中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三講分式（解析版）

模塊一數(shù)與式

第三講分式

知識(shí)梳理夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)1:分式的概念

一般地，如果A,3表示兩個(gè)整式，并且3中含有字母，那么式子A?叫做分式，其中A叫做分式

B

的分子，3叫做分式的分母?！缸⒁?/p>

AI

(1)分式有意義的條件:分母不為零，即怖(BHO):1.分式可以表示兩個(gè)整式相除，其中分子為

!被除式，分母為除式，分?jǐn)?shù)線起除號(hào)和括號(hào)

A?的作用。

(2)分式值為零：分子為零，且分母不為零。即色

B|2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含

(4=0且320)：字母，但分母中必須含有字母，這是區(qū)別分

!式和整式的重要依據(jù)。

知識(shí)點(diǎn)2:分式的基本性質(zhì)?。土Anfcr,唐、/口十八#"/1八皿砧/吉Jarx不n

分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

AA.rAX-C

=(CVO),其中A、B、C是整式。利用分式的基本性質(zhì)可以進(jìn)行約分、

BBCBB+C

通分。

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母的約去，叫做分式的約分，約分

通常是把分式化成最簡(jiǎn)分式或整式。

利用分式的基本性質(zhì)，把異分母分式化成分式，叫做分式的通分。

符號(hào)法則：改變分子、分母及整個(gè)分式三者中任意兩個(gè)的符號(hào)，分式的值不變，即

A-A_A_-A

-B~-B~B

知識(shí)點(diǎn)3：分式的運(yùn)算

1、分式的運(yùn)算法則

aca-c

分式乘法分子的積作積的________,用分母的積作積的分母—?—=---

bdb'd

acad_a'd

分式除法將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式_______

bdbcb'C

分式乘方分子、分母分別________令V

a?ba±b

同分母分式加減分母不變，分子__________——土一二-----

ccc

acadbead±bc

異分母分式加減先________,變?yōu)橥帜傅姆质胶笤傧嗉訙p?！猼--=-----t-------------

bdbdbdbd

分式的混合運(yùn)算:

分式的混合運(yùn)算，有多項(xiàng)式的，一般先因式分解，能約分的進(jìn)行約分；有括號(hào)的先算括號(hào),

有乘方的先算乘方；先乘除后加減。異分母相加減，先通分，化為同分母，再加減。

mi(2—3(5)

例：—；----+。+2---------分式化簡(jiǎn)中的誤區(qū)

ci—2〃ICL—2)

a-3+2)51.注意分式混合運(yùn)算順序

—2)ci—2a—2

a-3〃2—92.分式化簡(jiǎn)不同于解分式方程,化簡(jiǎn)過程中不能去分

〃(〃一2)a-2母.

—__a_—_3_x__a_—__2____

a(a-2)(a+3)(?-3)3.分?jǐn)?shù)線有除號(hào)和括號(hào)兩重作用，同分母分式相加減

_]（分子是多項(xiàng)式）,分子應(yīng)整體加括號(hào).

a(?+3)

2、分式化簡(jiǎn)求值的一般步驟

（1）按運(yùn)算順序?qū)λo分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，化為最簡(jiǎn)分式或整式;

（2）代入求值（代入求值時(shí)要注意使原分式及化簡(jiǎn)過程中出現(xiàn)的分式均有意義）。

直擊中考勝券在握

】?（2。23?黑龍江五常?八年級(jí)階段練習(xí)）在式子誓‘?‘鼻,f+y中'分式的個(gè)數(shù)是

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】

判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式.

【詳解】

解：在式子工，生，樹比，,g+y中，

a7i43+x2

分式的有：二，共有2個(gè).

a3+x

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的定義，正確把握分式的定義是解題的關(guān)鍵.分式的概念：一般地，如果43表示兩個(gè)

A

整式，并且8中含有字母，那么式子工叫做分式.

