2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷4（新高考七省專用）

2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考七省專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.設(shè)，“eR,a=(m,l),b=,c=(l,-2),則)_L"是a//b的()條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

2.已知復(fù)數(shù)-3+2i是方程2/+12工+4=0的一個根，則實數(shù)4的值是（）

A.0B.8C.24D.26

若sin(a_t)=。，則5.[27+弓]二()

3.已知(0㈤,

1

A.——B.|C.-D.±-

3333

4.如圖，在一個單位正方形中，首先將它等分成4個邊長為1■的小正方形，保留一組不相鄰的2個小正方

形，記這2個小正方形的面積之和為加；然后將剩余的2個小正方形分別繼續(xù)四等分，各自保留一組不相

2023

鄰的2個小正方形，記這4個小正方形的面積之和為邑.以此類推，操作〃次，若百+$2+…+5,2竭,

則”的最小值是（）

A.9B.10D.12

5.如圖，A,B,C三個開關(guān)控制著1,2,3,4號四盞燈，其中開關(guān)A控制著2,3,4號燈，開關(guān)8控制

著1,3,4號燈，開關(guān)C控制著1,2,4號燈.開始時，四盞燈都亮著.現(xiàn)先后按動A,B,C這三個開關(guān)中

的兩個不同的開關(guān)，則其中1號燈或2號燈亮的概率為（）

6.將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在

[-2利,川(加>0)上單調(diào)遞增，則實數(shù)小的取值范圍是()

(八7兀[「八兀1「兀7兀1f7i7TI

A.0,——B.0,—C.~D.—>—■

I32JI16J|_1632j11632j

7.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點/關(guān)于直線x+_y=m的對稱點為(2,1),o為坐標原點，點在

C上且滿足OM.ON=0(M,N均不與。重合)，則△MON面積的最小值為()

A.4B.8C.16D.20

ClJ-3%<3

8.已知函數(shù)〃x)=1[，若函數(shù)g(x)=[〃x)丁-4(x)+2有6個零點，則。的值可能為()

IX十O.YX>J

A.-1B.-2C.-3D.-4

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.已知是兩個事件，且0〈尸(3)<1,則事件相互獨立的充分條件可以是()

A.P(AB)=0

B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(A|B)=P(A|B)

D.P2(AB)+P2(AB)+P2(AB)+P2(AB)=-

4

10.已知直線/：履-丁-％=0,圓〃：/+;/+m+￡伊+1=0的圓心坐標為(2,1),則下列說法正確的是()

A.直線/恒過點(1,0)

B.O=Y,E=—2

C.直線/被圓M截得的最短弦長為2不

D.當％=1時，圓〃上存在無數(shù)對點關(guān)于直線/對稱

11.己知函數(shù)的定義域為R,值域為(0,+功，*疥,則()

A.-0)=1B./(1)=1

C.〃2尤)=[〃x)}D.x=l是函數(shù)〃尤）的極小值點

12.如圖，正三棱柱ABC-4BG的各棱長均為1,點尸是棱BC的中點，點M滿足用W=/l44（九目0,1］）,

點R為的中點，點。是棱A3上靠近點8的四等分點，則（）

A.三棱錐B-GAM的體積為定值

B.GM+BM的最小值為#+1

C.CM〃平面PQR

D.當力=:時，過點的平面截正三棱柱ABC-ABC1所得圖形的面積為3

26

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（x-2y）8的展開式中爐丫?的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

14.如圖，在ABC中，AD=2DB，尸為C￡）上一點，且滿足人尸=根4。+：42（meR）,則m的值為

15.若函數(shù)〃%）=5布卜+*小+1+/為偶函數(shù)，則加的最小正值為.

16.已知函數(shù)/（司=/+樂2+次+0有三個零點，且它們的和為0,貝普-c的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

17.（10分）一ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃，b,c,已知acos3—2bcosA=Z?+c.

⑴求tanA；

⑵若a=A/萬，ABC的面積為2應(yīng)，求ABC的周長.

7

18.(12分)已知數(shù)列｛?！埃凉M足：a[=~,an+l=3an-l,?eN".

(1)求證：數(shù)列卜“-是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式及其前”項和S”.

