廣東省深圳市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2025屆高三數(shù)學(xué)4月綜合能力測(cè)試試題理

PAGE14-廣東省深圳市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2025屆高三數(shù)學(xué)4月綜合實(shí)力測(cè)試試題理本試卷分必做題和選做題兩部分．滿(mǎn)分分，考試時(shí)間分鐘．留意事項(xiàng)：1．客觀題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．主觀題用毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答．若在試題卷上作答，答題無(wú)效．2．選做題為二選一，先在答題卡上把對(duì)應(yīng)要選做的題目標(biāo)號(hào)涂黑，沒(méi)有選擇作答無(wú)效．3．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡收回第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合,,則（）A.B.C.D.2.設(shè)是平面，是空間兩條不重合的直線(xiàn)，且則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3.為考察某種藥物對(duì)預(yù)防新冠肺炎的效果，在四個(gè)不同的試驗(yàn)室取相同的個(gè)體進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，依據(jù)四個(gè)試驗(yàn)室得到的列聯(lián)表畫(huà)出如圖四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)該藥物對(duì)預(yù)防新冠肺炎有效果的圖形是（）4．歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉獨(dú)創(chuàng)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有特別重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面內(nèi)（）A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限5.平面對(duì)量與的夾角為60°，且，為單位向量，則（）A. B. C.19 D.6.已知圓C：x2＋y2－10y＋21＝0與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相切，則該雙曲線(xiàn)的離心率是（）A.B.C.D.7.函數(shù)的圖像大致是()8．已知，滿(mǎn)意且目標(biāo)函數(shù)的最大值為7，最小值為，則（）A.B.C.D.9.中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋,用于裝飾生活或協(xié)作其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù),蘊(yùn)含了極致的數(shù)學(xué)美和豐富的傳統(tǒng)文化信息?，F(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計(jì)圖如右圖,其中的4個(gè)小圓均過(guò)正方形的中心,且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊.若在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自黑色部分的概率為()A.B.C.D.10.已知函數(shù),且函數(shù)在上單調(diào)遞增,則正數(shù)的最大值為()A. B. C. D.11.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)意：，直線(xiàn)與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率之積（）A. B. C. D.不確定12．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，分別是上的點(diǎn)，過(guò)作平面，使得均與平行，且到的距離分別為，則正四面體的外接球被所截得的圓的面積為（）B.C.D.二、填空題（每題5分，滿(mǎn)分20分，將答案填在答題紙上）13．已知一組鞋碼與身高的數(shù)據(jù)（表示鞋碼，表示身高），其中.若用此數(shù)據(jù)計(jì)算得到回來(lái)直線(xiàn)，則由此估計(jì)當(dāng)鞋碼為時(shí)身高約為_(kāi)_________.14.已知，則二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中的系數(shù)為.15．中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，已知，，，則16.若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.(本小題滿(mǎn)分12分)已知遞增等差數(shù)列{}滿(mǎn)意，數(shù)列{}滿(mǎn)意.（Ⅰ）求{}的前項(xiàng)和；（Ⅱ）若，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式.18.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖1，在直角梯形中，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，將沿折起到圖2中的位置，使得，得到四棱錐.（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）若直線(xiàn)與平面所成角為.求.19.(本小題滿(mǎn)分12分)已知?jiǎng)訄A與定圓相外切，又與定直線(xiàn)相切,（Ⅰ）求動(dòng)圓的圓心的軌跡的方程，（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，直線(xiàn)分別交直線(xiàn)于點(diǎn)和點(diǎn)．求證:以為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的兩個(gè)定點(diǎn).方案防控等級(jí)費(fèi)用(單位:萬(wàn)元)方案一無(wú)措施0方案二防控1級(jí)災(zāi)難40方案三防控2級(jí)災(zāi)難10020.