歷年高考數(shù)學真題精 編06 解三角形

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁歷年高考數(shù)學真題精編06解三角形一、單選題1．（2013·天津）在△ABC中，，則sin∠BAC=（）A． B． C． D．2．（2012·陜西）在中，角所對邊長分別為，若，則的最小值為A． B． C． D．3．（2013·遼寧）在中，內(nèi)角的對邊分別為.若，且，則A． B． C． D．4．（2013·全國）已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,則b等于()A．10 B．9 C．8 D．55．（2016·山東）中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知,則A=A． B． C． D．6．（2011·遼寧）ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=，則（）A． B． C． D．7．（2012·上海）在中，若,則的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定8．（2011·浙江）在中，角所對的邊分．若，則A．- B． C．-1 D．19．（2019·全國）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A．6 B．5 C．4 D．310．（2014·江西）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若，則的值為（

）A． B． C．1 D．11．（2023·北京）在中，，則（

）A． B． C． D．12．（2017·山東）在中，角的對邊分別為，，．若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是A． B． C． D．13．（2014·江西）在中，內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為，若則的面積A．3 B． C． D．14．（2017·全國）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=A． B． C． D．15．（2011·四川）在ABC中，．則的取值范圍是（）A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）16．（2016·全國）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，，，則b=A． B． C．2 D．317．（2008·福建）在中，角，，的對邊分別為，b，，若，則角的值為（

）．A． B．C．或 D．或18．（2020·山東）在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若，且，則等于（

