河南省開封市2024屆高三年級下冊第二次質量檢測數(shù)學試卷(含答案)

河南省開封市2024屆高三下學期第二次質量檢測數(shù)學試卷

學校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.已知拋物線的標準方程是V=4%,則它的準線方程是（）

A.x=-1B.x=1C.y=-1D.y=l

2.已知集合A=｛,.〃兀』},

x\x=sm——,nGz1,5={0則下列命題正確的是（

2

A.A=BB.BcAC.AB={0,-1}D?8={1}

"I”<°是奇函數(shù),則實數(shù)a

3.若函數(shù)〃x）==()

x+a,x>Q

A.OB.-lC.lD.±l

4.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為=3n-l,貝1]%=()

A.81B.162C.243D.486

5.若(2光一1)4=,貝!]%+(

22+%=()

A.-40B.40C.41D.82

6.已知函數(shù)〃司=2',則函數(shù)/（%）的圖象在點（0,/（0））處的切線方程為（）

A.x-y-l=OB.x-y+l=OC.x-ln2-y-l=0D.xln2-y+l=0

7.若直線/」+2=l（a〉0,b>0）經(jīng)過點（1,2）,則直線/在x軸和y軸上的截距

ab

之和取最小值時，-=（）

b

A.2B.-C.V2D.—

22

8.已知經(jīng)過圓錐SO的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐SO分成兩

部分，若這兩部分幾何體都存在內切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的

體積之比是（）

A.l:8B.l:9C.l:26D.l:27

二、多項選擇題

9.已知復數(shù)Z1=〃+i,z2=1+Z?i（其中i是虛數(shù)單位，a,Z?eR）,若為純虛

數(shù)，則（）

A.a-/?=OB.a+/?=0C.ab^-1D.ab^l

10.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調查，將農(nóng)戶家庭年

收入的調查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結論中正確的是()

A.該地農(nóng)戶家庭年收入的極差為12

B.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的75%分位數(shù)約為9

C.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

D.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值超過6.5萬元

11.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函數(shù)為

/(%)=國，國表示不超過x的最大整數(shù)，例如[-3.5]=T,[2』=2.下列命題中正確

的有()

A.HxeR,=

B.VXGR,HeZ>+=+〃

C.Vx,y>0,/(1gx)+/(1gy)=/(1g(xy))

D.BneN*,/(lgl)+/(lg2)+/(lg3)+-+/(lg?)=92

三、雙空題

12.已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長

為L貝!J(a+/?)?c=；a-b=.

四、填空題

13.袋中有4個紅球，加個黃球，〃個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為

J,若取出的兩個球都是紅球的概率為g,則石(9=.

22

14.已知過雙曲線C:=-[=1(a>0,/?>0)左焦點耳且傾斜角為60。的直線與C

ab

交于點A,與y軸交于點3,且A是8耳的中點，則C的離心率為..

五、解答題

22

15.已知橢圓C:工+2=1(。〉6〉0)的左，右焦點分別為月，F(xiàn)2,上頂點為A,且

ab

AFl-AF2=0.

(1)求C的離心率；

(2)射線A耳與C交于點3,且創(chuàng)=|,求△口鳥的周長.

16.記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知。以)574=也。5垣8.

(1)求sinA.

(2)若a=6,再從條件①、條件②、條件③中選擇一個條件作為已知，使三角形有

唯一解，并求△ABC的面積.

條件①：b=瓜<:；條件②：&=V6；條件③：sinC=L

3

17.在四棱錐P-ABCD中，平面底面ABCD,BD±AP.

(1)6。LAC是否一定成立？若是，請證明，若不是，請給出理由；

(2)若△PAC是正三角形，且尸-是正三棱錐，AB=2,求平面PA。與平面

PBC夾角的余弦值.

18.已知函數(shù)/(x)=lnx-4.

(1)討論的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值；

(2)函數(shù)g(x)=^^—；若方程/(x)=/(g(x))在上存在實根，試比較

2

/(/)與的大小.

19.在密碼學領域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應用就是在RSA加密算法

中的應用.設p,q是兩個正整數(shù)，若p,q的最大公約數(shù)是1,則稱p,q互素.對于任意

正整數(shù)小歐拉函數(shù)是不超過〃且與“互素的正整數(shù)的個數(shù)，記為0(〃).

