2024年新九年級數(shù)學開學摸底考試卷01（人教版）

新九年級開學摸底考試卷（全國通用，人教版）01數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試范圍：人教版八年級下冊全部4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（23-24八年級下·江蘇淮安·期末）下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．2．（23-24八年級下·河南新鄉(xiāng)·期末）宋朝的詩句中寫到“又是殘春將立夏，如何到處不啼鶯”．立夏后的第一周，小明將每日氣溫情況記錄后，繪制了如下折線統(tǒng)計圖，下列說法中正確的是（

）

A．這周最高氣溫是 B．這周的最大溫差是C．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 D．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期末）直角三角形兩邊長分別為5和6，則第三邊長為（

）A． B． C．6 D．或4．（23-24八年級下·四川德陽·期末）下列命題中正確的是（

）A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B．對角線相等的四邊形是矩形C．對角線相互平分且垂直的四邊形是菱形D．對角線相等且相互垂直的四邊形是正方形5．（23-24八年級下·湖北武漢·階段練習）如圖，陰影部分表示以的各邊為直徑的三個半圓所組成的兩個新月形，面積分別記作和．若，，則的周長是（

）A．12 B．13 C．14 D．156．（2024·云南楚雄·模擬預測）如圖，在中，平分交于點．若，，則的周長為（

）A．16 B．14 C．10 D．87．23-24八年級下·陜西·期末已知一次函數(shù)（），小宇在列表、描點、連線畫函數(shù)圖象時，列出的表格如下：…………則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)值隨著的增大而增大B．函數(shù)圖象不經(jīng)過第四象限C．不等式的解集為D．一次函數(shù)的圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積為8．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）小明同學手中有一張矩形紙片，，，他進行了如下操作：第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，將紙片展平．第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把沿折疊得到，交折痕于點E，則線段的長為（

）A． B． C． D．9．（23-24八年級·北京·期末）如圖1，在平面直角坐標系中的四個點，恒過定點的直線，與四邊形交于點M，N（點M和N可以重合）．根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，線段的長度l可以看做k的函數(shù)，繪制函數(shù)l的圖象如圖2．下列說法正確的是（

）A．l是k的一次函數(shù) B．函數(shù)l有最大值為3C．當時，函數(shù)l隨k的增大而增大 D．函數(shù)l的圖象與橫軸的一個交點是10．（23-24八年級下·廣東陽江·期中）如題圖，正方形中，點在上，且，點是的中點，點是的中點，延長，與的延長線交于點．以下四個結論：①；②是直角三角形；③；④．其中正確結論的個數(shù)（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）11．（23-24八年級·河南新鄉(xiāng)·期末）某大學自主招生考試需要考查數(shù)學和物理．計算綜合得分時，按數(shù)學，物理占計算．已知小明數(shù)學得分為130分，綜合得分為118分，那么小明物理得分是分．12．（23-24七年級下·陜西西安·期末）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁處所走的最短路程為．（杯壁厚度不計，結果保留根號）13．（23-24八年級下·北京房山·期末）已知點，在一次函數(shù)的圖象上，且，則k的取值范圍是．14．（北京市東城區(qū)2023-2024學年八年級下學期期末數(shù)學試題）我國漢代數(shù)學家趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”．如圖，四個全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，連接．若正方形的面積為5，，則的長為．

15．（23-24八年級下·浙江嘉興·期末）非零實數(shù)，滿足，則．16．（23-24八年級下·湖北武漢·期末）如圖，矩形的對角線交于點O，過點O作交于點F．若，則長為．17．（23-24八年級下·四川巴中·期末）如圖，在平面直角坐標系中，點是直線上一點，過作軸，交直線于點，過作軸，交直線于點，過作作軸，交直線于點，…，依次做下去，若點的縱坐標是1，則的縱坐標是．

18．（23-24八年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在菱形中，，，點E是邊上的動點，連接且點P是的中點，連接、，則的最小值等于．三、解答題（本大題共8小題，共78分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）其中：19-21每題8分22-24每題10分25-26每題12分19．（8分）（23-24八年級下·四川綿陽·期末）計算：(1)；(2)．20．（8分）（23-24八年級下·四川巴中·期末）巴中市某中學開展了“預防溺水，珍愛生命”的安全知識競賽，先從七、八年級各隨機抽取了名學生的競賽成績（百分制），進行整理、描述和分析（成績得分用x表示，共分成四組）A．