19.(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，BC//AD,BC=2AD,M為棱AP的中點.

PN

⑴棱網(wǎng)上是否存在點M使MN〃平面如。若存在，求出麗的值；若不存在，請說明理由;

(2)若平面PDCJ_平面ABC。，AB1BC,BC=CP=PD=DC,求二面角3—MD—C的正弦值.

20.(12分)從甲、乙、丙、丁、戊5人中隨機地抽取三個人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將

球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.

(1)記甲、乙、丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)若剛好抽到甲、乙、丙三個人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記〃次傳球后球在甲手中的概

率為6("=1,2,3,…).

①直接寫出A,P],A的值;

②求P,,+l與尸“的關(guān)系式(〃eN*),并求出匕(〃eN*).

Q3

21.(12分)以坐標原點為對稱中心，坐標軸為對稱軸的橢圓過點C(0,T),。(一丁-7.

(1)求橢圓的方程.

⑵設(shè)戶是橢圓上一點(異于C,。)，直線尸C,PD與X軸分別交于兩點.證明在X軸上存在兩點A,2,

使得MB.是定值，并求此定值.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=e?"+(a-2)e*-依一1.

⑴討論了(無)的單調(diào)性;

⑵若85)=/(工)+(2-4)/在區(qū)間(0,+<?)上存在唯一零點％,求證：x0<a-2.

2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考七省專用）

參考答案

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

9101112

BCDABDACAC

第口卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

12%，271

13.11214.-15.—16.—,+<?

43I4）

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

17.(10分)

【答案】⑴tan4=-20

(2)5+#7

【解析】(1)因為acos/?-2bcosA=b+c,所以由正弦定理可得sinAcosB-2sin3cosA=sin3+sinC.

XsinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以一3sin3cosA=sin3.

因為sinBwO,所以cosA=-g.

又Ae(0,7t),所以sinA=，tanA=-2A/2?

(2).ABC的面積S=LesinA=——Z?c=2>/2,則bc=6.

23

2,4

由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2>得色+c)~=/+gbc=25,

所以。+c=5,故,ABC的周長為5+a7.

18.(12分)

【答案】（1）證明見解析

⑵a“=3"+；,"N*，S"=莖<+〃

乙乙

【解析】（1）由%+1=3?！?1可得%+|-；=3］?！?，，

1

又％-5=3WO,可得——/=3為定值，

""一2

所以數(shù)列卜，-是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.

（2）由（1）可知，%-<=3x3。-=3",可得%=3。+；,

即數(shù)列｛4｝的通項公式為4=3'+3,〃eN*

所以數(shù)列｛%｝的前〃項和為

12n333，13+n

S?^3+-+3+-+--+3+-=^-）+l.w=~

2221-322

即

19.（12分）

PN1

【答案】（1）棱依上存在點N,—=-

NB3

⑵w

［解析［（1）如圖，分別延長BA與CD的延長線交于點E,連接PE,過點M在平面BEP內(nèi)作直線FN//PE,

交BE于點F,BP千點、N,

因為MV〃PE,尸石匚平面;^^所以跖V〃平面尸。C,

因為3C〃AD,BC=2AD,所以A,。分別為線段BE,"的中點，

EFPN1

又FNI/PE,M為AP的中點，所以尸為線段AE的中點，所以二^二二二彳.

FBNB3

PN1

綜上，棱PB上存在點N,使MN〃平面PDC,且而="

(2)設(shè)A￡>=1,又ABLBC,BC=DC=2,所以BD=2,

又CP=PD=DC=2,所以，尸CD和△BCD為等邊三角形，

設(shè)。為CD的中點，連接。P,OB,則OP=OB=&，OPLDC,OBLDC,

又平面尸DCJ_平面ABC。，平面尸DC平面MCD=CD,POu平面PDC,尸01平面ABC。，

又03u平面ABC。，POLOB,

綜上，OP,OB,OC兩兩垂直.

以。為坐標原點，08，0C>。尸的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則8（石,0,0）,C（0,l,0）,尸（0,0,6）,0（0,-1,0）,A伸3_3.