(1)試求0⑶，以9),0⑺，0(21)的值；

(2)設〃是一個正整數(shù)，p,q是兩個不同的素數(shù).試求o(3"),姒夕q)與°(p)和0(q)

的關系；

(3)RSA算法是一種非對稱加密算法，它使用了兩個不同的密鑰：公鑰和私鑰.具體

而言：

①準備兩個不同的、足夠大的素數(shù)p,q-

②計算〃=pq,歐拉函數(shù)0(〃)；

③求正整數(shù)左，使得句除以研〃)的余數(shù)是1;

④其中(〃應)稱為公鑰，(〃㈤稱為私鑰.

已知計算機工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是(187,17).若滿足題意的正整數(shù)左

從小到大排列得到一列數(shù)記為數(shù)列也,},數(shù)列{%}滿足80g=2+47,求數(shù)列

{tancjtanq+J的前〃項和卻

參考答案

1.答案：A

解析：因為2夕=4,所以p=2,所以拋物線V=4x的準線方程為x=-々

故選：A.

2.答案：B

解析：因為A={x|x=sinT，〃ez1,所以A={—1,0,1},5={0,1},

對A：B,故錯誤；

對B：B^A,故正確；

對C：A5={0,1},故錯誤；

對D：^5={-1},故錯誤;

故選：B.

3.答案：C

解析：當x>0時一％<0,則/（一%）=。2（—%）—l=-x-a=-/（x）,

―/=—1

則解得〃=1,

—a二—1

x-l,x<0

止匕時/(%)=

x+l,x>0

當x<0時一%>0,所以/(一九)二一1+1二一(1一1)=-/(%),符合題意.

所以〃=1.

故選：C.

4.答案：B

解析：數(shù)列{風}的前〃項和為S〃=3〃—1,所以的;以一邑二寸―34=162.

故選：B.

5.答案：C

432

解析：因為（2尤一1）4-a4x+a3x+a2x+%%+%,

令x=l,可得%+/+。2+〃i+〃o=（2xl-l）4=1,

令'龍=-1,可%—%+4—q+00=(—2x1-1)=81,

1IQ1

兩式相加可得a。+a2+a4=---=41.

故選：C.

6.答案：D

解析：函數(shù)〃力=2、，求導得/'("=2,In2,則尸(0)=數(shù)2,而/(0)=1,

所以所求切線方程為y-l=ln2-(x-0),即x4n2-y+l=0.

故選：D.

7.答案：D

解析：因為直線/:二+上=1(。>0,〃>0)經(jīng)過點(1,2),則工+2=1,

abab

則4+6=(。+切口+2]=3+2+網(wǎng)23+2四,

\ab)ab

當且僅當2=網(wǎng)時，即6=缶時，等號成立，

ab

所以直線/在X軸和y軸上的截距之和取最小值為3+2行，

止匕時b=缶，則4=二=也.

b-/2a2

故選：D.

8.答案：C

解析：如圖，作出圓錐SO的軸截面SA5,

設上、下兩部分幾何體的兩部分的內切球的球心分別為E,F,半徑分別為r,R,

即OE=EG=H,EG=r,

根據(jù)題意可知△SAB為正三角形，易知SE=2r,圓錐SO的底面半徑03=，

：.SO=2r+r+R+R=3r+2R,又SO=6()B,

3r+2/?=3R,.R=3r,

二上部分圓錐的底面半徑為也r,高為3「，

又圓錐S。的底面半徑為05=加=3石廠，高為SO=3r+2R=9r,

二上部分圓錐的體積與圓錐SO的體積之比為［［=2，

27

二上、下兩部分幾何體的體積之比是1:26.

故選：C.

9.答案：AC

解析：因為Z］=〃+i,z2=l+bi,

所以44=(1+歷)(Q+i)=Q+i+〃歷+%=(〃―))+(1+他),

a_b—O

又z/z2為純虛數(shù)，所以|,即。一/?=0且aZ?w-l.

［1+abH0

故選：AC.

10.答案：BCD

解析：觀察頻率分布直方圖，

對于A,該地農(nóng)戶家庭年收入的極差約為14-3=11,A錯誤；

對于B,數(shù)據(jù)在［2.5,8.5)的頻率為0.02+0.04+0.1+0.14+0.2+0.2=0.7,

數(shù)據(jù)在［2.5,9.5)的頻率為。8,因此75%分位數(shù)以e(8.5,9.5),(m-8.5)x0.1=0.05,解

得m=9,B正確；

對于C,數(shù)據(jù)在［4.5,8.5)內的頻率為。1+0.14+0.2+0.2=0.64>0.5,C正確；

對于D,該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值

%=3x0.02+4x0.04+5x0.1+6x0.14+7x0.2+8x0,2

+9x0.1+10x0.1+11x0.04+(12+13+14)x0.02=7.68(萬元)，D正確.

