湖南省長沙市望城區(qū)長郡斑馬湖中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年下學(xué)期長郡斑馬湖中學(xué)高三入學(xué)考試數(shù)學(xué)考試范圍：選修部分；滿分150分，考試時間：120分鐘．注意事項:1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效．3．考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)函數(shù),則使成立的的取值范圍是A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：，定義域為，∵，∴函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知：得成立，∴，∴，∴的范圍為故答案為A.考點：抽象函數(shù)的不等式.【思路點晴】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)和利用偶函數(shù)圖象的特點解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)牢記．根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式可知函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)在大于零的單調(diào)性為遞增，根據(jù)偶函數(shù)關(guān)于原點對稱可知，距離原點越遠(yuǎn)的點，函數(shù)值越大，把可轉(zhuǎn)化為，解絕對值不等式即可．2.若數(shù)列的通項公式為，則其前10項和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用裂項相消法求和即可求和.【詳解】由于故其前10項和為，故選：C．3.已知數(shù)列的前項和為，則的值為（）A. B.99 C. D.40【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的定義即可代入求解.【詳解】,故選：D4.等差數(shù)列，，-2，，，則是這個數(shù)列的第（）項A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出等差數(shù)列的通項公式，再計算求出項數(shù).【詳解】由等差數(shù)列前幾項可得，該等差數(shù)列首項為，公差為-2，則該等差數(shù)列通項公式為，令，則則是這個數(shù)列的第項，故選：C．5.是等差數(shù)列，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等差中項即可求解.【詳解】，故選：D6.已知直線過點，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線的斜率，由斜率與傾斜角關(guān)系即可求解.【詳解】由題可得：，所以直線的傾斜角為：；故選：C7.過點，傾斜角為的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得直線的斜率，可得點斜式方程，化為一般方程可得.【詳解】由題可得直線的斜率為，所以直線方程為：，化簡可得：；故選：B8.已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為，離心率為，若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由拋物線的定義可求出的值，進(jìn)而確定點的坐標(biāo)，再結(jié)合雙曲母的的幾何性與兩條直線的垂直關(guān)系，可求出的值，從而可求出雙曲線的方程【詳解】設(shè)拋物線的焦點為，則拋物線的定義可得，解得，所以拋物線的方程為，因為點在拋物線上，所以，得，所以，由題意得，雙曲線的漸近線方程為，因為離心率為，所以，所以，得，因為雙曲線的一條漸近線與直線垂直，所以，得，所以由，得，所以雙曲線的方程為，即，故選：C二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.以下說法正確的是（）A.將4封不同的信全部投入3個郵筒，共有64種不同的投法B.將4本不同數(shù)學(xué)書和2本不同的物理書排成一排，且物理書不相鄰的排法有480種C.若隨機變量，且，則D.若隨機變量，則【答案】BC【解析】【分析】按照分步乘法計數(shù)原理判斷A，利用插空法判斷B，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷C，根據(jù)二項分布的方差公式求出，再根據(jù)方差的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A：第1封信可以投入3個信箱中任意一個，有3種投法；同理，第2，3，4封信各有3種投法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種投法．故A錯誤；對于B：先排4本不同的數(shù)學(xué)書有種排法，再將2本不同的物理書插空有種排法，所以共有種不同的排法，故B正確；對于C：因為，且，所以，故C正確；對于D：因為，所以，所以，故D錯誤；故選：BC10.下列命題中是真命題的有（）A.若，則B.在線性回歸模型擬合中，若相關(guān)系數(shù)越大，則樣本的線性相關(guān)性越強C.有一組樣本數(shù)據(jù)，.若樣本的平均數(shù)x=2，則樣本的中位數(shù)為2D.投擲一枚骰子10次，并記錄骰子向上的點數(shù)，平均數(shù)為2，方差為1.4，可以判斷一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)二項分布期望公式、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、方差的定義逐一判斷即可.詳解】對于，若，則，故A正確；對于B，若越大，則樣本的線性相關(guān)性越強，故B不正確；對于C，有兩種情況：1，2，3和2，2，2，故C正確；對于D，若出現(xiàn)點數(shù)6，則，此時其方差不可能是1.4，所以D正確．故選：ACD．11.如圖所示，正方體中，給出以下判斷，其中正確的有（）A.面 B.C.與是異面直線 D.與平面夾角余弦為【答案】ABCD【解析】【分析】由正方體的性質(zhì)，應(yīng)用線面垂直判定、異面直線定義、線面角的定義判斷各項正誤.【詳解】由面，故面，A對；由，即為平行四邊形，則，B對；由面，面，且面面，與不平行，與是異面直線，C對；由正方體易知：面，故為與平面夾角，若正方體的棱長為1，則，D正確.故選：ABCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在等差數(shù)列中，若則________．【答案】【解析】【分析】應(yīng)用等差數(shù)列項的性質(zhì)計算求解即可.【詳解】因為成等差數(shù)列，公差為，所以，故答案為:．13.通過點，并且與軸平行的直線方程為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線與軸平行得出縱坐標(biāo)即可寫出直線方程.