2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-導(dǎo)數(shù)在不等式、恒等式和零點(diǎn)問題綜合應(yīng)用-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】　　　

導(dǎo)數(shù)在不等式.恒等式和零點(diǎn)問題綜合應(yīng)用-專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）【練基礎(chǔ)】一、單選題1．（2023·陜西咸陽·?？寄M預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2023·江西·校聯(lián)考一模）已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．3．（2024秋·甘肅武威·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖像大致是（

）A． B． C． D．4．（2024秋·山東東營·高三廣饒一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，若函數(shù)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（），且在有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2024秋·湖南岳陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程恰好有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2024·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)（其中，）有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（2024秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程在區(qū)間上的實(shí)根個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的可能的值為（

）A． B． C． D．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．在上是增函數(shù)B．，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為C．若有兩個(gè)零點(diǎn)，則D．若，且，則的最大值為11．（2024·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)在處取得最大值B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)D．恒成立12．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極大值點(diǎn)為B．有且僅有3個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是的對(duì)稱中心D．三、填空題13．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為__________.14．（2024·上海奉賢·統(tǒng)考一模）已知某商品的成本和產(chǎn)量滿足關(guān)系，該商品的銷售單價(jià)和產(chǎn)量滿足關(guān)系式，則當(dāng)產(chǎn)量等于__________時(shí)，利潤最大.15．（2024·上海普陀·統(tǒng)考一模）設(shè)、、均為正數(shù)且，則使得不等式總成立的的取值范圍為______．16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心，若函數(shù)，則______.四、解答題17．（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為正實(shí)數(shù)，函數(shù).(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)求證：（）.18．（2023·全國·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知為正整數(shù)，，.(1)求的最大值；(2)若恒成立，求正整數(shù)的取值的集合.（參考數(shù)據(jù)：）19．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)已知，證明：；(3)若恒成立，求的取值范圍．【提能力】一、單選題21．（2024秋·山西陽泉·高三陽泉市第一中學(xué)校?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．22．（2023·全國·高三專題練習(xí)），則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A． B． C． D．25．（2023·全國·高三對(duì)口高考）函數(shù)在的圖象大致為（

）A． B．C． D．26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．29．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題30．（2021·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的有（

）A．在處取得極大值B．有兩不同零點(diǎn)C．D．若在上恒成立，則31．（2023秋·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則B．曲線與直線相切C．若為增函數(shù)，則的取值范圍為D．在上最多有個(gè)零點(diǎn)32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則B．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則在上的最小值為C．若在上單調(diào)遞減，則D．若在上恒成立，則33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．三、填空題34．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為___________.35．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.36．（2021春·全國·高三專題練習(xí)）若時(shí)，關(guān)于不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是______.37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．四、解答題38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)①；②．39．（2024·重慶永川·重慶市永川北山中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．40．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．41．（2022秋·江西南昌·高三南昌大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范圍.導(dǎo)數(shù)在不等式.恒等式和零點(diǎn)問題綜合應(yīng)用-專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）【練基礎(chǔ)】一、單選題1．（2023·陜西咸陽·?？寄M預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用，可判斷，再利用，即可得到答案.【詳解】，則，故函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則則，即由，∴，故同理可證又，∴，則故選：C.2．（2023·江西·校聯(lián)考一模）已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】討論的取值范圍，利用函數(shù)圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)而得解．【詳解】解：關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，設(shè)，，若，對(duì)任意恒成立，則，對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖象，顯然，由圖可知，對(duì)任意不恒成立；當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖象，顯然，由圖可知，對(duì)任意不恒成立；當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖象，由圖可知，臨界條件是直線與曲線的圖象相切時(shí)，由，求導(dǎo)，設(shè)，解得，且，當(dāng)?shù)那芯€斜率為2時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，故，所以，即，所以，令，求導(dǎo)，令，得，即，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取到最大值，且.故的最大值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的恒成立問題與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，屬于難題．解決本問題的關(guān)鍵為討論的取值范圍，利用函數(shù)圖象，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立轉(zhuǎn)化為切線問題，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)而得解．3．（2024秋·甘肅武威·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖像大致是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)，極值點(diǎn)，單調(diào)性即可解決.