故選：BCD.

11.答案：BD

解析：對于A,當xeZ時，f(x)=x,當時，/(x)eZ,而x-leZ,

因止匕—1,A錯誤;

對于B,VxeR,neZ,令f(Q=m,則zn<xv加+1,m+n<x+n<m-\-n+l,

因止匕f(x+n)=m+n=f(x)+n,B正確；

對于C,取x=g,y=2,0<lg2<l,則/(lg；)=—1,/(lg2)=0,

/(lg(1x2))=/(0)=0,

顯然/(坨3)+/(坨2)//(坨(3><2))，C錯誤；

對于D,neN*,當時，/(Ig")=O,當10W〃W99時，/(lg〃)=l,而

/(IglOO)=2,

因此/(lgl)+/(lg2)+/(lg3)+…+/(lg99)+/(IglOO)=92,此時〃=100,D正確.

故選：BD.

12.答案：0；3

解析：以a,b交點為坐標原點，建立直角坐標系如圖所示：

則a=(2,1),b=(2,-l),c=(0,l),

a+Z?=(4,0),(a+Z?),c=4x0+0xl=0,

:.a?b=2x2+1x(—1)=3.

故答案為：0；3.

13.答案：-

9

解析：依題意機、〃為非負整數(shù)，記取出的兩個球都是紅球為事件A,則

C21

個)=4=}

。加+〃+4。

4x3

所以—,解得加+〃=5或冽+〃=一12（舍去），

m+n+4)(m+n+3)6

所以&的可能取值為0、1、2,

2

C501015C21

則上=。)=芭=口，ND=太=鼠相=2)=云

所以E化)=0x』+lx9+2義工=§.

V718969

故答案為：

9

14.答案：1+V3/V3+1

解析：由題意心=tan60。=百，片（-c,0）,所以直線A3的方程為y=G（x+c）,

令光=0得3（0,辰），因為A是8耳的中點，所以A—￡，業(yè)，

將點Ag字、］代入「J,2,2

一—1,

a4a24b2

結合b2=c2-a2化簡得c4-8c2a2+4/=。,所以一8e?+4=0,

所以/=4+2^3或/=4—2月，所以e=1+6或e=A/3—1，

X-—<-a,所以e=￡>2,所以e=l+石.

2a

故答案為：1+6.

（2）8

解析：（1）依題意可得上頂點A（0,b）,左，右焦點分別為片（-。,0）,耳（G。），

所以前=（一G—6），AJ^=（c,-b）,

又此=o，

所以92g=—°2+（—與2=0,即〃=,2,即/一°2=°2,

所以儲=202,所以離心率e=￡=正；

a2

22

（2）由（1）可得b=c,afc,則橢圓方程為二+與=1,

2c2c2

h

射線Afj的方程為y=—%+/?=x+c,

c

y=x+c

聯(lián)立22整理可得3%2+4M=0,

工+匕=1

2c2c2

解得x=0或％B=_gc,則,B=_gc，即

—，解得c=^2,貝!J〃=2,

3

所以的周長C△班二|AB|+|M|+忸閭二|筋|+忸制+|盟|+忸閶=4〃=8.

⑵選條件①，〃ABC=在；選條件②，不符合題意；選條件③，S&ABC=總

Z_Xri￡>2/\V2

解析：（1）由bcosA=A/2tzsinBsinBcosA=^2sinAsinB.

而sinBwO,貝!jcosA=0sinA>O,所以A為銳角.

因為sir?A+cos2A=l,

所以sinA=3.

3

（2）若選條件①，由5由4=￥且人為銳角，

得cosA=.

3

由余弦定理。2=〃+，-2ACOS人及〃=V6c,

222

得3=6c+c—4c,解得c=1,故b=A/6.

又邊c與方的夾角A已知，所以△ABC唯一確定，所以/ABc=，6csinA=受.

Z.X/1DC-22

若選條件②，由正弦定理得4=上，

sinAsinB

[7君

,6x——%

貝!jsinB=---尸工=——<1.