D

2.（2023?浙江寧波?中考真題）要使分式一二有意義，x的取值應(yīng)滿足（）

x+2

A.xwOB.力一2c.x>-2D.x>-2

【答案】B

【分析】

由分式有意義，分母不為零，再列不等式，解不等式即可得到答案.

【詳解】

解：分式」有意義，

x+2

x+2w0,

二.xw—2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是分式有意義的條件，掌握"分式有意義，則分母不為零”是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?山東昌樂?八年級(jí)期中）當(dāng)x=l時(shí)，下列分式?jīng)]有意義的是（）

X+1XcX—14X

A.--B.--C.-------D.--

Xx-lXx+1

【答案】B

【分析】

由分式有意義的條件分母不能為零判斷即可.

【詳解】

二；，當(dāng)時(shí)，分母為零,分式無(wú)意義.

X-1

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查分式有意義的條件，關(guān)鍵在于牢記有意義條件.

4.（2023?山東臨沂?中考真題）計(jì)算（。-+d一切的結(jié)果是（）

ba

a_a「b_b

A.—B.-C.—D,一

bbaa

【答案】A

【分析】

根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【詳解】

ab—1a

=---------x---------

b1-ab

a

b

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.

5.（2023?黑龍江綏化?中考真題）若式子7片

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，貝口的取值范圍是（)

A.x>-lB.%2一1且xwOC.%>一1且xwOD.xwO

【答案】C

【分析】

要使式子高

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須保證根號(hào)下為非負(fù)數(shù)，分母不能為零，零指數(shù)塞的底數(shù)也不能

為零，滿足上述條件即可.

【詳解】

解：式子^^在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,

必須同時(shí)滿足下列條件：

x+l>0,Jx+1w0,xwO,

綜上：］>-1且xwO,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分式有意義的條件，二次根式有意義的條件，零指數(shù)幕有意義的條件，當(dāng)上述式子同時(shí)出現(xiàn)

則必須同時(shí)滿足.

6.（2023?江蘇蘇州?中考真題）已知兩個(gè)不等于0的實(shí)數(shù)。、6滿足a+b=0,則+：等于（）

ab

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】

先化簡(jiǎn)式子，再利用配方法變形即可得出結(jié)果.

【詳解】

#刀?/?ab2+a2

abab

122

向bab+a（a+b）-lab

ababab

團(tuán)兩個(gè)不等于0的實(shí)數(shù)，、匕滿足a+b=0,

!a_（a+b）'-2ab_-2ab_2

ababab

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查分式的化簡(jiǎn)、配完全平方、靈活應(yīng)用配方法是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）當(dāng)x=-2時(shí)，分式3人一27的值是（）

9+6x+x

A.-15B.-3C.3D.15

【答案】A

【分析】

先把分子分母進(jìn)行分解因式，然后化簡(jiǎn)，最后把x=-2代入到分式中進(jìn)行正確的計(jì)算即可得到答案.

【詳解】

3/-27

解:

9+6x+x2

3（X2-9）

（X+3『

（X+3『

3（x-3）

x+3

把x=-2代入上式中

原式

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行求解運(yùn)算.

X2-9

8.（2023?北京市平谷區(qū)峪口中學(xué)八年級(jí)期中）分式值為。的條件是x的值為（）

x+3

A.±3B.3C.-3D.0

【答案】B

【分析】

由題意根據(jù)分式的值為零的條件即分子等于0,同時(shí)分母不能為0,可以求出x的值.

【詳解】

T2-0

解：0-——=0,

x+3

團(tuán)x?_9=0，解得x=±3,

%+3w0,解得x~3,

綜上x=3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分式的值為零的條件，熟練掌握分子為。的同時(shí)，分母不能為0是解決此題的關(guān)鍵.

9.（2023?山東寒亭?八年級(jí)期中）下列變形正確的是（）

aaba-a

A.B.--------=——

廠瓦-b—cb-c

—/+2a—1ci—1xx+2

C.D.--------

/—1Q+1jy+2

【答案】A

【分析】

利用分式的基本性質(zhì)判斷即可.