（本小題滿(mǎn)分12分）依據(jù)某地某條河流8月份的水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖(甲)所示;依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造,得到水位與災(zāi)難等級(jí)的頻率分布條形圖如圖(乙)所示.（Ⅰ）以此頻率作為概率,試估計(jì)該河流在8月份發(fā)生1級(jí)災(zāi)難的概率;（Ⅱ）該河流域某企業(yè),在8月份,若沒(méi)受1、2級(jí)災(zāi)難影響,利潤(rùn)為500萬(wàn)元;若受1級(jí)災(zāi)難影響,則虧損100萬(wàn)元;若受2級(jí)災(zāi)難影響則虧損1000萬(wàn)元.現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對(duì)方案:(如右表)。試問(wèn),如僅從利潤(rùn)考慮,該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案？說(shuō)明理由.（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)，求證：22.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn).(Ⅰ)求的長(zhǎng)；(Ⅱ)在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求點(diǎn)到線(xiàn)段中點(diǎn)的距離。23.(本小題滿(mǎn)分10分)選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最大值為，(Ⅰ)求的值，(Ⅱ)已知為正數(shù),且,證明:.數(shù)學(xué)（理）試卷答案第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合,,則（C.）A.B.C.D.2.設(shè)是平面，是空間兩條不重合的直線(xiàn)，且則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2.【答案】B.【解析】.3.為考察某種藥物對(duì)預(yù)防新冠肺炎的效果，在四個(gè)不同的試驗(yàn)室取相同的個(gè)體進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，依據(jù)四個(gè)試驗(yàn)室得到的列聯(lián)表畫(huà)出如圖四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)該藥物對(duì)預(yù)防新冠肺炎有效果的圖形是（）3.【答案】D【解析】從圖知，不服藥患病的概率高，服藥患病的概率低，故選D.4．歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉獨(dú)創(chuàng)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有特別重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面內(nèi)（）A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限4.【答案】A．【解析】5.平面對(duì)量與的夾角為60°，且，為單位向量，則（B）A. B. C.19 D.6.已知圓C：x2＋y2－10y＋21＝0與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相切，則該雙曲線(xiàn)的離心率是（C）A.B.C.D.7.函數(shù)的圖像大致是()7.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增解除，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減.8．已知，滿(mǎn)意且目標(biāo)函數(shù)的最大值為7，最小值為，則（）A.B.C.D.8.【答案】B.9.中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋,用于裝飾生活或協(xié)作其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù),蘊(yùn)含了極致的數(shù)學(xué)美和豐富的傳統(tǒng)文化信息?，F(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計(jì)圖如右圖,其中的4個(gè)小圓均過(guò)正方形的中心,且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊.若在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自黑色部分的概率為()A.B.C.D.9．【答案】B.【詳解】如圖所示，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，其中的4個(gè)圓過(guò)正方形的中心，且內(nèi)切正方形的兩鄰邊的小圓的半徑為r，故∴黑色部分面積，正方形的面積為1，∴在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黑色部分的概率為，故選：B．10.已知函數(shù),且函數(shù)在上單調(diào)遞增,則正數(shù)的最大值為()A. B. C. D.【答案】D.【詳解】依題意，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，即，，得11.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)意：，直線(xiàn)與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率之積（）A. B. C. D.不確定12.【答案】A.【解析】點(diǎn)的軌跡方程為12．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，分別是上的點(diǎn)，過(guò)作平面，使得均與平行，且到的距離分別為，則正四面體的外接球被所截得的圓的面積為（）B.C.D.12.C【解析】將正四面體補(bǔ)形成棱長(zhǎng)為6的正方體，則的外接球球心即為正方體的中心，故球的半徑,且與面平行，到面的距離分別為和，此時(shí)到的距離為，故被球所截圓半徑，從而截面圓的面積為.二、填空題（每題5分，滿(mǎn)分20分，將答案填在答題紙上）13．已知一組鞋碼與身高的數(shù)據(jù)（表示鞋碼，表示身高），其中.