對(duì)數(shù)8種常見(jiàn)考法歸類(lèi)

對(duì)數(shù)8種常見(jiàn)考法歸類(lèi)1、對(duì)數(shù)的概念（1）對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．注：在對(duì)數(shù)的定義中為什么不能取a≤0及a＝1呢？a<0，N取某些值時(shí)，logaN不存在，如根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知，不存在實(shí)數(shù)x使eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))x＝2成立，所以a不能小于0.a＝0，N≠0時(shí)，不存在實(shí)數(shù)x使ax＝N，無(wú)法定義logaN；N＝0時(shí)，任意非零實(shí)數(shù)x，有ax＝N成立，logaN不確定．a(chǎn)＝1，N≠1時(shí)，logaN不存在；N＝1，loga1有無(wú)數(shù)個(gè)值，不能確定．（2）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)2、對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系一般地，有對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：(1)若a>0，且a≠1，則ax＝N?logaN＝x.(2)對(duì)數(shù)恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．注：不是任何一個(gè)指數(shù)式都可以化為對(duì)數(shù)式，只有底數(shù)大于零且不等于1時(shí)才可互化．3、對(duì)數(shù)的性質(zhì)（1）loga1＝0(a>0，且a≠1)．（2）logaa＝1(a>0，且a≠1)．（3）零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)．（4）當(dāng)，且時(shí)，．4、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．拓展：＝eq\f(n,m)logaM(n∈R，m≠0)5、換底公式（1）logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．（2）對(duì)數(shù)換底公式的重要推論①logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．②＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)．③logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．注：換底公式中底數(shù)c是是大于0且不等于1的任意數(shù)．（3）可用換底公式證明以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤.6、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的思路(1)指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)，底數(shù)不變，寫(xiě)出對(duì)數(shù)式．(2)對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫(xiě)出指數(shù)式．7、對(duì)數(shù)式中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定條件下求對(duì)數(shù)的值，或求對(duì)數(shù)式中參數(shù)字母的值，要注意利用方程思想求解．(2)基本方法①將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)問(wèn)題．②利用冪的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)的性質(zhì)計(jì)算．8、利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)求值的方法(1)求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)對(duì)數(shù)的兩個(gè)結(jié)論loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，進(jìn)行變形求解，若已知對(duì)數(shù)值求真數(shù)，則可將其化為指數(shù)式運(yùn)算．(2)已知多重對(duì)數(shù)式的值，求變量值，應(yīng)從外到內(nèi)求，逐步脫去“l(fā)og”后再求解．9、對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)與求值的基本原則和方法(1)基本原則：對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)求值一般是正用或逆用公式，對(duì)真數(shù)進(jìn)行處理，選哪種策略化簡(jiǎn)，取決于問(wèn)題的實(shí)際情況，一般本著便于真數(shù)化簡(jiǎn)的原則進(jìn)行．(2)兩種常用的方法：①“收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)；②“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)．10、利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的原則和技巧11、利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化求值的方法(1)在對(duì)數(shù)式、指數(shù)式的互化運(yùn)算中，要注意靈活運(yùn)用定義、性質(zhì)和運(yùn)算法則，尤其要注意條件和結(jié)論之間的關(guān)系，進(jìn)行正確的相互轉(zhuǎn)化．(2)對(duì)于連等式可令其等于k(k>0)，然后將指數(shù)式用對(duì)數(shù)式表示，再由換底公式可將指數(shù)的倒數(shù)化為同底的對(duì)數(shù)，從而使問(wèn)題得解．考點(diǎn)一對(duì)數(shù)的定義理解考點(diǎn)二指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化考點(diǎn)三解對(duì)數(shù)方程考點(diǎn)四利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)求值考點(diǎn)五對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用考點(diǎn)六換底公式的應(yīng)用考點(diǎn)七用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)考點(diǎn)八對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一對(duì)數(shù)的定義理解1．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）判斷正誤（正確的寫(xiě)正確，錯(cuò)誤的寫(xiě)錯(cuò)誤）（1）對(duì)數(shù)log39和log93的意義一樣．()（2）（－2）3＝－8可化為log（－2）（－8）＝3.()（3）對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是求冪指數(shù)．()（4）若lnN＝2，則N＝2e.()【答案】錯(cuò)誤錯(cuò)誤正確錯(cuò)誤【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算判斷即可.【詳解】（1）底數(shù)及真數(shù)不同，表示不同的對(duì)數(shù)，故錯(cuò)誤；（2）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，故錯(cuò)誤；（3）根據(jù)對(duì)數(shù)的意義知，故正確；（4）可得，故錯(cuò)誤.故答案為：錯(cuò)誤；錯(cuò)誤；正確；錯(cuò)誤2．