【詳解】解：由得或，故BD錯(cuò)；又，所以，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，在處取得極大值，在處取得極小值，故A錯(cuò).故選：C4．（2024秋·山東東營·高三廣饒一中校考階段練習(xí)）設(shè)，若函數(shù)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)與，先利用導(dǎo)數(shù)研究得的性質(zhì)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)研究得的性質(zhì)，從而作出的圖像，由此得到，分類討論與時(shí)的零點(diǎn)情況，據(jù)此得解.【詳解】令，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，又因?yàn)閷?duì)于任意，在總存在，使得，在上由于的增長速率比的增長速率要快得多，所以總存在，使得，所以在與上都趨于無窮大；令，則開口向下，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故，.因?yàn)楹瘮?shù)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，而已經(jīng)有唯一零點(diǎn)，所以必須有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，則，即在處取不到零點(diǎn)，故至多只有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，，則，所以在處取得零點(diǎn)，結(jié)合圖像又知與必有兩個(gè)交點(diǎn)，故在與必有兩個(gè)零點(diǎn)，所以有且只有三個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；綜上：，即.故選：C.5．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（），且在有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用零點(diǎn)的意義等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)作答.【詳解】，，由得，，則，令，依題意，函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，顯然，而在上單調(diào)遞增，則有，當(dāng)或，即或時(shí)，在上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，即有函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)1，因此，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，要函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)在上有一個(gè)零點(diǎn)，即有，解得，所以的取值范圍.故選：C6．（2024秋·湖南岳陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程恰好有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)的問題，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合，即可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故不是方程的根；當(dāng)時(shí)，方程恰好有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根即與的圖象有個(gè)交點(diǎn)；又，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，在時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，；時(shí)，；且；又當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，；時(shí)，；故在同一坐標(biāo)系下，的圖象如下所示：數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)，即時(shí)滿足題意，故的取值范圍為.故選：D.7．（2024·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)（其中，）有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、方程的解個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可得方程有2個(gè)不同的解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得，即函數(shù)與圖象在上有2個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求解.【詳解】函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則方程有2個(gè)不同的解，方程，設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，即，則函數(shù)與圖象在上有2個(gè)交點(diǎn).設(shè)函數(shù)，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，解得.故選：D.8．（2024秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程在區(qū)間上的實(shí)根個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性與極值，作出函數(shù)在上的圖象，由可得或，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由可得或，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，由題意可知，函數(shù)在區(qū)間上的圖象可在在上的圖象先向右平移個(gè)單位，再將所得圖象的縱坐標(biāo)伸長為原來的倍得到，作出函數(shù)在的圖象如下圖所示：由圖可知，方程、在區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)分別為、，因此，方程在區(qū)間上的實(shí)根個(gè)數(shù)為.故選：C.二、多選題9．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的可能的值為（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解的單調(diào)性，問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造，求解最值即可.【詳解】，故恒成立，轉(zhuǎn)化成恒成立，記，則在單調(diào)遞增，故由得，故恒成立，記，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故由恒成立，即,故，故選：AD【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．在上是增函數(shù)B．，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為C．若有兩個(gè)零點(diǎn)，則D．若，且，則的最大值為【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)中，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本原則可知A正確；B選項(xiàng)中，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，由此可將恒成立的不等式化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由可知B正確；C選項(xiàng)中，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，由此確定，若，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，從而得到，知，可得C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中，采用同構(gòu)法將已知等式化為，從而可確定，結(jié)合單調(diào)性得到，由此化簡得到，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值，知D正確.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，令，則，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上為增函數(shù)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，又為正實(shí)數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，則由得：，即，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，則正實(shí)數(shù)的最小值為，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，則；不妨設(shè)，則必有，若，則，等價(jià)于，又，則等價(jià)于；令，則，，，，，即，在上單調(diào)遞增，，即，，可知不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得：，即，由C知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，，則，，，即，；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即的最大值為，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)考查了導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題；處理極值點(diǎn)偏移中的類似于（）的問題的基本步驟如下：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.11．