【詳解】

解：49黑原式變形正確，符合題意；

bb?bb

B、二:\=原式變形錯(cuò)誤；不符合題意;

-b-cb+c

—a2+2a—1(Q-1)―(Q-1)—a+1

原式變形錯(cuò)誤；不符合題意;

Q2—1—+Q+1Q+1

Y+2

。、T-分式分子分母同時(shí)加一個(gè)數(shù)，分?jǐn)?shù)值有變化，原式變形錯(cuò)誤；不符合題意;

yy+2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查分式的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì).

10.（2023?山東寒亭?八年級(jí)期中）已知y=則=（）

l-2xy-xy-x

17

A.——B.-7C,—D.-5

33

【答案】B

【分析】

上代入2A3移2y

將＞=即可求解.

l-2xy-xy-x

【詳解】

x八、、2x-3>xy-2y

解:將y匚五代入孫_尤

)3x22x

2工-1-2元

得:

xx2

--------------X

1—2x1—2x

2%(1-2x)-3爐—2元

x—x—x(l-2x)

2x-4%2—3/—2x

x—X2—x+

-7x2

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵是正確化簡(jiǎn)分式.

11.（2023?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列式子中①-2=上；②>一=上；③"=口；④士,

x-x-y+xy+xx尤-bb

中，正確的有（）.

A.①②③④B.①③④C.①②③D.只有④

【答案】B

【分析】

分式的基本性質(zhì)：分式的分子分母都乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)或整式，分式的值不變，利用分式的基

本性質(zhì)逐一判斷即可得到答案.

【詳解】

解：-上=上，正確，故①符合題意;

X-X

一尤_（一尤）_______X____

_y+x-（-y+.r）y-尤

-2=—,正確，故③符合題意；

XX

3=二胃與故④符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是分式的基本性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)判斷分式變形是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?四川南充?中考真題）=3,則^+2=

n-mnm

17

【答案】V

4

【分析】

先根據(jù)"'=3得出m與n的關(guān)系式，代入Z^+4化簡(jiǎn)即可；

n-mnm

【詳解】

n-m

[?|n+m=3（n—m）,

團(tuán)幾=2m,

「療n2m24m217

團(tuán)F+F=—2+^~=—

nm4mm4

17

故答案為：—

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的混合運(yùn)算，得出〃=2根是解決本題的關(guān)鍵.

13.（2023?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：+-

V1-aya-a

【答案】-。

【分析】

分式的混合運(yùn)算，根據(jù)分式的加減乘除混合運(yùn)算法則可以解答本題，括號(hào)里先通分運(yùn)算，再進(jìn)行括號(hào)外的

除法運(yùn)算，即可解答本題.

【詳解】

11

*o

l-aa-a

=---xa(a

l-a'

--a

故答案是：-a

【點(diǎn)睛】

本題考查的是分式的混合運(yùn)算，能正確運(yùn)用運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

OQ

14.（2023?四川自貢?中考真題）化簡(jiǎn)：二-.

【分析】

利用分式的減法法則，先通分，再進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】

2_________8

ci—2+-2)

2(々+2)8

(a+2)(a—2)(a+2)(〃_2)

2(?-2)

+2)(a—2)

2

。+2

2

故答案為：

a+2

【點(diǎn)睛】

本題考查分式的減法，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

_____Y-L3x—1Y—Q

15.（2023?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）當(dāng)x=V^T+3時(shí)，代數(shù)式（手-Q+土士的值是

x-3xx-ox+9x

1

【答案】

2021

【分析】

先根據(jù)分式的加減乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，然后再代入彳求值即可.

【詳解】

解：由題意可知:

%+3x-1x

原式=X

x(x-3)(x-3)2x-9

(%+3)(%—3)x(x—1)x

x

2

x(尤—3)2x(x-3)x-9

f—9一爐+XX

X

了（尤-3）一x-9

x-9x

x

x(x-3)2x-9

1

(x-3)2'

11

當(dāng)尤=J'2021+3時(shí),原式二

“2021+3-3)2-2021'

1

故答案為:

2021

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的加減乘除混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，運(yùn)算過程中細(xì)心即可求解.