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）有下列說(shuō)法：①以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)；②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式；③以e為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù)；④零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù).其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)，一一判斷每個(gè)選項(xiàng)，可得答案.【詳解】根據(jù)常用對(duì)數(shù)以及自然對(duì)數(shù)的概念可知①③正確，根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可知④正確，只有當(dāng)且時(shí)，指數(shù)式才可以化成對(duì)數(shù)式，②錯(cuò)誤，故選：C3．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）有以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則，其中正確的是（

）A．①② B．②④C．①③ D．③④【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義即可求得答案.【詳解】由對(duì)數(shù)定義可知，，①正確；，②正確；對(duì)③，，錯(cuò)誤；對(duì)④，，錯(cuò)誤.故選：A.4．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知對(duì)數(shù)式有意義，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由對(duì)數(shù)式的意義列不等式組求解可得.【詳解】由有意義可知，解得且，所以a的取值范圍為.故選：B考點(diǎn)二指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化5．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）將下列指數(shù)式改寫(xiě)為對(duì)數(shù)式（，且）：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)椋ǎ遥?，所?（2）因?yàn)椋ǎ遥?，所?（3）因?yàn)椋?，且），所?（4）因?yàn)椋?，且），所?6．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）將下列指數(shù)式改寫(xiě)為對(duì)數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化公式，即可求解.【詳解】（1）（且）化為對(duì)數(shù)式是，所以化為對(duì)數(shù)式是；（2），對(duì)數(shù)式是；（3），對(duì)數(shù)式是；（4），對(duì)數(shù)式是.7．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）將下列對(duì)數(shù)式改寫(xiě)為指數(shù)式（，且）：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所?（3）因?yàn)?，所?（4）因?yàn)?，所?8．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）將下列對(duì)數(shù)式改寫(xiě)為指數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則即可將（1）~（4）化為相對(duì)應(yīng)的指數(shù)式.【詳解】（1）由可得；（2）由可得；（3）由可得；（4）由可得9．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】可化為，由此化簡(jiǎn)各個(gè)小問(wèn)?！驹斀狻浚?）因?yàn)?，所以?）因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，所以考點(diǎn)三解對(duì)數(shù)方程10．（2023·上海·高一專(zhuān)題練習(xí)）若，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用對(duì)數(shù)中底數(shù)和真數(shù)的范圍，可得出關(guān)于的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】對(duì)于等式，有，解得且，因此，的取值范圍是.故答案為：.11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則．【答案】/【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的概念運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以.故答案為：.12．（2023秋·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）若，則x的值為．【答案】4【分析】利用對(duì)數(shù)的定義和，建立方程組即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，解得．故答案為?.13．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）方程的根為（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)把原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0.【詳解】由，得，即，解得，所以方程的根為.故選：B14．（2023·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）若，則.【答案】【分析】由對(duì)數(shù)的概念運(yùn)算求解即可.【詳解】由對(duì)數(shù)運(yùn)算的定義，有∵，∴，∴，∴.故答案為：.15．（2023秋·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知，試求的值．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的恒等式進(jìn)行求解即可.【詳解】，.考點(diǎn)四利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)求值16．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義域，將代入解析式求，進(jìn)而求的值.【詳解】由，所以.故答案為：17．（2023秋·甘肅蘭州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．0 D．【答案】A【分析】先求，再求的值.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A18．（2023秋·山東青島·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)，結(jié)合指對(duì)數(shù)運(yùn)算求解即可?！驹斀狻拷猓阂?yàn)椋?，所以故答案為?9．（2023秋·黑龍江大慶·高三大慶市東風(fēng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．【答案】【分析】利用分段函數(shù)的解析式求出和再相加可得結(jié)果.【詳解】，，，.故答案為：.20．（2023秋·安徽六安·高一六安二中校考期末）定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，則.【答案】2【分析】根據(jù)分段函數(shù)，結(jié)合周期性，代入求值.【詳解】因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)的周期為5，所以.故答案為：2考點(diǎn)五對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用21．（2023秋·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）．