（2024·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)在處取得最大值B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)D．恒成立【答案】AD【分析】確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷函數(shù)的極值點(diǎn),由此可判斷;求得函數(shù)的最值，數(shù)形結(jié)合，判斷函數(shù)的零點(diǎn)情況，判斷C;將化為，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，解決不等式恒成立問題，判斷D.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，故函數(shù)在處取得極大值，也即最大值，A正確；由上分析可知當(dāng)時(shí)，遞增，故B錯(cuò)誤；函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)圖象如圖示：由此可知函數(shù)在上無零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；不等式恒成立即恒成立，即恒成立，令，則，令，，∴在上單調(diào)遞增，，故在上存在唯一零點(diǎn)，且，由，可得，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故函數(shù)的極小值為，而，即函數(shù)在上恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，D正確，故選：12．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極大值點(diǎn)為B．有且僅有3個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是的對(duì)稱中心D．【答案】BCD【分析】求出，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求得極值，要注意極值點(diǎn)是一個(gè)數(shù)，可判斷A項(xiàng)；根據(jù)極大值、極小值的正負(fù)，可得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即判斷B項(xiàng)；根據(jù)的解的情況，可判斷C項(xiàng)；由對(duì)稱中心可推得，用倒序相加法即可求得式子的和，判斷D項(xiàng).【詳解】由題意知.令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；令，解得，所以在上單調(diào)遞減.又，.所以，在處有極大值，在處有極小值.所以的極大值點(diǎn)為-2，A項(xiàng)錯(cuò)誤；又極大值，極小值，作出的圖象，有圖象可知，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，故B正確；，令，解得，又，由題意可知，點(diǎn)是的對(duì)稱中心，故C正確；因?yàn)辄c(diǎn)是的對(duì)稱中心，所以有，即.令，又，所以，，所以.故D正確.故選：BCD.三：填空題13．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為__________.【答案】【分析】將已知條件變形為，令，則有，又因?yàn)?，從而確定的單調(diào)性，從而可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可得答案.【詳解】解：因?yàn)閷?duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，所以，又因?yàn)?，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，與1的大小不定，但當(dāng)實(shí)數(shù)最小時(shí)，只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，此時(shí),因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，兩邊取對(duì)數(shù)得：,所以，令，則，令，得：，令，得：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，故的最小值是.故答案為：14．（2024·上海奉賢·統(tǒng)考一模）已知某商品的成本和產(chǎn)量滿足關(guān)系，該商品的銷售單價(jià)和產(chǎn)量滿足關(guān)系式，則當(dāng)產(chǎn)量等于__________時(shí)，利潤最大.【答案】200【分析】首先求出關(guān)于利潤的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)利潤為，則，而，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，即在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以時(shí)，利潤最大.故答案為：15．（2024·上海普陀·統(tǒng)考一模）設(shè)、、均為正數(shù)且，則使得不等式總成立的的取值范圍為______．【答案】【分析】由已知可得出，不妨設(shè)，，其中，可得出，令，可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?、、均為正?shù)且，則，不妨設(shè)，，其中，所以，，因?yàn)?，則，令，則，所以，，所以，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，所以，.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心，若函數(shù)，則______.【答案】8090【分析】本題首先可根據(jù)得出，從而，然后令，求出對(duì)稱中心，，最后根據(jù)即可求出算式.【詳解】由題意因?yàn)椋?，，令，解得，，由題意得對(duì)稱中心為，所以，，故答案為：8090.四：解答題17．（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為正實(shí)數(shù)，函數(shù).(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)求證：（）.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論判斷單調(diào)性，結(jié)合恒成立問題運(yùn)算求解；（2）根據(jù)（1）可得不等式可證，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)證明，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證.【詳解】（1），①若，即，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，故，滿足條件；②若，即，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，則，矛盾，不符合題意.綜上所述：.（2）先證右側(cè)不等式，如下：由（1）可得：當(dāng)時(shí)，有，則，即，即，則有，即，右側(cè)不等式得證.下證左側(cè)不等式，如下：構(gòu)建，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，則，即，可得，即，則有，即，∵，則，故，左側(cè)得證.綜上所述：不等式成立.18．（2023·全國·唐山市第十一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知為正整數(shù)，，.(1)求的最大值；(2)若恒成立，求正整數(shù)的取值的集合.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，進(jìn)而得出最值.（2）由得出，即，討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)得出的最小值，再由導(dǎo)數(shù)得出成立的正整數(shù)的取值的集合.【詳解】（1）令可得：；令可得：.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故的最大值為.（2）因?yàn)楹愠闪ⅲ裕春愠闪?，所?，當(dāng)或時(shí)，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，此時(shí)滿足，故或滿足條件.當(dāng)時(shí)，令可得；令時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，所以，所以，所以，令，令，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，，所以在上存在唯一的零點(diǎn).令可得：；令可得：.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，所以，又，，所以，?因?yàn)?，所?綜上，正整數(shù)的取值的集合為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問題二時(shí)，關(guān)鍵是由等價(jià)于，從而將問題轉(zhuǎn)化為最值問題，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.19．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞區(qū)間為(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)找最值的方法解決恒成立問題，求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，當(dāng)時(shí)，，令得，所以函數(shù)在上單遞遞增；令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞區(qū)間為．（2）恒成立，等價(jià)于恒成立，令，因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以恒成立，等價(jià)于恒成立令，問題等價(jià)于恒成立①若時(shí)，恒成立，滿足題意；②若時(shí)，則，所以，不滿足題意；③若時(shí)，因?yàn)?