九年級(jí)數(shù)學(xué)人教版（上冊(cè)）第24章 小結(jié)與復(fù)習(xí)

第二十四章圓小結(jié)與復(fù)習(xí)目錄頁(yè)考點(diǎn)精講課堂小結(jié)當(dāng)堂練習(xí)要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)·一.與圓有關(guān)的概念1.圓:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形.2.弦:連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段.3.直徑:經(jīng)過(guò)圓心的弦是圓的直徑，直徑是最長(zhǎng)的弦.4.劣弧:小于半圓周的圓弧.5.優(yōu)弧:大于半圓周的圓弧.要點(diǎn)梳理6.等弧:在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧.7.圓心角:頂點(diǎn)在圓心，角的兩邊與圓相交.8.圓周角:頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊與圓相交.[注意](1)確定圓的要素：圓心決定位置，半徑?jīng)Q定大?。?2)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.·要點(diǎn)梳理9.外接圓、內(nèi)接正多邊形:將一個(gè)圓n(n≥3)等分，依次連接各等分點(diǎn)所得到的多邊形叫作這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓.10.三角形的外接圓

外心：三角形的外接圓的圓心叫做這個(gè)這個(gè)三角形的外心.[注意](1)三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)．(2)一個(gè)三角形的外接圓是唯一的.要點(diǎn)梳理11.三角形的內(nèi)切圓

內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)這個(gè)三角形的內(nèi)心.[注意](1)三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)．(2)一個(gè)三角形的內(nèi)切圓是唯一的.要點(diǎn)梳理12.正多邊形的相關(guān)概念(1)中心：正多變形外接圓和內(nèi)切圓有公共的圓心，稱其為正多邊形的中心.(2)半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.(3)邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.(4)中心角：正多邊形每一條邊對(duì)應(yīng)所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，叫做正多邊形的中心角.要點(diǎn)梳理二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可由點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r比較得到．設(shè)☉O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有點(diǎn)P在圓內(nèi)；d＜r點(diǎn)P在圓上；d=r點(diǎn)P在圓外.d＞r[注意]點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離與半徑之間的關(guān)系；反過(guò)來(lái)，也可以通過(guò)這種數(shù)量關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．要點(diǎn)梳理2.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離直線與圓的位置關(guān)系

圖形

d與r的關(guān)系

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

公共點(diǎn)名稱

直線名稱2個(gè)交點(diǎn)割線1個(gè)切點(diǎn)切線0個(gè)相離相切相交d＞rd=rd＜r要點(diǎn)梳理三、

圓的基本性質(zhì)1.圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，它的任意一條_______所在的直線都是它的對(duì)稱軸.直徑2.有關(guān)圓心角、弧、弦的性質(zhì).(1)在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.(2)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧和兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.圓心角相等弧相等弦相等要點(diǎn)梳理(2)垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條??；平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦.三、

有關(guān)定理及其推論1.垂徑定理(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的

.[注意]①條件中的“弦”可以是直徑；②結(jié)論中的“平分弧”指平分弦所對(duì)的劣弧、優(yōu)?。畠蓷l弧要點(diǎn)梳理2.圓周角定理(1)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半.(3)推論2：90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.[注意]“同弧”指“在一個(gè)圓中的同一段弧”；“等弧”指“在同圓或等圓中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改為“同弦或等弦”．(4)推論3：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).(2)推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)弧相等.要點(diǎn)梳理3.與切線相關(guān)的定理(1)判定定理：經(jīng)過(guò)圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.(2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.(3)切線長(zhǎng)定理：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)所畫(huà)的圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等.這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.要點(diǎn)梳理四、

圓中的計(jì)算問(wèn)題1.弧長(zhǎng)公式半徑為R的圓中，n°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l=________.2.扇形面積公式半徑為R，圓心角為n°的扇形面積S=____________.或3.弓形面積公式OO弓形的面積=扇形的面積±三角形的面積要點(diǎn)梳理(3)圓錐的側(cè)面積為

.(4)圓錐的全面積為

.4.圓錐的側(cè)面積(1)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)

.(2)如果圓錐母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為

，扇形的弧長(zhǎng)為

.扇形l要點(diǎn)梳理5.圓內(nèi)接正多邊形的計(jì)算(1)正n邊形的中心角為(2)正n邊形的邊長(zhǎng)a，半徑R，邊心距r之間的關(guān)系(3)邊長(zhǎng)a，邊心距r的正n邊形的面積為其中l(wèi)為正n邊形的周長(zhǎng).要點(diǎn)梳理考點(diǎn)精講典例精講歸納總結(jié)考點(diǎn)一圓周角定理

在圖中，BC是☉O的直徑，AD⊥BC,若∠D=36°,則∠BAD的度數(shù)是（）A.72°B.54°C.45°D.36°ABCDB考點(diǎn)精講例題1考點(diǎn)二垂徑定理

工程上常用鋼珠來(lái)測(cè)量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm,測(cè)得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm,如圖所示，則這個(gè)小圓孔的寬口AB的長(zhǎng)度為

mm.8mmAB8CDO解析設(shè)圓心為O，連接AO,作出過(guò)點(diǎn)O的弓形高CD，垂足為D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，AD=4mm，所以AB=8mm.考點(diǎn)精講例題2

如圖，

O為正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，以點(diǎn)O

為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的☉O與BC相切于點(diǎn)M.(1)求證：CD與☉O相切；ABCDOM(1)證明：過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CD于N.連接OM