B．

C．

D．其中，七年級名學生的成績是：八年級名學生的成績在C組中的數(shù)據(jù)是：年級平均分中位數(shù)眾數(shù)方差七年級b八年級c根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)這次比賽中______年級成績更穩(wěn)定；(2)直接寫出上述a，b，c的值：______，______，______；(3)該校八年級共人參加了此次科普知識競賽活動，估計參加此次活動成績優(yōu)秀（）的八年級學生人數(shù)是多少？21．（8分）（23-24八年級下·北京朝陽·期末）《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何．大意是：如圖，水池底面的寬丈，蘆葦生長在的中點O處，高出水面的部分尺．將蘆葦向池岸牽引，尖端達到岸邊時恰好與水面平齊，即，求水池的深度和蘆葦?shù)拈L度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度；(2)中國古代數(shù)學家劉徽在為《九章算術》作注解時，更進一步給出了這類問題的一般解法．他的解法用現(xiàn)代符號語言可以表示為：若已知水池寬，蘆葦高出水面的部分，則水池的深度可以通過公式計算得到．請證明劉徽解法的正確性．22．（10分）（2024·八年級·浙江杭州·期中）矩形的頂點E，G分別在菱形的邊、上，頂點F，H在菱形的對角線上．(1)求證：；(2)若E為中點，，求菱形的周長．

23．（10分）（23-24八年級下·山東·期末）騎行，是心靈的洗滌，每一步都踏著自由與夢想．周末，小宇爸爸和小軒爸爸一起騎行．他們從永寧門出發(fā)，沿著相同的道路騎行去秦嶺山腳下．小宇爸爸從永寧門先出發(fā)，小時后，小軒爸爸再出發(fā)，同時，小宇爸爸減慢騎行速度繼續(xù)向前騎行．小宇爸爸和小軒爸爸各自與永寧門的距離（千米）與小宇爸爸出發(fā)的時間（小時）之間的函數(shù)圖象如圖所示．請你根據(jù)圖中信息，解答下列問題．(1)小軒爸爸騎行的速度為______千米/小時．(2)求小時后小宇爸爸與永寧門的距離與之間的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍．(3)當小軒爸爸到達秦嶺山腳下時，小宇爸爸還需要多長時間才能到秦嶺山腳下？24．（10分）（23-24八年級下·遼寧盤錦·階段練習）背景介紹：勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明精彩紛呈，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者，向常春在1994年構造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．小試牛刀：把兩個全等的直角三角形如圖（1）放置，其三邊長分別為a，b，c顯然，，，請用a，b，c分別表示出梯形，四邊形，的面積，再探究這三個圖形面積之間的關系，可得到．______，______，______，則它們滿足的關系式為______，經(jīng)化簡，可得到．（提示：對角線互相垂直的四邊形面積等于對角線乘積的一半）[知識運用]（1）如圖（2），鐵路上A，B兩點（看作直線上的兩點）相距30千米，C，D為兩個村莊（看作兩個點)，，垂足分別為A，B，千米，千米，則兩個村莊的距離為______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若要在上建造一個供應站P，使得，請用尺規(guī)作圖在圖（3）中作出P點的位置并求出的距離．25．（12分）（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線分別交x軸、y軸于點B、點C，直線交x軸的正半軸于點A，且．(1)求直線的解析式；(2)點D是線段上一個動點（點D不與點A，C重合），連接，設點D的橫坐標為t，的面積為S，求S與t之間的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，過點A作，交直線于點E，交y軸于點F，以為底邊作等腰，其中點G在第四象限內(nèi)，且點H是x軸上的一點，連接．當時，求的最大值，并求出此時點H的坐標．26.（12分）（23-24八年級下·江蘇無錫·期中）如圖，點是正方形的邊上一動點(點不與、重合)，連接，將沿翻折，使點落在點處．