，令，得，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，要使得，恒成立，只需，解得綜上：【解法二】恒成立，等價(jià)于，令①若時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，，即，滿足，②若時(shí)，則，，所以在上單調(diào)遞增，由，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?；函?shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?；所以，使得，不滿足題意．③若時(shí)，令，∴，令，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?；函?shù)在上單調(diào)遞減，值域?yàn)?；則，；，，；，，所以，，，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，只需即可，∴，∴，令，，∴在上單調(diào)遞增，，∴時(shí)，，，，所以在上單調(diào)遞增，∴，即，綜上：【點(diǎn)睛】1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3..證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.20．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)已知，證明：；(3)若恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)0(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，即可確定其最小值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論即可，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可證明不等式；（3）將參數(shù)與變量分開，通過構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性，求出最值即可得出的取值范圍.【詳解】（1）因，則，令，得，又時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；即函數(shù)在處取最小值，即所以的最小值為0．（2）由（1）小題結(jié)論可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則時(shí)，即所以所以不等式成立.（3）由題可知，恒成立等價(jià)于不等式恒成立，令，則命題等價(jià)于，由（1）知，，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)，即時(shí)能取等號(hào)，所以，即的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解參數(shù)取值范圍問題，常用的方法是將參數(shù)與自變量分離，再通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性求出其最值，即可求得參數(shù)的取值范圍.【提能力】一：選擇題21．（2024秋·山西陽泉·高三陽泉市第一中學(xué)校?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)使得滿足，求導(dǎo)可得出函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得且，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的最小值為.又，.直線恒過定點(diǎn)且斜率為，故且，解得，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，涉及數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化，屬于中等題.22．（2023·全國·高三專題練習(xí)），則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而比較，，的大小，若有兩個(gè)解，則，，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)確定，進(jìn)而得到，即可判斷a、c的大小，即可知正確選項(xiàng).【詳解】令，則，，，而且，即時(shí)單調(diào)增，時(shí)單調(diào)減，又，∴，.若有兩個(gè)解，則，，即，，令，則，即在上遞增，∴，即在上，，若即，故，有∴當(dāng)時(shí)，，故，綜上：.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定a，b，c的大小.23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出圖像，利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】由函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)的圖像與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，，求導(dǎo)，令，得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值；作出函數(shù)圖像，如圖所示，由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【解析】先判斷時(shí)，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．【詳解】∵，即，（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)函數(shù)單增，當(dāng)函數(shù)單減，故，所以．當(dāng)時(shí)，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行綜合分析．25．（2023·全國·高三對(duì)口高考）函數(shù)在的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】試題分析：函數(shù)|在[–2,2]上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)?，所以排除選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，有一零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)．故選：D.

26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)存在零點(diǎn)可知有解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由函數(shù)存在零點(diǎn)，則有解，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．則時(shí)取得最小值，且，所以m的取值范圍是．故選：C27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】不等式在上恒成立的兩個(gè)臨界狀態(tài)是與相切和與相切時(shí)，故求兩種狀態(tài)下的值，即可得的取值范圍．【詳解】畫出函數(shù)的圖像如圖所示.在上恒成立即函數(shù)的圖像恒在直線的圖像的下方，且直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，，可得，解得，則直線斜率為，即；當(dāng)直線與相切時(shí)，此時(shí)由，得，令，得或（舍），所以由圖像可知故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先研究時(shí)，的單調(diào)性和極值，畫出分段函數(shù)的圖象，換元后數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布情況，列出不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.作出大致圖象，函數(shù)恰有5個(gè)不同零點(diǎn)，即方程恰有5個(gè)根.令，則需方程.（l）在區(qū)間和上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，令函數(shù)，則解得.（2）方程（*）在和各有一根時(shí)，則即無解.（3）方程（*）的一個(gè)根為6時(shí)，可得，驗(yàn)證得另一根為，不滿足.（4）方程（*）的一個(gè)根為1時(shí)，可得，可知不滿足.綜上，.故選：A【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)結(jié)合問題，要利用數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，這道題目中要先研究出分段函數(shù)的圖象，再令，換元后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題，接下來就迎刃而解了.29．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為根的分布求出a的范圍，利用分離參數(shù)法得到.把轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的值域，即可得到答案.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，于是有，解得.因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以恒成?，設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，故，所以.因此實(shí)數(shù)t的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.二、多選題(共0分)30．（2021·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的有（