∵BC與☉O相切于點(diǎn)M,∴∠OMC=90°,

∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O在AC上.∴AC是∠BCD的角平分線，∴ON=OM，∴CD與☉O相切.N考點(diǎn)三與圓有關(guān)的位置關(guān)系考點(diǎn)精講例題3ABCDOM(2)解:∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,AC=.設(shè)☉O的半徑為r,則OC=.又易知△OMC是等腰直角三角形，∴OC=因此有，解得.（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求☉O的半徑.考點(diǎn)精講方法歸納（1）證切線時(shí)添加輔助線的解題方法有兩種：①有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直；②無(wú)公共點(diǎn)，作垂直，證半徑；有切線時(shí)添加輔助線的解題方法是：見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，得垂直；（2）設(shè)未知數(shù)，通常利用勾股定理建立方程.考點(diǎn)精講

已知：如圖，PA，PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，過(guò)上的一點(diǎn)C作⊙O的切線，交PA于D，交PB于E.(1)若∠P＝70°，求∠DOE的度數(shù)；解：(1)連接OA、OB、OC，∵⊙O分別切PA、PB、DE于點(diǎn)A、B、C，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE,AD＝CD,BE＝CE，∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.∴∠DOE＝∠AOB.∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，∴∠DOE＝55°.考點(diǎn)精講例題4(2)∵⊙O分別切PA、PB、DE于A、B、C，∴AD＝CD，BE＝CE.∴△PDE的周長(zhǎng)＝PD＋PE＋DE＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)(2)若PA＝4cm，求△PDE的周長(zhǎng)．考點(diǎn)精講

如圖所示，在正方形ABCD內(nèi)有一條折線段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，F(xiàn)C=10，求圖中陰影部分的面積.考點(diǎn)精講例題5考點(diǎn)四圓中的計(jì)算問(wèn)題解：將線段FC平移到直線AE上，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)C'的位置.連接AC，如圖所示.根據(jù)平移的方法可知，四邊形EFCC'是矩形.∴AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.在Rt△AC'C中，得∴正方形ABCD外接圓的半徑為∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為考點(diǎn)精講

當(dāng)圖中出現(xiàn)圓的直徑時(shí)，一般方法是作出直徑所對(duì)的圓周角，從而利用“直徑所對(duì)的圓周角等于”構(gòu)造出直角三角形，為進(jìn)一步利用勾股定理或銳角三角函數(shù)提供了條件.方法總結(jié)考點(diǎn)精講考點(diǎn)五與圓有關(guān)的作圖

·abcda

如何解決“破鏡重圓”的問(wèn)題：O·例題6考點(diǎn)精講

如何作圓內(nèi)接正五邊形怎么作？·OE72°BADC（1）用量角器作72°的中心角，得圓的五等分點(diǎn)；（2）依次連接各等分點(diǎn)，得圓的內(nèi)接正五邊形.例題7考點(diǎn)精講當(dāng)堂練習(xí)練習(xí)反饋即學(xué)即用135°1.如圖a，四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P為劣弧BC上的任意一點(diǎn)（不與B,C重合），則∠BPC的度數(shù)是

.CDBAPO圖a當(dāng)堂練習(xí)2.如圖b，線段AB是直徑，點(diǎn)D是☉O上一點(diǎn)，∠CDB=20°,過(guò)點(diǎn)C作☉O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則∠E等于

.OCABED圖b50°當(dāng)堂練習(xí)AOBCEF圖a3.如圖a，點(diǎn)C是扇形OAB上的AB的任意一點(diǎn)，OA=2,連接AC,BC,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC,OF⊥BC，垂足分別為E,F，連接EF，則EF的長(zhǎng)度等于

.（當(dāng)堂練習(xí)ABCDPO圖bD’P4.如圖b,AB是⊙O的直徑，且AB=2，C,D是同一半圓上的兩點(diǎn)，并且AC與BD的度數(shù)分別是96°和36°，動(dòng)點(diǎn)P是AB上的任意一點(diǎn)，則PC+PD的最小值是

.（（當(dāng)堂練習(xí)5.

☉O的半徑為R，圓心到點(diǎn)A的距離為d，且R、d分別是方程x2－6x＋8＝0的兩根，則點(diǎn)A與☉O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)A在☉O內(nèi)部B．點(diǎn)A在☉O上C．點(diǎn)A在☉O外部D．點(diǎn)A不在☉O上解析：此題需先計(jì)算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的兩個(gè)根，然后再根據(jù)R與d的之間的關(guān)系判斷出點(diǎn)A與

☉O的關(guān)系.D當(dāng)堂練習(xí)6.（多解題）如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O，∠AOD=30°,半徑為1cm的☉P的圓心在射線OA上，且與點(diǎn)O的距離為6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動(dòng)，那么

秒鐘后☉P與直線CD相切.4或8解析：

根本題應(yīng)分為兩種情況：(1)☉P在直線AB下面與直線CD相切；(2)☉P在直線AB上面與直線CD相切.ABDCPP2P1E當(dāng)堂練習(xí)7.（1）一條弧所對(duì)的圓心角為135°，弧長(zhǎng)等于半徑為5cm的圓的周長(zhǎng)的3倍，則這條弧的半徑為

.（2）若一個(gè)正六邊形的