,0,M

2J

DM=，岑，=（73,1,0）,DC=（0,2,0）,

設(shè)平面MDC的法向量為〃=(%,%,zj,

2%=0,

n-DC=0,

則即退173C可取力=（2,0,-1）,

n-DM=Q丁+武+丁=0,

設(shè)平面MDB的法向量為心=（%2，%/2）,

m-DB=0,氐2+乃=°，

則即若1@一可取-百,0）,

m?DM_0—XQH—yH-------z=0,

I424?2292

所以8sM〉=就=亞=3

故二面角B-MD—C的正弦值為Jl-cos"",#-

20.(12分)

【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為L8

⑵①片=。，鳥=〈，4=；；②2包=一3尺+g("eN

【解析】(1)X的所有可能取值為1,2,3.則

P（X=1）=胃=《；P（x=2）=罟=|；P（X=3）=,1

10

所以隨機變量X的分布列為:

X123

331

P

10510

331

數(shù)學(xué)期望E(X)=lx歷+2xy+3x歷=1.8.

(2)若剛好抽到甲、乙、丙三個人相互做傳球訓(xùn)練，且”次傳球后球在甲手中的概率為匕("=1,2,3,).

2121

則有6=0，k"十虧="

記A”表示事件“經(jīng)過〃次傳球后，球在甲手中”.

4+1=441+4?4+1所以尺+1=尸伍4+1+4?4+J=p（4?4+J+尸（44+J

=P(4)-P(AJ4)+P(A)?P(4J4)=(1一q)T+C.o=g(i一匕)?

即月匕+：(〃eN*).

所以心-9-：巾-巳，且片-;=-1

。\JJJD

所以數(shù)列，匕-!表示以-g為首項，-;為公比的等比數(shù)列.

1

所以4T=-X

31+察

1(-1),

即〃次傳球后球在甲手中的概率是］X1+冒

21.（12分）

【答案】⑴J+V=1；

4

⑵證明見解析，定值為-12.

q=11

【解析】(1)設(shè)橢圓方程為pY+4_y2=l,貝lj649,，解得

12525國=1

所以橢圓的方程為《+>2=1.

4

(2)設(shè)P(Xo，%),A(m,O),3(〃,O),M(XM,O\N(XN,O),

則CM=(XMJ),C尸=(%,%+1),由CN//CP，得%(%+1)=%0，而%+1。。，于是為=—7，

九十I

38

838383383

工o,于是x=—y

DN=+g,y),￡)尸=(X。+—,^0+—),同理(/+y)(%+g)=y(%o+1)，而為+yN

38

一%o—%

則兒4=(加-^——,O),MB=(zz--三,0),

.3V.+1

3_8

泌=("上)(〃-5/一父°)=3。+"%)(5"a+8%+3，~3.%),

%+1v+。(%+1)(5%+3)

為5

令5/77%+8%+3〃?=-3〃%-3"，而尸(X。,％)是橢圓上的動點，則5"?+8=-3",3根=-3",得〃=4,m=T,

于是地?ML=臼田。+4fl=-3[(4%+4>-(4-4砌=-12(5-+8%+3)

(%+9(5%+3)(%+1)(5%+3)5y：+8%+3

所以存在A(Y0)和3(4,0),使得MRM4是定值，且定值為-12.

22.22分)

【答案】(1)答案見解析

(2)證明過程見解析

【解析】(1)對/(x)=e2x+(a-2)e-ax-1求導(dǎo)得，f\x)=2e2^+(?-2)ev-?=(2eY+a)(er-1),分以下兩

大情形來討論f（x）的單調(diào)性：

情形一：當41時，有2e，+“>0,令/'（幻=（2/+娟6'-1）=0,解得x=0,

所以當x<0時，有尸（x）=（2e*+〃）（]—1）<0,此時f（x）單調(diào)遞減，

當x>0時,有/'（幻=（21+力付-1）>0,此時Ax）單調(diào)遞增；

所以/（%）在（-8,0）單調(diào)遞減，在（0,+8）單調(diào)遞增；

情形二：當〃<0時，令/''（幻=（21+0）3-1）=0,解得XI=0,%=ln1f,

接下來又分三種小情形來討論〃幻的單調(diào)性：

情形（1）：當"―2時，W^i=0<x2=lnf--|\此時2e、+a,e=l/（x）J（x）隨x的變化情況如下表:

