人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè) 數(shù)學(xué)歸納法 分層作業(yè)(含解析)

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)數(shù)學(xué)歸納法分層作業(yè)(原卷版)(60分鐘100分)eq\f(基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練,基礎(chǔ)考點(diǎn)分組訓(xùn)練)知識(shí)點(diǎn)1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1．(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝eq\f(n＋3n＋4,2)(n∈N*)時(shí)，第一步驗(yàn)證n＝1，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋42．(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，則當(dāng)n＝k＋1(n∈N*)時(shí)，等式左邊應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．eq\f(k＋14＋k＋12,2)D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)23.(10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)．知識(shí)點(diǎn)2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式4.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)>eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2)，假設(shè)n＝k時(shí)，不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是___________________________．eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f(1,k＋22)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3)5.(10分)證明不等式1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))<2eq\r(n)(n∈N*)．知識(shí)點(diǎn)3用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題6.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋2＋52n＋1能被14整除的過程中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1應(yīng)變形為.7.(10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)．eq\f(能力提升練,能力考點(diǎn)適度提升)8.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＝eq\f(1－an＋1,1－a)(a≠1，n∈N*)，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a39．(5分)利用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)<1(n∈N*，且n≥2)，第二步由k到k＋1時(shí)不等式左端的變化是()A．增加了eq\f(1,2k＋1)這一項(xiàng)B．增加了eq\f(1,2k＋1)和eq\f(1,2k＋2)兩項(xiàng)C．增加了eq\f(1,2k＋1)和eq\f(1,2k＋2)兩項(xiàng)，減少了eq\f(1,k)這一項(xiàng)D．以上都不對(duì)10．(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步歸納遞推中的假設(shè)應(yīng)寫成()A．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N*)時(shí)正確，再推n＝2k＋3時(shí)正確B．假設(shè)n＝2k－1(k∈N*)時(shí)正確，再推n＝2k＋1時(shí)正確C．假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)正確，再推n＝k＋1時(shí)正確D．假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)正確，再推n＝k＋2時(shí)正確11．(5分)對(duì)于不等式eq\r(n2＋n)≤n＋1(n∈N*)，某學(xué)生的證明過程如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，eq\r(12＋1)≤1＋1，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即eq\r(k2＋k)≤k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．上述證法()A．過程全都正確B．n＝1驗(yàn)證不正確C．假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確12.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝eq\f(n2n2＋1,3)時(shí)，由n＝k的假設(shè)到證明n＝k＋1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是________________________________________________________________________．13.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“從k到k＋1”左端增乘的代數(shù)式為________．14.(5分)若存在正整數(shù)m，使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈N*)能被m整除，則m的最大值為________．15.(15分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其中an＝eq\f(Sn,n2n－1)且a1＝eq\f(1,3).(1)求a2，a3；(2)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并證明．人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)數(shù)學(xué)歸納法分層作業(yè)(解析版)(60分鐘100分)eq\f(基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練,基礎(chǔ)考點(diǎn)分組訓(xùn)練)知識(shí)點(diǎn)1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1．(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝eq\f(n＋3n＋4,2)(n∈N*)時(shí)，第一步驗(yàn)證n＝1，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4D解析：當(dāng)n＝1時(shí)，n＋3＝4，故左邊應(yīng)為1＋2＋3＋4.2．(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，則當(dāng)n＝k＋1(n∈N*)時(shí)，等式左邊應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．eq\f(k＋14＋k＋12,2)D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2D解析：當(dāng)n＝k時(shí)，等式左邊＝1＋2＋…＋k2；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式左邊＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.故選D．3.(10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式成立．根據(jù)(1)和(2)可知等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立．知識(shí)點(diǎn)2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式4.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)>eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2)，假設(shè)n＝k時(shí)，不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是___________________________．eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f(1,k＋22)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3)解析：當(dāng)n＝k＋1時(shí)，目標(biāo)不等式為eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f(1,k＋22)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3).5.(10分)證明不等式1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))<2eq\r(n)(n∈N*)．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2，左邊<右邊，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))<2eq\r(k).當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))<2eq\r(k)＋eq\f(1,\r(k＋1))＝eq\f(2\r(k)\r(k＋1)＋1,\r(k＋1))<eq\f(\r(k)2＋\r(k＋1)2＋1,\r(k＋1))＝eq\f(2k＋1,\r(k＋1))＝2eq\r(k＋1).所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．由(1)(2)可知，原不等式對(duì)任意n∈N*都成立．知識(shí)點(diǎn)3用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題6.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋2＋52n＋1能被14整除的過程中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1應(yīng)變形為.25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2解析：當(dāng)n＝k＋1時(shí)，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.7.(10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，13＋23＋33＝36能被9整除，所以結(jié)論成立；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．因?yàn)閗3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．由(1)(2)知命題對(duì)一切n∈N*都成立．eq\f(能力提升練,能力考點(diǎn)適度提升)8.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＝eq\f(1－an＋1,1－a)(a≠1，n∈N*)，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子是(B)A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a39．(5分)利用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)<1(n∈N*，且n≥2)，第二步由k到k＋1時(shí)不等式左端的變化是()A．增加了eq\f(1,2k＋1)這一項(xiàng)B．增加了eq\f(1,2k＋1)和eq\f(1,2k＋2)兩項(xiàng)C．增加了eq\f(1,2k＋1)和eq\f(1,2k＋2)兩項(xiàng)，減少了eq\f(1,k)這一項(xiàng)D．以上都不對(duì)C解析：當(dāng)n＝k時(shí)，左端為eq\f(1,k)＋eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端為eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)，對(duì)比可知，C正確．10．(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步歸納遞推中的假設(shè)應(yīng)寫成()A．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N*)時(shí)正確，再推n＝2k＋3時(shí)正確B．假設(shè)n＝2k－1(k∈N*)時(shí)正確，再推n＝2k＋1時(shí)正確C．假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)正確，再推n＝k＋1時(shí)正確D．假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)正確，再推n＝k＋2時(shí)正確B解析：∵n為正奇數(shù)，∴在證明時(shí)，應(yīng)假設(shè)n＝2k－1(k∈N*)時(shí)正確，再推出n＝2k＋1時(shí)正確．故選B.11．(5分)對(duì)于不等式eq\r(n2＋n)≤n＋1(n∈N*)，某學(xué)生的證明過程如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，eq\r(12＋1)≤1＋1，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即eq\r(k2＋k)≤k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．上述證法()A．過程全都正確B．n＝1驗(yàn)證不正確C．假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確D解析：n＝1的驗(yàn)證及假設(shè)都正確，但從n＝k到n＝k＋1的推理中沒有使用假設(shè)作為條件，而是通過不等式的放縮法直接證明，這不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求．故選D．12.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝eq\f(n2n2＋1,3)時(shí)，由n＝k的假設(shè)到證明n＝k＋1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是________________________________________________________________________．(k＋1)2＋k2解析：當(dāng)n＝k時(shí)，左邊＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，所以等式左邊添加的式子為(k＋1)2＋k2.13.(5分)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“從k到k＋1”左端增乘的代數(shù)式為________．2(2k＋1)解析：令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，則f(k)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以eq\f(fk＋1,fk)＝eq\f(2k＋12k＋2,k＋1)＝2(2k＋1).14.(5分)若存在正整數(shù)m，使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈N*)能被m整除，則m的最大值為________．36解析：f(1)＝36，f(2)＝36×3，f(3)＝36×10，…，猜想m的最大值為36.15.(1