(1)當最小時，的值為；(2)如圖，連接并延長，交的延長線于點，在點的運動過程中，的大小是否變化，若變化，請說明理由；若不變，請求的值；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，試探索、、之間的數(shù)量關系．

新九年級開學摸底考試卷（全國通用，人教版）01數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試范圍：人教版八年級下冊全部4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（23-24八年級下·江蘇淮安·期末）下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了最簡二次根式，二次根式的性質，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵．根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可．【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，故A不符合題意；B、，不是最簡二次根式，故B不符合題意；C、，不是最簡二次根式，故C不符合題意；D、是最簡二次根式，故D符合題意；故選：D．2．（23-24八年級下·河南新鄉(xiāng)·期末）宋朝的詩句中寫到“又是殘春將立夏，如何到處不啼鶯”．立夏后的第一周，小明將每日氣溫情況記錄后，繪制了如下折線統(tǒng)計圖，下列說法中正確的是（

）

A．這周最高氣溫是 B．這周的最大溫差是C．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 D．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是【答案】D【分析】本題考查了從折線統(tǒng)計圖中獲取信息，同時設計到中位數(shù)和眾數(shù)的考查，熟練掌握知識點是解題的關鍵．根據(jù)折線統(tǒng)計圖以及眾數(shù)、中位數(shù)的意義逐項判斷即可．【詳解】解：A、這周最高氣溫為，故本選項不符合題意；B、這周最低氣溫為，最高氣溫為，因此溫差為，故本選項不符合題意；C、將氣溫排列后為：24，26，26，27，30，31，32，因此中位數(shù)為，故本選項不符合題意；D、24，26，26，27，30，31，32中26出現(xiàn)了2次且最多，故眾數(shù)為26，故本選項符合題意．故選：D．3．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期末）直角三角形兩邊長分別為5和6，則第三邊長為（

）A． B． C．6 D．或【答案】D【分析】本題考查了勾股定理，分兩種情況：當直角三角形的兩直角邊為5和6時；當斜邊長為，一條直角邊長為時；分別利用勾股定理計算即可得出答案．【詳解】解：由題意得：當直角三角形的兩直角邊為5和6時，第三邊長為，當斜邊長為，一條直角邊長為時，第三邊長為，綜上所述，第三邊長為或，故選：D．4．（23-24八年級下·四川德陽·期末）下列命題中正確的是（

）A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B．對角線相等的四邊形是矩形C．對角線相互平分且垂直的四邊形是菱形D．對角線相等且相互垂直的四邊形是正方形【答案】C【分析】本題主要考查了判斷命題真假，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四邊形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．【詳解】解：A、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，例如等腰梯形也滿足此條件，原命題是假命題，不符合題意；B、對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，原命題是假命題，不符合題意；C、對角線相互平分且垂直的四邊形是菱形，原命題是真命題，符合題意；D、對角線相等且相互垂直平分的四邊形是正方形，原命題是假命題，不符合題意；故選：C．5．（23-24八年級下·湖北武漢·階段練習）如圖，陰影部分表示以的各邊為直徑的三個半圓所組成的兩個新月形，面積分別記作和．若，，則的周長是（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】C【分析】本題考查的是勾股定理，半圓的面積，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)半圓面積公式、完全平方公式計算即可．【詳解】解：由勾股定理得，，，，，，（負值舍去），的周長，故選：C．6．（2024·云南楚雄·模擬預測）如圖，在中，平分交于點．若，，則的周長為（