）A．3 B． C．3或 D．-3或19．（2023·全國）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．20．（2023·全國）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．二、填空題21．（2014·福建）在中，,則的面積等于22．（2014·山東）在中，已知，當時，的面積為________.23．（2015·天津）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知的面積為，，則的值為．24．（2021·全國）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則．25．（2014·廣東）在中，角、、所對應(yīng)的邊分別為、、，已知，則.26．（2014·全國）已知分別為三個內(nèi)角的對邊，，且，則面積的最大值為．27．（2015·北京）在中，，，，則．28．（2015·重慶）在中，，，的角平分線，則.29．（2015·重慶）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且，則．30．（2016·全國）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，則b=.31．（2017·全國）的內(nèi)角的對邊分別為，若，則．32．（2007·江蘇）在平面直角坐標系中，已知的頂點，頂點在橢圓上，33．（2018·全國）△的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則△的面積為．34．（2018·北京）若的面積為,且∠C為鈍角，則∠B=；的取值范圍是.35．（2012·福建）已知△ABC得三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為.36．（2011·上海）在相距2千米的、兩點處測量目標，若，則、兩點之間的距離是千米．37．（2019·浙江）在中，，，，點在線段上，若，則；.38．（2019·全國）的內(nèi)角的對邊分別為.若，則的面積為.39．（2019·全國）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=.40．（2022·全國）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，．三、解答題41．（2012·浙江）在△ABC中，內(nèi)角A,B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值42．（2014·陜西）的內(nèi)角所對的邊分別為.（1）若成等差數(shù)列，證明：；（2）若成等比數(shù)列，且，求的值.43．（2022·全國）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：44．（2007·浙江）已知的周長為，且.(1)求邊的長；(2)若的面積為，求角的度數(shù).45．（2022·天津）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.46．（2004·浙江）在中，角、、所對的邊分別為、、，且．(1)求的值；(2)若，求的最大值．47．（2013·湖北）在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大??；（2）若△ABC的面積S=5，b=5，求sinBsinC的值．48．（2010·浙江）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,設(shè)S為△ABC的面積，滿足．（Ⅰ）求角C的大??；（Ⅱ）求的最大值．49．（2010·遼寧）在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且（Ⅰ）求A的大??；（Ⅱ）求的最大值.50．（2015·陜西）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．向量與平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面積．51．（2013·全國）△ABC在內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值.52．（2011·湖南）在中，角所對的邊分別為且滿足（1）求角的大?。唬?）求的最大值，并求取得最大值時角的大?。?3．（2013·江西）在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求角的大??；（2）若，求的取值范圍．54．（2020·江蘇）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．55．（2020·山東）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．56．（2020·北京）在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．57．（2021·全國）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.58．（2006·江西）在銳角中，角A?B，C所對的邊分別為a?b?c，已知.(1)求的值；(2)若，求b的值.59．（2023·全國）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．60．（2023·全國）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【解析】∵∠ABC=，AB=，BC=3，∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=2+9﹣6=5，∴AC=，則由正弦定理=得：sin∠BAC==．故選C2．C【解析】，由余弦定理得,當且僅當時取“”，的最小值為，選C.3．A【解析】邊換角后約去sinB，得sin(A＋C)＝，所以sinB＝，但∠B非最大角，所以∠B＝.4．D【解析】由題意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,又因△ABC為銳角三角形,所以cosA=.△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,即b2-b-13=0,即b=5或b=-(舍去),故選D.5．C【解析】試題分析：由余弦定理得：，因為，所以，因為，所以，因為，所以，故選C.6．D【解析】∵△ABC中，asinAsinB+bcos2A＝a，∴根據(jù)正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A＝sinA，可得sinB（sin2A+cos2A）＝sinA，∵sin2A+cos2A＝1，∴sinB＝sinA，得b＝a，可得＝．故選D．7．C【解析】由正弦定理得，則，角C為鈍角，故選C.8．D【解析】試題分析：由得9．A【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．10．D【解析】由正弦定理有.又,故.故選：D11．B【解析】因為，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.12．A【解析】所以，選A.13．C【解析】試題分析：因為所以由余弦定理得：，即，因此的面積為選C.14．B【解析】sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故選B．15．C【解析】試題分析：由于，根據(jù)正弦定理可知，故．又，則的范圍為.故本題正確答案為C.16．D【解析】由余弦定理得，解得（舍去），故選D.7．D【解析】解：，，即，且有意義即，，在中，為或，故選：．18．A【解析】，，，，，，，，故選：A.19．C【解析】法一：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，因為底面為正方形，，所以，則，又，，所以，則，又，，所以，則，在中，，則由余弦定理可得，故，則，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.法二：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，因為底面為正方形，，所以，在中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因為，所以，即，則，整理得①，又在中，，即，則②，兩式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.故選：C.20．C【解析】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.21．【解析】由正弦定理可得.所以的面積等于.22．【解析】由得，，所以，.23．【解析】因,故,由題設(shè)可得,即,所以,所以,應(yīng)填.24．【解析】由題意，，所以，所以，解得（負值舍去）.故答案為：.25．.【解析】，由邊角互化得，即，即，所以.26．【解析】試題分析：由，且，故，又根據(jù)正弦定理，得，化簡得，，故，所以，又，故．27．【解析】28．【解析】試題分析：由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因為，所以．所以，所以＝，所以．29．4【解析】由及正弦定理，得．又因為，所以．由余弦定理得：，所以．30．【解析】因為，且為三角形的內(nèi)角，所以，，又因為，所以.31．【解析】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴條件等式變?yōu)?bcosB＝b，∴cosB＝.又0<B<π，∴B＝.32．【解析】由題意橢圓中．故是橢圓的兩個焦點，，由正弦定理得33．.【解析】［方法一］：【最優(yōu)解】邊化角因為，由正弦定理得，因為，所以．又因為，由余弦定理，可得，所以，即為銳角，且，從而求得，所以的面積為.故答案為：.［方法二］：角化邊因為，由正弦定理得，即，又，所以，．又因為，由余弦定理，可得，所以，即為銳角，且，從而求得，所以的面積為.故答案為：.34．【解析】，，即，，則，為鈍角，，，故.故答案為，.35．【解析】根據(jù)題意設(shè)三角形的三邊長分別設(shè)為為，所對的角為最大角，設(shè)為，則根據(jù)余弦定理得，故答案為.36．【解析】解：由A點向BC作垂線，垂足為D，設(shè)AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°-75°-60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB?sin60°=xx="6"（千米）答：A、C兩點之間的距離為千米．故答案為下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°-75°-60°=45°又相距2千米的A、B兩點∴，解得AC=答：A、C兩點之間的距離為千米．故答案為37．【解析】在中，正弦定理有：，而,，，所以.38．【解析】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，39．.【解析】由正弦定理，得．，得，即，故選D．40．【解析】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當且僅當，即時等號成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時所以當取最小值時，，即.