A/33

又b=G6=a,得B>A,所以5有兩解，分別對應兩個三角形，不符合題意.

若選條件③，由sinA=無且A為銳角，得cosA=逅.

33

又sinA=->sinC=—,得a>c,即A>C,貝UcosC=?我.

333

因止匕51113=5111（4+。）=5111485。+85>15111。=,易知△ABC唯一確定.

g

由正弦定理得-^='一,則。=、^=1,

sinAsinCV3

T

所以ZABC=gacsinB=與.

17.答案：（1）不一定，理由見解析

⑵—

13

解析：（1）因為平面PACL底面ABCD,過點P作AC的垂線交AC于點E,

又平面PAC「底面ABCD=AC,PEu平面9C,所以PEL底面ABCD,

若AFLAC,則點A與點E重合，即AP,底面ABCD,

所以AP垂直平面ABCD內任意直線，即3。與AC無論何種位置關系，都有

BD±AP,

所以J_AC不一定成立.

（2）因為△PAC是正三角形，則點E為AC的中點，

由（1）PEL底面ABCD,又5Du底面ABCD,所以PELBD,

又PEAP=P,PE,APu平面APC,所以3D，平面ARC,

又ACu平面APC,所以又P-ABD是正三棱錐，即△板）為等邊三角

形，

設3。AC=O,則。為3。的中點，gOFIIEP,則底面ABCD,

Ct，o],0(-1,0,0),

如圖建立空間直角坐標系，則A（0,-6,0）,8（1,0,0）,C0,

3)

pfo,-^,2

所以AD=(—1,后,0),AP=0,空,2,BC=-1,—,0BPJi百2〕

I3JI3,

n-AD=-%++y=0

設平面PAD的法向量為n=（x,y,z）,則v2月

〃?AP=：y+2z=0

mBC-—a-\-----b-G

設平面PBC的法向量為m=（。也c）,則1取

n-BP=—a------b+2c=0

3

ni=(6,3,61

|m-n|5V65

所以|cOS"M=

I同?同

所以平面小與平面砂夾角的余弦值為普

解析：(1)函數(shù)/(x)=lnx-0的定義域為(。，”),

又+十歲

當時，/'(司>0恒成立，所以/(X)在(0,+00)上單調遞增，無極值,

當a<0時，令/(力=0,解得x=—a,

所以當xe(O,-a)時/'(X)<0,/(幻單調遞減,

當xe(-a,+co)時/'(x)>0,/(x)單調遞增,

所以當犬=-。時，/(%)取到極小值/(-a)=ln(-a)+l,無極大值,

綜上所述，當a?0時，/(x)在(0,+co)上單調遞增，無極值,

當a<0時，/(x)在(0,-a)上單調遞減，在(-a,+8)上單調遞增，極小值為ln(-a)+l,

無極大值.

f1

(2)因為g(x)=----,0<%<—,

1-x2

2x-(l-x)-(-l)x2Ix-x1_x(2-x)

則gfM2"2

(If(l-x)(1-x)

令g'(x)=。，解得i=2或0(舍)，

所以當時，(x)>0,g(x)單調遞增,

所以g(O)<g(x)<g'］,即0<g(x)<；,

令t=g(x),0<x<；,貝UOv/vg,

若方程f(x)=/(g(x))在xeK上存在實根，

則方程/(x)=/⑺在xefe［o,￡|上存在實根，

當a20時/(x)在［o,g］上單調，則x=g(x)在［o,g］上有解，

即％=三應該在上有解，但是2/_%=0在上無解，不合題意,

所以/(x)在1o,￡|上不單調，即a<0,

由(1)知0<—&<4，即一!<a<0,

22

所以7?(小六仙片—右—<a<0,

a2

加(〃)—21n(-Q)—,—-<Q<0,

171，|\212。+1

貝Um(a)=---+-y=———>0,

-aaa

所以m(a)在.;,0)上單調遞增,

12

所以m(a)〉m=21n-+2=ln—e,

24

>ln^

所以/(/)

4

19.答案：(1)夕(3)=2,°(9)=6,。⑺=6,°(21)=12

(2)0(3")=2-3"1,0(pq)=9(p)v(q)

、tan(2"+2)

(3)n-1

tan2

解析：(1)由歐拉函數(shù)的定義知，不越過3且與3互素的正整數(shù)有1,2,則

。(3)=2,

不越過9且與9互素的正整數(shù)有1,2,4,5,7,8,則。⑼