）A．16 B．14 C．10 D．8【答案】A【分析】此題考查平行四邊形的性質，等角對等邊，利用平行四邊形的性質和角平分線的定義求得是解題的關鍵．首先根據(jù)平行四邊形的性質得到，，結合角平分線的概念得到，求出，進而求解即可．【詳解】∵在中，∴，∴∵平分交于點∴∴∴∴∴∴的周長為．故選：A．7．23-24八年級下·陜西·期末已知一次函數(shù)（），小宇在列表、描點、連線畫函數(shù)圖象時，列出的表格如下：…………則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)值隨著的增大而增大B．函數(shù)圖象不經(jīng)過第四象限C．不等式的解集為D．一次函數(shù)的圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積為【答案】C【分析】先用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，再用一次函數(shù)與一元一次不等式的關系，一次函數(shù)的性質，三角形面積公式，即可選出正確選項．【詳解】解：由表格可得一次函數(shù)經(jīng)過點，，將兩點代入（）中，可得，解得，所以一次函數(shù)函數(shù)關系式為；A、由于，即函數(shù)值隨著的增大而減小，故選項錯誤；B、由于，，故函數(shù)圖象經(jīng)過第四象限，故選項錯誤；C、將代入，解得，故根據(jù)，不等式的解集為解集為，故選項正確；D、由表格可得一次函數(shù)的圖象與兩坐標軸的交點坐標為，，即圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，故選項不正確；故選C．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)，一次函數(shù)與不等式的關系，一次函數(shù)的性質，三角形面積公式，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．8．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）小明同學手中有一張矩形紙片，，，他進行了如下操作：第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，將紙片展平．第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把沿折疊得到，交折痕于點E，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了矩形與折疊問題，熟練掌握矩形的性質，折疊的性質，勾股定理是解題的關鍵．根據(jù)矩形的性質和折疊的性質推出，進而得出，設，則，根據(jù)勾股定理可得：，列出方程求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，由折疊可得：，，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，設，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，即，故選：B．9．（23-24八年級·北京·期末）如圖1，在平面直角坐標系中的四個點，恒過定點的直線，與四邊形交于點M，N（點M和N可以重合）．根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，線段的長度l可以看做k的函數(shù)，繪制函數(shù)l的圖象如圖2．下列說法正確的是（

）A．l是k的一次函數(shù) B．函數(shù)l有最大值為3C．當時，函數(shù)l隨k的增大而增大 D．函數(shù)l的圖象與橫軸的一個交點是【答案】D【分析】本題考查了函數(shù)圖像讀取信息，一次函數(shù)的圖像與性質，一次函數(shù)與坐標軸的交點，根據(jù)函數(shù)圖像可以之間判斷函數(shù)的增減性，是不是一次函數(shù)，最大值是否存在，然后再結合圖1，判斷函數(shù)的最值為直線時，當時，即時，函數(shù)與x軸有兩個交點，可以求出即可作出判斷．【詳解】解：A、由圖2可知，l不是k的一次函數(shù)，不符合題意；B、由圖2可知，當時，l有最大值，當時，即直線，l有最大值為2，故本選項錯誤，不符合題意；C、由圖2可知，當時，函數(shù)l隨k的增大而減小，故本選項錯誤，不符合題意；D、當時，即時，過，兩點或過，兩點，當，過兩點時，，函數(shù)l的圖象與橫軸的一個交點是，正確，故選項D符合題意，故選：D．10．（23-24八年級下·廣東陽江·期中）如題圖，正方形中，點在上，且，點是的中點，點是的中點，延長，與的延長線交于點．以下四個結論：①；②是直角三角形；③；④．其中正確結論的個數(shù)（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】本題考查正方形的性質、勾股定理逆定理、三角形中位線定理．直角三角形斜邊中線定理等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型．設正方形邊長為，求出、、，利用勾股定理等逆定理可以判定②正確；根據(jù)三角形中位線定理可以判定①正確；根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可以判斷③正確；通過計算可以判斷④正確．【詳解】設正方形邊長為，∵四邊形是正方形，，∵，點是的中點，∴，，，，，，，∴是直角三角形，故②正確；，是中位線，，故①正確；在中，，，，∴，故③正確；，，故④正確；故選：D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）11．（23-24八年級下·河南新鄉(xiāng)·期末）某大學自主招生考試需要考查數(shù)學和物理．計算綜合得分時，按數(shù)學，物理占計算．已知小明數(shù)學得分為130分，綜合得分為118分，那么小明物理得分是分．【答案】100【分析】此題考查了加權平均數(shù)．先計算小明數(shù)學得分的折算后的分值，然后用綜合得分數(shù)學得分的折算后的得分，計算出的結果除以即可．【詳解】解：．故答案為：100．12．（23-24七年級下·陜西西安·期末）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁處所走的最短路程為．（杯壁厚度不計，結果保留根號）【答案】【分析】本題主要考查了平面展開—最短路徑問題、軸對稱的性質、勾股定理等知識點，靈活運用相關知識是解題的關鍵．將杯子半側面展開，作A關于的對稱點，再根據(jù)兩點之間線段最短可知的長度即為所求．【詳解】解：如圖：將杯子半側面展開，作A關于的對稱點，連接，當時點、F、B在同一條直線上，則為螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離，即的長度，由題意可得：，∵．∴螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為．故答案為．13．（23-24八年級下·北京房山·期末）已知點，在一次函數(shù)的圖象上，且，則k的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象性質，正確掌握一次函數(shù)的增減性是解題的關鍵．由時，，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，得到，即可得到答案．【詳解】解：點，在一次函數(shù)的圖象上，又∵，且，即y隨x增大而減小，，故答案為：．14．（北京市東城區(qū)2023-2024學年八年級下學期期末數(shù)學試題）我國漢代數(shù)學家趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”．如圖，四個全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，連接．若正方形的面積為5，，則的長為．