【詳解】通過點，并且與軸平行的直線上的點的縱坐標(biāo)都為，所以所求直線方程為.故答案為：．14.某種平面分形圖如下圖所示，一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為；二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段,且這兩條線段與原線段兩兩夾角為；……；依此規(guī)律得到級分形圖．（1）4級分形圖中共有______條線段；（2）級分形圖中所有線段長度之和為______.【答案】①45②.【解析】【分析】（1）觀察圖像，總結(jié)規(guī)律，找到數(shù)列通項公式，代入求值即可.（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】（1）顯然當(dāng)時，有3條線段，當(dāng)時，3條線段的另一端各增加2條線段，所以新增線段條，故此時共有條線段；當(dāng)時，在時新增的線段的另一端各增加2條線段，所以新增線段條，故此時共有條線段；依次類推，每次都是在上一次的新增線段的另一端各增加2條線段，所以推斷出級分形圖中，有線段條，所以4級分形圖中共有條線段.（2）設(shè)級分形圖中所有線段長度之和為，根據(jù)題意，，，顯然構(gòu)成一個首項為3，公比為的等比數(shù)列的和.所以.故答案為：45；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在等差數(shù)列中，（Ⅰ）求通項；（Ⅱ）求此數(shù)列前30項的絕對值的和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）765【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）由題意可得：進(jìn)而得到數(shù)列通項公式為；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得當(dāng)時，，所以采用分組求和即可試題解析：（Ⅰ）∵即．∴．∴．（Ⅱ）由，則．∴=．考點：1．求數(shù)列通項公式；2．?dāng)?shù)列求和16.甲?乙?丙三名高中生進(jìn)行傳球訓(xùn)練.第一次由甲將球傳出，傳給乙的概率是，傳給丙的概率是；乙傳給甲和丙的概率都是；丙傳給甲和乙的概率地都是.如此不停地傳下去且假定每次傳球都能被接到，記開始傳球的人為第一次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為.（1）求；（2）證明：為等比數(shù)列.【答案】（1），，；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)互斥事件及相互獨立事件的概率公式進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)題意得到，變形后根據(jù)等比數(shù)列的定義證明即可.【小問1詳解】根據(jù)題意知，，.【小問2詳解】把第次觸球者是甲的概率記為，當(dāng)時，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，則而，故,即，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.17.已知數(shù)列an的前項和為，．（1）求數(shù)列an（2）設(shè)，證明bn是等比數(shù)列；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項和【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)分段求出數(shù)列通項；（2）應(yīng)用等比數(shù)列定義證明即可；（3）應(yīng)用等差、等比求和公式分組求和即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】，因為是常數(shù)，，故bn【小問3詳解】bn是等比數(shù)列，首項是，公比是，，，所以．18.已知圓過點，且與圓關(guān)于直線對稱．（1）判斷圓與圓的位置關(guān)系，并說明理由；（2）過點作兩條相異直線分別與相交于，．①若直線和直線互相垂直，求的最大值；②若直線和直線與軸分別交于點、，且，為坐標(biāo)原點，試判斷直線和是否平行？請說明理由．【答案】（1）圓與圓外切，理由見解析（2）①最大值為；②平行，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)對稱關(guān)系求出圓方程，從而求出圓心距，即可判斷兩圓位置關(guān)系；（2）①方法一：令、即，為過點的兩條弦，設(shè)、被圓所截得弦的中點分別為、，弦長分別為，，由垂直關(guān)系可得四邊形是矩形，即，進(jìn)而根據(jù)半弦長，弦心距，圓半徑構(gòu)造直角三角形，滿足勾股定理，得到，進(jìn)而由基本不等式，得到的最值，從而求得結(jié)果；方法二：分類討論直線與中有一條直線的斜率不存在和直線與斜率都存在，且互為倒數(shù)，兩種情況下的值，最后綜合討論結(jié)果得到答案.②由已知直線和直線與軸分別交于點、，且，可得直線與斜率都存在，且互為相反數(shù)，可設(shè)，，求出，坐標(biāo)后，代入斜率公式，判斷直線和的斜率是否相等，即可得到答案.【小問1詳解】由題可得圓圓心為，設(shè)圓心，則，解得則圓的方程為，將點的坐標(biāo)代入得，故圓的方程為，又兩半徑之和為，圓與圓外切．【小問2詳解】方法一：令、即，為過點的兩條弦，設(shè)、被圓所截得弦的中點分別為、，弦長分別為，，因為四邊形是矩形，所以，即，化簡得從而，時取等號，此時直線，必有一條斜率不存在）綜上：、被圓所截得弦長之和的最大值為方法二：若直線與中有一條直線的斜率不存在，則，此時若直線與斜率都存在，且互為負(fù)倒數(shù)，故可設(shè)，即，，點到的距離為，同理可得點到的距離為，，，綜上：、被圓所截得弦長之和的最大值為②直線和平行，理由如下：由題意知，直線和直線的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)，，由，得，因為的橫坐標(biāo)一定是該方程的解，故可得，同理，所以，，所以，直線和一定平行．19.已知雙曲線的右焦點為，離心率為，且過點，過點的直線與的右支交于，兩點．（1）記直線，的斜率分別為，，求的值（2）以為直徑的圓記為圓，是否存在定圓與圓內(nèi)切若存在，求出定圓的方程若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線焦點和離心率求出基本量，再聯(lián)立方程組應(yīng)用韋達(dá)定理得出斜率乘積定值即可；（2）設(shè)出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合圓的相關(guān)概念求得圓E方程，結(jié)合對稱性得到定圓圓心的位置，設(shè)出定圓方程，結(jié)合兩圓內(nèi)切的概念列出方程求解即可．【小問1詳解】由題意知解得a=2，，，所以的方程為，易得，顯然