41．（1）B=60°（2）【解析】（1)由正弦定理得42．（1）證明見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）因為成等差數(shù)列，所以，再由三角形正弦定理得，又在中，有，所以，最后得：，即得證；（2）因為成等比數(shù)列，所以，由余弦定理得，又，所以的值為試題解析：（1）成等差數(shù)列由正弦定理得（2）成等比數(shù)列由余弦定理得43．(1)；(2)證明見解析．【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．44．(1)(2)【解析】（1）解：由正弦定理知，，，的周長為，，．（2）解：的面積，，由（1）知，，，由余弦定理知，，．45．(1)；(2)；(3)【解析】（1）因為，即，而，代入得，解得：．（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因為，所以，故，又，所以，，而，所以，故．46．(1)(2)【解析】（1）解：因為；（2）解：根據(jù)余弦定理可知：，，又，即，，當且僅當時，，故的最大值是．47．（1）（2）【解析】（1）由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．因為0<A<π，所以A＝.（2）由S＝bcsinA＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.從而由正弦定理得sinBsinC＝sinA×sinA＝sin2A＝×＝.48．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】解：（1）由題意可知，；（2）當△ABC為等邊三角形的時候取得最大值．49．(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1.【解析】(Ⅰ)，,即.，.(Ⅱ)，，∴當即時，取得最大值1.50．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（1）因為向量與平行，所以，由正弦定理得，又，從而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因為c>0，所以c＝3.故△ABC的面積為bcsinA＝.考點：平面向量的共線應(yīng)用；正弦定理與余弦定理.51．（Ⅰ）B=（Ⅱ）【解析】(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB

①在三角形ABC中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2)S△ABCacsinBac，由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，整理得：ac，當且僅當a＝c時，等號成立，則△ABC面積的最大值為（2）1．52．（1）；（2）最大值為2，此時【解析】（1）由正弦定理得因為所以（2）由（1）知于是取最大值2．綜上所述，的最大值為2，此時53．（1）；（2）【解析】（1）∵，∴，即，∵，∴，∴．（2）由余弦定理可知，代入可得，當且僅當時取等號，∴，又，∴的取值范圍是．54．（1）；（2）.【解析】（1）[方法一]：正余弦定理綜合法由余弦定理得，所以.由正弦定理得.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法過點A作，垂足為E．在中，由，可得，又，所以．在中，，因此．（2）[方法一]：兩角和的正弦公式法由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正切公式法

在（1）的方法二的圖中，由，可得，從而．又由（1）可得，所以．[方法三]：幾何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得．在中，，所以．在中，由正弦定理可得，由此可得．[方法四]：構(gòu)造直角三角形法

如圖，作，垂足為E，作，垂足為點G．在（1）的方法二中可得．由，可得．在中，．由（1）知，所以在中，，從而．在中，．所以．55．【解析】［方法一］【最優(yōu)解】：余弦定理由可得：，不妨設(shè)，則：，即.若選擇條件①：據(jù)此可得：，，此時.若選擇條件②：據(jù)此可得：，則：，此時：，則：.若選擇條件③：可得，，與條件矛盾，則問題中的三角形不存在.［方法二］：正弦定理由，得．由，得，即，得．由于，得．所以．若選擇條件①：由，得，得．解得．所以，選條件①時問題中的三角形存在，此時．若選擇條件②：由，得，解得，則．由，得，得．所以，選條件②時問題中的三角形存在，此時．若選擇條件③：由于與矛盾，所以，問題中的三角形不存在．5