in

(fO)KQ(H)d

2ex+a--+

e%-l-++

f\x)+-+

f(x)>

由上表可知f（x）在0）和卜n1￡J,+sJ上單調(diào)遞增，在10,In上單調(diào)遞減；

情形（2）：當。=一2時，有芯=0=%=ln[-葭），此時廣（此二^”一爐20,所以此時/⑺在R上單調(diào)遞增；

情形（3）：當一2<。<。時，=0>x2=lnf-|Y此時2e*+a,e*—l，r（x）,y（x）隨x的變化情況如下表:

(0,+oo)

2ex+a-++

ex-l——+

f,M+-+

fM

由上表可知/(X)在和(o,+g上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述：當a<-2時，/⑴在(-8,0)和卜(一|),+，|上單調(diào)遞增，在10,In,上單調(diào)遞減;

當。=-2時，f(x)在R上單調(diào)遞增；

當—2<a<0時，Ax)在「Ain,1］和(0,+功上單調(diào)遞增，在(in、］,。］上單調(diào)遞減；

當〃20時，/(%)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)因為/(x)=e2x+(Q—2)e，一辦一1,所以由題意g(x)=/(x)+(2—a)e“=c2x-ax-1,

x

又因為g(x)=/(x)+(2-a)e在區(qū)間(0,+oo)上存在唯一零點x0,

所以存在唯一的尤0?。,+°°),有g(shù)(無0)=e2M-"-1=0,化簡得。=-----,

%0

_-1

若要證明不<”2,則只需不〈一一一2,即只需e?%—(%+1)一>0,(飛>0),

不妨設(shè)〃(元)=e2,—(x+l)2,尤>0,求導(dǎo)得〃(x)=2e2，-2(x+l),尤>0,

令”(x)=〃(x)=2e2，-2(x+l),x>0,繼續(xù)求導(dǎo)得M(x)工e2，-2>4-2=2>0,x>0,

所以當x>0時，/x)=2e"-2卜+1)單調(diào)遞增,

所以h'(x)=2e2x-2(x+l)>/i'(0)=0,

所以當x>0時，無)=e2-(尤+葉單調(diào)遞增，

所以〃(尤)=e"_(無+1)2>//(0)=0,

即當天>0時，有不等式e2%-(5+1『>0成立，

綜上所述：若g(無)=/(尤)+(2-”貯在區(qū)間(0,+8)上存在唯一零點看,貝！

2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷(新高考七省專用)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

第I卷(選擇題)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.設(shè)weR,a=(m,l),b=(4,m),c=(1,-2),則》_L：是a//b的()條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】由向量a==(4,wz),c=(1,-2),

當6_Lc時，可得4*1-2m=0,解得〃?=2；

當〃/妨?xí)r，可得病-1x4=0,解得“=±2，

所以b_Lc是〃//6的充分不必要條件.

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)一3+2i是方程2/+12x+9二二。的一個根，則實數(shù)q的值是（）

A.0B.8C.24D.26

【答案】D

【解析】由復(fù)數(shù)-3+2i是方程2/+12”卜9=0的一個根，

得2(-3+2i)?+12(-3+2i)+g=0,

解得4=26,

故選：D.