）A．在處取得極大值B．有兩不同零點(diǎn)C．D．若在上恒成立，則【答案】ACD【分析】A?根據(jù)極值的定義求解判斷；B?令，結(jié)合函數(shù)的圖象判斷；C?利用函數(shù)的圖象，結(jié)合判斷；D?根據(jù)在上恒成立，由求解判斷.【詳解】A?函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，得，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為，故A正確；B?當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，則的圖象如圖：由，得，得，即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；C?由圖象知，，故成立，故C正確；D?若在上恒成立，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值同時(shí)也是最大值，為，∴，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)法，得到函數(shù)的圖象而得解.31．（2023秋·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則B．曲線與直線相切C．若為增函數(shù)，則的取值范圍為D．在上最多有個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【分析】由定義法確定函數(shù)的奇偶性，再求導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與切線斜率，以及零點(diǎn)情況.【詳解】因?yàn)閷?duì)于任意，都有，所以為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確.又，令，得(*)，因?yàn)椋?，所以方?*)無實(shí)數(shù)解，即曲線的所有切線的斜率都不可能為，故B錯(cuò)誤.若為增函數(shù)，則大于等于0，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故C正確.令，得或().設(shè)，則，令，則.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)為增函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，，從而，單調(diào)遞增.又因?yàn)閷?duì)于任意，都有，所以為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱.綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則直線與最多有2個(gè)交點(diǎn)，所以在上最多有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選ACD.32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則B．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則在上的最小值為C．若在上單調(diào)遞減，則D．若在上恒成立，則【答案】ABC【分析】對(duì)于A，由可求出的值，對(duì)于B，由選項(xiàng)A，可求得，然后利用導(dǎo)數(shù)可求出在上的最小值，對(duì)于C，由題意可得，可求出的范圍，對(duì)于D，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可【詳解】對(duì)于A，由，得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，得，經(jīng)檢驗(yàn)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以A正確，對(duì)于B，由選項(xiàng)A，可知，則，由，得或，由，得，所以在和遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得最小值，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，得在上恒成立，令，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以C正確，對(duì)于D，由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，令，，則，所以上單調(diào)遞增，所以，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：ABC33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】分別取函數(shù)與，通過求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，即可得出結(jié)果．【詳解】令，由，當(dāng)時(shí)，故在上遞減，所以，則A錯(cuò)，B正確；令，由，當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)有，所以存在，有，所以在上不單調(diào)，在C中，化為，因?yàn)?，故C錯(cuò)，在D，化為，則D錯(cuò)，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造新函數(shù)通過單調(diào)來判斷不等式是否成立．三、填空題(共0分)34．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為___________.【答案】【分析】求導(dǎo)可得的解析式，根據(jù)題意，有兩個(gè)極值點(diǎn)，可得恰有兩個(gè)正根，所以有唯一正根，即有唯一正根，設(shè)，求導(dǎo)可得的單調(diào)性，結(jié)合的圖象，綜合分析，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以恰有兩個(gè)正根，即為一個(gè)根，則有唯一正根，且，即有唯一正根，且，設(shè)，則的圖象與圖象有一個(gè)交點(diǎn)，，所以時(shí)，，所以在為增函數(shù)，又，因?yàn)?，所以所以只需且，即可滿足題意，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性與極值的方法，并靈活應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)為，根據(jù)題意，已經(jīng)為一個(gè)根，則有唯一正根，且，故，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.35．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【分析】設(shè)，，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，根據(jù)已知條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，其中，則，①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于函數(shù)，該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，可得，列表如下：極小值所以，.（i）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則，不符合題意；（ii）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，即.對(duì)于函數(shù)，，所以，當(dāng)時(shí)，，，則對(duì)任意的恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.36．（2021春·全國·高三專題練習(xí)）若時(shí)，關(guān)于不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是______.【答案】【解析】對(duì)分類討論，當(dāng)時(shí)，不等式顯然恒成立.當(dāng)時(shí)，對(duì)不等式進(jìn)行變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性化簡不等式，最后分離參數(shù)，即可求出的范圍，進(jìn)而求出的最大值.【詳解】當(dāng)，時(shí)，不等式顯然恒成立.當(dāng)時(shí)，.由于，即.所以原不等式恒成立，等價(jià)于恒成立.構(gòu)造函數(shù)，.易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則原不等式等價(jià)于要證.因?yàn)?，要使?shí)數(shù)的最大，則應(yīng).即.記函數(shù)，則.易知，.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.因此只需.綜上所述，實(shí)數(shù)的最大值是.故答案為：【點(diǎn)睛】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)．關(guān)鍵是分離參數(shù)，把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到．(3)根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性化簡所求的不等式是本題關(guān)鍵之步.37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，由，可得或，①正確；對(duì)于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；對(duì)于③，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．四、解答題(共0分)38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)①；②．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：，當(dāng)時(shí)，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．39．（2024·重慶永川·重慶市永川北山中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2