【答案】【分析】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質，證明得出，再結合正方形的面積公式即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵四邊形為正方形，∴，∴，∵，，∴，∴，∵正方形的面積為5，∴，故答案為：．15．（23-24八年級下·浙江嘉興·期末）非零實數(shù)，滿足，則．【答案】【分析】本題考查平方差公式，解題的關鍵熟練運用平方差公式；先運用平方差公式找到與的關系式；代入，通分化簡即可．【詳解】兩邊同時乘以，可得：可得：把代入故答案為：16．（23-24八年級下·湖北武漢·期末）如圖，矩形的對角線交于點O，過點O作交于點F．若，則長為．【答案】13【分析】本題考查矩形的性質，中垂線的判定和性質，勾股定理，連接，矩形的性質結合，得到垂直平分，得到，設，在中，利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：連接，∵矩形的對角線交于點O，∴，，，∵，∴垂直平分，∴，設，則：，在中，由勾股定理，得：，解得：，∴；故答案為：13．17．（23-24八年級下·四川巴中·期末）如圖，在平面直角坐標系中，點是直線上一點，過作軸，交直線于點，過作軸，交直線于點，過作作軸，交直線于點，…，依次做下去，若點的縱坐標是1，則的縱坐標是．

【答案】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、兩直線平行或相交問題以及規(guī)律型中數(shù)字的變化類，找出的縱坐標是解題的關鍵．由題意分別求出，，，的坐標，找出的縱坐標的規(guī)律，即可求解．【詳解】點的縱坐標是1，，，過作軸，交直線于點，過作軸交直線于點，…，依次作下去，∴，，，，，…可得的縱坐標為，∴的縱坐標是．故答案為：．18．（23-24八年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在菱形中，，，點E是邊上的動點，連接且點P是的中點，連接、，則的最小值等于．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質、用軸對稱方法解決最短路徑問題，以及勾股定理等知識．首先證明，隨著點E的運動，點P到等距，即在過菱形對角線交點，平行于邊的直線l上，過點D作于點F，得到點D和F關于直線l對稱，連交直線l于點H，連，證明當點P與點H重合時，的值最小，再分別求出，，即可．【詳解】解：過P作于點N，交于點M，由題意，，∴，∵點P是CE的中點，∴，∴，∴，則由題意可知，隨著點E的運動，點P到等距，即在過菱形對角線交點，平行于邊的直線l上過點D作于點F，則此時點D和F關于直線l對稱，連交直線l于點H，連，則，當點P與點H重合時，的值最小，由題意，，，∴，，∴故答案為：三、解答題（本大題共8小題，共78分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）其中：19-21每題8分22-24每題10分25-26每題12分19．（8分）（23-24八年級下·四川綿陽·期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算順序和運算法則是解題的關鍵；（1）根據(jù)二次根式的乘除法計算即可；（2）根據(jù)二次根式的化簡，二次根式的乘法計算即可；【詳解】（1）（3分）；（4分）（2）（7分）；（8分）20．（8分）（23-24八年級下·四川巴中·期末）巴中市某中學開展了“預防溺水，珍愛生命”的安全知識競賽，先從七、八年級各隨機抽取了名學生的競賽成績（百分制），進行整理、描述和分析（成績得分用x表示，共分成四組）A．

