線是否過原點是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算實力.18.已知四棱錐的直觀圖如圖所示，其中，，兩兩垂直，，且底面為平行四邊形.（1）證明：.（2）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是該四棱錐的正視圖與俯視圖，請在網(wǎng)格紙上用粗線畫出該四棱錐的側(cè)視圖，并求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）作圖見解析，【解析】【分析】（1）依據(jù)，得到平面，得到證明.（2）干脆畫出側(cè)視圖，利用體積公式干脆計算得到答案.【詳解】（1）因為兩兩垂直，所以，.因為，所以平面.因為平面，所以.（2）該四棱錐的側(cè)視圖如圖所示：依題意可得四邊形為正方形，四棱錐的體積為.【點睛】本題考查了三視圖的應(yīng)用，體積的計算，意在考查學(xué)生的計算實力和空間想象實力.19.分別為內(nèi)角的對邊.已知.(1)若的面積為,求;(2)若,求的周長.【答案】(1).(2)【解析】【分析】(1)由已知，結(jié)合正弦定理可得，再結(jié)合三角形的面積公式，將已知條件代入運算即可；(2)由，結(jié)合余弦定理得,得解.【詳解】解:(1)由,得.因為的面積為,所以.(2)因為,可得由余弦定理得,所以，故的周長為.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.20.如圖，在直四棱柱中，底面為正方形，為的中點，且.（1）證明：平面.（2）若異面直線與所成角的正弦值為，求三棱柱的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，連接交于，連接，證明四邊形為平行四邊形，得到證明.（2）線與所成角即直線與所成角，,證明，再計算得到，利用體積公式計算得到答案.詳解】（1）連接，連接交于，連接.易證，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，，所以異面直線與所成角即直線與所成角，所以.因為底面為正方形，所以，又側(cè)棱垂直底面，所以.因為，所以平面，所以.因為，，所以，所以.故三棱柱的體積.【點睛】本題考查了線面平行，體積的計算，計算出的長度是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算實力和空間想象實力.21.在數(shù)列，中，，，.等差數(shù)列的前兩項依次為，.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)遞推公式計算，，利用等差數(shù)列公式計算得到答案.（2）將題目中兩式相加得到，故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，計算得到通項公式，再利用錯位相減法計算得到答案.【詳解】（1）∵，∴，，則的公差為故的通項公式為.（2），①，②①②得.又，從而是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故.，，，即，即.【點睛】本題考查了通項公式，錯位相減法，變換得到是解題的關(guān)鍵.22.已知直線與圓交于兩點.（1）求的斜率的取值范圍；（2）若為坐標原點，直線與的斜率分別為，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）（2）是定值，詳見解析【解析】【分