則sin（2a+t）=（）

3.已知&￡(。,兀)，若

12

A.——B.-C.—D.i—

3333

【答案】c

【解析】因為sin[a-邛，

所以sin(2a+胃=sin+2a—三)=coa2a-^-\=l-2sin2[a-^-\=l--=-,

I3jI6；33

故選：C

4.如圖，在一個單位正方形中，首先將它等分成4個邊長為|■的小正方形，保留一組不相鄰的2個小正方

形，記這2個小正方形的面積之和為跖；然后將剩余的2個小正方形分別繼續(xù)四等分，各自保留一組不相

鄰的2個小正方形，記這4個小正方形的面積之和為§2.以此類推，操作〃次，若4+S?+…+S'N翥2023，

則〃的最小值是（）

C.11D.12

【答案】C

【解析】由題意可知操作1次時有雪=2個邊長為!=（的小正方形，即岳=2以[1]=4=--

2121^21J212

操作2次時有22=4個邊長為5=；的小正方形,

*=g的小正方形,

操作3次時有23=8個邊長為

以此類推可知操作"次時有2"個邊長為《

由等比數(shù)列前〃項和公式有H+s,+...+s,

2

上陋不等式的最小正整數(shù)解,

從而問題轉(zhuǎn)換成了求1-

2024

r<—,注意到11

將不等式變形為〉，且函數(shù)y在R上

I1202410242024

單調(diào)遞減，

所以〃的最小值是11.

故選：C.

5.如圖，A,B,C三個開關(guān)控制著1,2,3,4號四盞燈，其中開關(guān)A控制著2,3,4號燈，開關(guān)B控制

著1,3,4號燈，開關(guān)C控制著1,2,4號燈.開始時，四盞燈都亮著.現(xiàn)先后按動A,B,C這三個開關(guān)中

的兩個不同的開關(guān)，則其中1號燈或2號燈亮的概率為（）

【答案】D

【解析】先后按動A,B,C中的兩個不同的開關(guān)，有A；=6種方法，

若要1號燈亮，則按第一個開關(guān)時，1號燈滅，按第二個開關(guān)時，1號燈亮,

此時對應(yīng)的方法有2種：（氏C）,（C,B）；

若要2號燈亮，同理可得有以下2種方法：（AC）,（GA）；

可知：要1號燈或2號燈亮有2+2=4種方法，

42

故所求的概率為尸

63

故選：D.

6.將函數(shù)〃x）=sin2x的圖象向左平移費個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（無）在

［-2祖,〃?］（根＞0）上單調(diào)遞增，則實數(shù)沉的取值范圍是（）

「八7兀］「八兀1「兀7兀］「兀7兀

A.B.0,—C.—D.—

I32JI16J11632J11632_

【答案】B

=sin2x+包,

【解析】由題意知:

I8J

2x+型』-4加+空,2川+里

當w問時,

888

,3兀?！?7兀ku

-4mH---->-----F2析m<----------

322

g(x)在［-2m,m\上單調(diào)遞增,3；無之（左eZ）,（左eZ）；

"3兀，?！?17

2m-----?—F2左兀m<----卜kn

8216

...77Cku兀3kli5兀

右------>一+陽八Z),則不>----/.k<—,止匕時mW----Fkit,

3221624816

兀

又m>0,...左=0,:.0<m<一；

16

.7Ttkrc7t./,\?,5兀3kit.5,7JCkn?

右，------W-----Fkit\kGZ）,貝—W---,:.kN—，左721,此時-------<0,

32216V732248322

與機>0矛盾，不合題意；

綜上所述：實數(shù)"?的取值范圍為［0,2,

故選：B.

7.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點廠關(guān)于直線x+_y=機的對稱點為(2,1),o為坐標原點，點在

C上且滿足OM.ON=0(M,N均不與。重合)，則△MON面積的最小值為()

A.4B.8C.16D.20

【答案】C

【解析】在C：y2=2px(p>0)中，焦點為尸(與oj,

焦點F關(guān)于直線/：》+y=機即y=-x+?”的對稱點為A(2,I),

-^=1

2-P

P=2

2,解得

2+2.m=2

------+—=m

22

拋物線的方程為V=4x,

顯然直線MN的斜率不為0,設(shè)直線"N的方程為x=%y+r,且言0,

設(shè)”（為,%）,^々,％）,

x=my+t.

聯(lián)立2.,整理可得y-4加,—4/=0,

y=4x

A=16m2+16^>0,BPm2+r>0,且M+%=4m，=-4，,/々=（“%）=/

16

又因為OMON=0,即占％+%%=「-4f=。"*0,

?'?t—4.

：.即直線MN的方程為x=沖+4,

直線MN恒過（4,0）點，

S.OMN=3*4*?]—％|=2]（、+%）2-4%%=2,16療+16,=8，」2+4上8x2=16,

當且僅當根=0時，等號成立.