16.（2023?山東榮成?八年級(jí)期中）已知d-5x+l=0,則/+!的值是

【答案】23

【分析】

由必-5工+1=0可得方程的解xwO,再兩邊都除以x可得：》+工=5,再兩邊平方，從而可得答案.

X

【詳解】

解：「%2-5x+l=O,

\x?O,x5+—=0,

X

\x+—=5,

X

兩邊平方：X2+2+4=25,

故答案為：23

【點(diǎn)睛】

本題考查的是分式的求值，等式的基本性質(zhì)，方程的解的含義，掌握利用把兀+工=5兩邊平方求解/+[

xx

的值是解本題的關(guān)鍵.

4x-9AB

17.（2023?湖南?衡南縣北斗星中學(xué)八年級(jí)期中）若（3r+2）（1）=ThW3為常數(shù)），則A?8

的值為.

【答案】7

【分析】

通過通分得到分子的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，從而求得48的值，則易求ASB的值.

【詳解】

nAB_（x-l）A-（3x+2）B_（A-3B）x-（A+2B）

*牛，03x+2x—1（3尤+2）（無(wú)一1）（3x+2）（尤一1）'

a___4_x_-_9___JA-3B)X-(A+2B)

(3x+2)(x-l)(3x+2)(x-l)

A—35=4A=7

團(tuán)A+2B=9'解得

B=1

回4_B=7x1=7.

故答案是：7.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的加減法，先通分，然后進(jìn)行同分母分式加減運(yùn)算.

Y2-934

18.(2023?重慶?中考真題)計(jì)算：2,■，十x-\--------

X+2x+lx+\

【答案】十

X+1

【詳解】

尤2_9(3-白

觸77寸1+R

_(x+3)(x-3)_(X2+X+3-X2^\

--(尤+爐［--)

_(x+3)(x-3)x+1

(x+1)2'^3

_x-3

x+1

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

19.(2023?四川瀘州?中考真題)化簡(jiǎn)：(〃+二)?二4.

a+2a+2

【答案】CL—1.

【分析】

首先將括號(hào)里面進(jìn)行通分運(yùn)算，進(jìn)而合并分子化簡(jiǎn)，再利用分式除法法則計(jì)算得出答案.

【詳解】

■&力/1-4-da—1

解：

,(^+2tz1—4a、a—1

=(---------+--------)+------

a+2。+2。+2

a2—2〃+1a—1

。+2a+2

(〃—a+2

---------?------

a+2a—1

ci—1.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了分式的混合運(yùn)算，正確進(jìn)行分式的通分運(yùn)算是解答此題的關(guān)鍵.

2。.（2。23?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）先化簡(jiǎn)再求值：營(yíng)|-其中It-28s3。。.

【答案】華

【分析】

先將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，根據(jù)分式的加減乘除混合運(yùn)算法則，先對(duì)括號(hào)里的進(jìn)行通分，再將除法轉(zhuǎn)化為

乘法，約分化簡(jiǎn)即可.

【詳解】

x+2x-2)

解：原式=

尤-2（犬-2）

_(x+2xjx-2

\x-2x-2Jx-4

2x-2

x—2x—4

2

x-4'

當(dāng)x=4tan45°+2cos30=4xl+2x=4+A/3時(shí),

2

原式二￡zz

2>/3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分式的加減乘除混合運(yùn)算，熟練應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分是解題的關(guān)鍵.

21.（2023?山東聊城?中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值："+小學(xué)其中?=-：.

【答案】2一;6

【分析】

先把分式化簡(jiǎn)后，再把a(bǔ)的值代入求出分式的值即可.

【詳解】

2a+14—2a(2a—1)—(a+1)(〃—1)

解：原式=±0+土1

Q+1a—1

2。+1a2—2a