【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算律計(jì)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故答案為：.22．（2023秋·天津?yàn)I海新·高三大港一中?？茧A段練習(xí)）.【答案】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】原式.故答案為：.23．（2023秋·山東泰安·高三山東省泰安第二中學(xué)校考階段練習(xí)）【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】原式.故答案為：.24．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的概念、運(yùn)算性質(zhì)及換底公式計(jì)算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.25．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)10(2)5(3)18(4)1(5)(6)2【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則與性質(zhì)即可得到答案.【詳解】（1）（2）（3）（4）（5）（6）考點(diǎn)六換底公式的應(yīng)用26．（2023秋·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C．4 D．5【答案】A【分析】利用指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的關(guān)系可得a的值，再根據(jù)換底公式可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A27．（2023秋·遼寧·高三大連二十四中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)，若，則（

）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】由題，將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式，求出，，代入，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可計(jì)算得答案.【詳解】由，知，且，，，所以，．故選：C．28．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）若，且，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】36【分析】利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化表示出，，的值，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求出值.【詳解】，，，，則，，即.故答案為：3629．（2023秋·天津河?xùn)|·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則．【答案】1【分析】利用對(duì)數(shù)的定義，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】由，得，則，由，得，所以.故答案為：130．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則．【答案】【分析】先根據(jù)指數(shù)運(yùn)算求出的值，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)求得值，代入求出的值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，所以，所以．故答案為?31．（2023秋·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則．【答案】【分析】由指對(duì)互化可表示出，根據(jù)對(duì)數(shù)換底公式可得，加和即可求得結(jié)果.【詳解】由得：，，，，.故答案為：32．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）利用對(duì)數(shù)的換底公式計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】（1）；（2）.33．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）利用換底公式證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用換底公式證明（2）利用換底公式結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)證明即可【詳解】（1）由換底公式得，，因此．（2）由換底公式得，．34．【多選】（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】取對(duì)數(shù)，利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)A，由，可得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，由，得，因?yàn)?，所以，所以B正確；對(duì)C，由，，可得，，所以，所以C正確；對(duì)D，由，，可得，因?yàn)?，所以等?hào)不成立，所以，又，所以，所以D正確.故選：BCD考點(diǎn)七用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)35．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）用，，表示下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)即可.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）.36．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）用m，n或b，c表示x，其中m，n，a，b，c均大于0，且．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)定義和運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)閙，n均大于0，且，所以.（2）因?yàn)閍，b，c均大于0，且，則，所以.37．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值（用來(lái)表示）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：（1）由，即，則，所以，又由，因?yàn)?，可得，所以，所以?）由，可得，又由，所以，則.38．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）計(jì)算；（2）設(shè)，試用表示；（3）設(shè)是非零實(shí)數(shù)，，求的值.【答案】（1）2；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)即可求解；（2）利用換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求解；（3）根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征，求出，再由平方差公式計(jì)算即可.【詳解】（1）.（2）.（3）由，得，所以.所以.考點(diǎn)八對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用39．【多選】（2023秋·湖北·高三黃石二中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化得到，，，對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)即可判斷；根據(jù)對(duì)數(shù)的換底公式得到，即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，利用作差法和換底公式結(jié)合基本不等式即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)：