若用此數(shù)據(jù)計(jì)算得到回來(lái)直線(xiàn)，則由此估計(jì)當(dāng)鞋碼為時(shí)身高約為_(kāi)_________.13.【解析】，將代入回來(lái)直線(xiàn)可得，故當(dāng)鞋碼為時(shí)身高約為.14.已知，則二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中的系數(shù)為.14.【答案】.【解析】∴二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中的系數(shù)為.15．中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，已知，，，則15..【解析】，，，，.16.若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.【答案】【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；所以.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.(本小題滿(mǎn)分12分)已知遞增等差數(shù)列{}滿(mǎn)意，數(shù)列{}滿(mǎn)意.（Ⅰ）求{}的前項(xiàng)和；（Ⅱ）若，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式.解：(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{}公差為，由解得:,所以(Ⅱ)18.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖1，在直角梯形中，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，將沿折起到圖2中的位置，使得，得到四棱錐.（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）若直線(xiàn)與平面所成角為.，求.【解析】（I）在圖1中，易證四邊形為正方形，所以即在圖2中，，，從而為平面與平面所成二面角的平面角，又由知，所以平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知由，平面平面，且平面平面，又，所以平面，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，得：由得，，設(shè)平面的法向量，則，得，取，又，從而.19.(本小題滿(mǎn)分12分)已知?jiǎng)訄A與定圓相外切，又與定直線(xiàn)相切,（Ⅰ）求動(dòng)圓的圓心的軌跡的方程，（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，直線(xiàn)分別交直線(xiàn)于點(diǎn)和點(diǎn)．求證:以為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的兩個(gè)定點(diǎn).解：（Ⅰ）易知到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離相等，所以的軌跡方程為：（4分）（Ⅱ）明顯直線(xiàn)不與軸重合，設(shè)直線(xiàn)方程為：，與聯(lián)立消得：，設(shè)，則，直線(xiàn)方程為：，所以即，同理，所以以為直徑的圓方程為：，令得：，即，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的兩個(gè)定點(diǎn)和.(12分)方案防控等級(jí)費(fèi)用(單位:萬(wàn)元)方案一無(wú)措施0方案二防控1級(jí)災(zāi)難40方案三防控2級(jí)災(zāi)難10020.（本小題滿(mǎn)分12分）依據(jù)某地某條河流8月份的水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖(甲)所示;依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造,得到水位與災(zāi)難等級(jí)的頻率分布條形圖如圖(乙)所示.（Ⅰ）以此頻率作為概率,試估計(jì)該河流在8月份發(fā)生1級(jí)災(zāi)難的概率;（Ⅱ）該河流域某企業(yè),在8月份,若沒(méi)受1、2級(jí)災(zāi)難影響,利潤(rùn)為500萬(wàn)元;若受1級(jí)災(zāi)難影響,則虧損100萬(wàn)元;若受2級(jí)災(zāi)難影響則虧損1000萬(wàn)元.現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對(duì)方案:(如右表)。試問(wèn),如僅從利潤(rùn)考慮,該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案？說(shuō)明理由.18．解：（Ⅰ）依據(jù)甲圖，記該河流8月份“水位小于40米”為事務(wù)，“水位在40米至50米之間”為事務(wù)，“水位大于50米”為事務(wù)，它們發(fā)生的概率分別為：，．記該地8月份“水位小于40米且發(fā)生1級(jí)災(zāi)難”為事務(wù)，“水位在40米至50米之間且發(fā)生1級(jí)災(zāi)難”為事務(wù)，“水位大于50米且發(fā)生1級(jí)災(zāi)難”為事務(wù)，所以．記“該河流在8月份發(fā)生1級(jí)災(zāi)難”為事務(wù)．則．估計(jì)該河流在8月份發(fā)生1級(jí)災(zāi)難的概率為．（Ⅱ）以企業(yè)利潤(rùn)為隨機(jī)變量，選擇方案一，則利潤(rùn)（萬(wàn)元）的取值為：，由（1）知．的分布列為X1500－100－1000P0.810.1550.035則該企業(yè)在8月份的利潤(rùn)期望（萬(wàn)元）．選擇方案二，則（萬(wàn)元）的取值為：，由（Ⅰ）知，，的分布列為：X2460－1040P0.9650.035則該企業(yè)在8月份的平均利潤(rùn)期望（萬(wàn)元）選擇方案三，則該企業(yè)在8月份的利潤(rùn)為：（萬(wàn)元）由于，因此企業(yè)應(yīng)選方案二．（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)，求證：21．【解析】（Ⅰ）由已知，，則為在的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減.故當(dāng)在有兩不同的實(shí)根時(shí)，，解得（Ⅱ）不妨假設(shè)，則，時(shí)，所以在單調(diào)遞減，故而，設(shè)，則因?yàn)闀r(shí)，故，所以在單調(diào)遞減，故有，即成立，即