故選：C.

|x|-3,x<3

8.已知函數(shù)/（元）=，若函數(shù)8。：）=[〃叫2-勾?。：）+2有6個零點，則。的值可能為（

一—+6尤—9,%>3

A.-1B.-2C.-3D.-4

【答案】C

【解析】由題可得,/（3）=/（-3）=0,在（9,0）,（3,4w）上單調(diào)遞減,在（0,3）上單調(diào)遞增，則據(jù)此可

作出函數(shù)/'（X）大致圖象如圖所示,

令〃x）=r，則由題意可得/一書+2=0有2個不同的實數(shù)解。，（2,且不出€（-3,0）,

A=片—8>0

—6</[+心=〃<011/-

則1：n-=<0<-2應(yīng)，觀察選項可知，。=-3滿足題意.

能=2>03

（%+3）（。2+3）=11+3a〉0

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.已知A3是兩個事件，且0<P（3）<l,則事件AB相互獨立的充分條件可以是（）

A.0

B.尸（A月）=P（A）尸（耳）

C.P（A|B）=P（A|B）

D.P2（AB）+P2（AB）+P2（AB）+P2（AB）=-

4

【答案】BCD

【解析】若尸（"）=0,

則事件AB沒有共同部分，即互斥，

得不出事件相互獨立，A錯；

由P（AB）=P（A）P（B）,

得P（AB）=［P（AB）+P（AB）］P（B）

=P（AB）P（B）+P（AB）P（B）,

則尸⑻尸（死）=口-尸⑻］尸（AB）,

^P（B）［P（AB）+P（AB）］=P（AB）,

即尸（A）尸（B）=尸（AB）,

則事件A3相互獨立，B正確；

由尸（A|B）=尸（A|B）,

尸尸（成）P⑷一尸（AB）

'P（B）尸（豆）l-P（B）'

得P（AB）-P（B）P（AB）=P（A）P（B）-P（B）P（AB）,

即尸（AB）=P（A）尸（3）,

則事件A,8相互獨立，C正確;

由P2（AB）+P2（AB）+P2（AB）+P2（AB）=-,?

4

且尸（AB）+P（社）+尸（瓶）+尸（血）=1,②

②式兩邊平方，并利用①式可得，

P（AB）P（AB）+P（AB）P（AB）+P（AB）P（AB）+P（AB）P（AB）

_____3

+P（AB）P（AB）+P（AB）P（AB}=-,③

8

結(jié)合①③，可得，

[P（AB）-P（AB）]2+[P（AB）-P（AB）J+[P（AB）-P（AB）J

+[P（AB）-P（AB）J+[P（AB）-P（AB）J+[p（AB）-P（AB）]2

=3[P2（AB）+P-（AB）+P2（AB）+P2（AB）]

-2^P（AB）P（AB）+P（AB）P（AB）+P（AB）P（AB）

+P（AB）P（AB）+P（AB）P（AB）+P（AB）P（AB）]=O,

則P（AB）=尸（而）=P（AB）=P（AB）=；,

所以尸（A）=P（A5）+P（“）=g,

尸（B）=尸（AB）+P（初）=±

所以P（AB）=P（A）尸（3）,

即事件A,B相互獨立，D正確

故選：BCD

10.已知直線/：fcv-y-左=0,圓尤2+y2+￡）x+Ey+l=。的圓心坐標為（2,1）,則下列說法正確的是（）

A.直線/恒過點（1,0）

B.D=-4,E=-2

C.直線/被圓加截得的最短弦長為2萬

D.當％=1時，圓M上存在無數(shù)對點關(guān)于直線/對稱

【答案】ABD

【解析】直線/：丘-丁-％=0,恒過點（1,0）,所以A正確；

圓/:/+產(chǎn)+m+/+1=0的圓心坐標為(2,1),￡)=Y,E=-2,所以B正確；

圓M:/+y_4工-2卜+1=0的圓心坐標為(2,1),圓的半徑為2.

直線/：丘-丁-左=0,恒過點(1,0),圓的圓心到定點的距離為：友,

直線/被圓M截得的最短弦長為2"與=20*24，所以C不正確；

當左=1時，直線方程為：x-y-1=0,經(jīng)過圓的圓心，所以圓M上存在無數(shù)對點關(guān)于直線/對稱，所以D

正確.

故選：ABD.

H.己知函數(shù)的定義域為R,值域為(o,+“)，荒號=[〃y)T，則()

A./(0)=1B./(1)=1

C.〃2尤)="(切2D.x=l是函數(shù)〃尤)的極小值點

【答案】AC

[解析】取x=y=0,則[〃0)]2=1,且/(x)>0,故/'(0)=1,A正確；

取/(力=1,符合題意，此時/(l)=ewl,且/(x)在R上單調(diào)遞增，不存在極值點，B和D錯誤；

取y=龍，則:'(⑼)=[/(切，即〃2x)=["x)T,C正確，

故選：AC.

12.如圖，正三棱柱ABC-A耳G的各棱長均為1,點P是棱BC的中點，點M滿足用0=/144(九目0』)，

點R為的中點，點。是棱A3上靠近點8的四等分點，則()

c

A.三棱錐2-GAM的體積為定值

B.GM+BM的最小值為6+1

C.CM〃平面PQR

D.當2=(時，過點P,A,R的平面截正三棱柱ABC-A4G所得圖形的面積為近

26

【答案】AC

【解析】由題意可知匕.期=Vg—ABM，設(shè)點G到平面ABM的距離為d,

易知平面AMG，平面AB與A，

所以點G到平面ABM的距離等于點G到線段44的距離，

又A月=4G=B|G=1,所以“=立，

2

所以％=%-4BM=；S%M?”=；AB-44iM=；xlxlx*=*'為定值,

JUU乙JL4

故A正確；

將△A4C沿44展開與正方形用4在同一個平面內(nèi)，

記此時與G對應(yīng)的點為。2，

則當8,"(2三點共線時，G"+3M取得最小值，即BC,,

BC=』BB；+B[C；-2BB「2c2cos150。=,2+g="；血,

2

故3M+BM的最小值為巫+母,故B錯誤；

2

由點氏P分別為8M，8c的中點，得PR//CM,

又「Ru平面PQR,CM</平面PQR,

所以CW〃平面尸。R,故C正確；

連接AR并延長交B用于點S,連接尸S,

則過點尸,AR的平面截正三棱柱ABC-44c所得截面圖形為座，

因為AP_L3C,平面CBBgJ平面ABC,

平面CBB￡c平面ABC=BC,APu平面ABC,所以AP/平面CBB&,

又PSu平面CBBG，所以AP_LPS,

取AB的中點N,連接MN,則點。為的中點，又點衣為的中點，

所以QR//MN,QR=gMN,

當彳=；時，點/為A片的中點，所以MN//BS,

所以。R〃BS,所以笑=黑=?,

BSAB4

所以3S=gQR=：MN=],所以PS=,F7I=e,

333\946

S

^APAS=-AP-PS=-X^X-=^,故D錯誤.

△MS222624

故選：AC.

第口卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(x-2y)s的展開式中/V的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

【答案】112

【解析】因為(x-2y『的展開式中含//的項為(-2y)2=112x6y2,

(x-2yy的展開式中W的系數(shù)為112.

故答案為：112.

14.如圖，在_ABC中，AD=2DB，尸為C。上一點，且滿足AP=mAC+(me7?),則m的值為

【答案】；

3

【解析】因為=+,AO=2D3即，A5=-AD

2

13

所以AP=mAC+—A5=mAC+—AO,

24

又C,P,。三點共線,

31

所以加+:=1,解得根=：.

44

故答案為：了.

4

15.若函數(shù)〃x)=sin|x+m-^J+e'+ef為偶函數(shù),則機的最小正值為

【答案】^。萬q2兀

【解析】函數(shù)的定義域為R，/(^)=sinx+m-高+。,+b為偶函數(shù),

則/(-x)=/(x)，即sinr+T+e--X+e"=sinx+m-—+e"+er

6I6

貝Usinl-x+m-^-=sinx+m--,即y=sin'+是偶函數(shù)'

I6

jrJr127r27r

可知加—二二二+左兀，keZ,即機=臼+而，keZ,故加取最小正值為

6