B．

C．

D．其中，七年級名學生的成績是：八年級名學生的成績在C組中的數(shù)據(jù)是：年級平均分中位數(shù)眾數(shù)方差七年級b八年級c根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)這次比賽中______年級成績更穩(wěn)定；(2)直接寫出上述a，b，c的值：______，______，______；(3)該校八年級共人參加了此次科普知識競賽活動，估計參加此次活動成績優(yōu)秀（）的八年級學生人數(shù)是多少？【答案】(1)八(2)，，(3)人【分析】（1）由，可知八年級成績更穩(wěn)定；（2）由題意知，C組所占百分比為，根據(jù)，求解即可；由題意知，，由八年級組有4人，可知中位數(shù)落在組為，求解作答即可；（3）根據(jù)，求解作答即可．【詳解】（1）解：∵，∴八年級成績更穩(wěn)定，故答案為：八；（2分）（2）解：由題意知，C組所占百分比為，∴，即；（3分）由題意知，，（4分）∵八年級組有4人，∴中位數(shù)落在組為，（5分）故答案為：，，；（3）解：∵，∴估計參加此次活動成績優(yōu)秀（）的八年級學生人數(shù)是人．（8分）【點睛】本題考查了扇形統(tǒng)計圖，方差與穩(wěn)定性，中位數(shù)，眾數(shù)，用樣本估計總體等知識．熟練掌握扇形統(tǒng)計圖，方差與穩(wěn)定性，中位數(shù)，眾數(shù)，用樣本估計總體是解題的關鍵．21．（8分）（23-24八年級下·北京朝陽·期末）《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何．大意是：如圖，水池底面的寬丈，蘆葦生長在的中點O處，高出水面的部分尺．將蘆葦向池岸牽引，尖端達到岸邊時恰好與水面平齊，即，求水池的深度和蘆葦?shù)拈L度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度；(2)中國古代數(shù)學家劉徽在為《九章算術》作注解時，更進一步給出了這類問題的一般解法．他的解法用現(xiàn)代符號語言可以表示為：若已知水池寬，蘆葦高出水面的部分，則水池的深度可以通過公式計算得到．請證明劉徽解法的正確性．【答案】(1)12尺(2)見解析【分析】本題考查了勾股定理的應用；（1）設水池深度為x尺，則得蘆葦高度為尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；（2）由水池深度，則得蘆葦高度為，由題意有：；由勾股定理即可得證．【詳解】（1）解：設水池深度為x尺，則蘆葦高度為尺，由題意有：尺；為中點，且丈尺，(尺)；（3分）在中，由勾股定理得：，即，解得：；即尺；答：水池的深度為12尺；（4分）（2）證明：水池深度，則蘆葦高度為，由題意有：；為中點，且，；（6分）在中，由勾股定理得：，即，整理得：；表明劉徽解法是正確的．（8分）22．（10分）（2024·八年級·浙江杭州·期中）矩形的頂點E，G分別在菱形的邊、上，頂點F，H在菱形的對角線上．(1)求證：；(2)若E為中點，，求菱形的周長．

【答案】(1)見解析(2)16【分析】本題考查矩形的性質、菱形的性質，解答本題的關鍵是利用AAS證明．（1）根據(jù)矩形的性質得出，，進而利用AAS證明，利用全等三角形的性質解答即可；（2）連接，根據(jù)菱形的性質解答即可．【詳解】（1）解：證明：在矩形中，，，∴，（1分）∵，∴，（2分）在菱形中，，∴，（3分）在與中，，（4分）∴，∴；（5分）（2）如圖，連接，在菱形中，，，（6分）為的中點，，由（1）知，，∴，（7分）

又，四邊形是平行四邊形，，（8分）在矩形中，，，即菱形的邊長為4．（9分）∴菱形的周長為．（10分）23．（10分）（23-24八年級下·山東·期末）騎行，是心靈的洗滌，每一步都踏著自由與夢想．周末，小宇爸爸和小軒爸爸一起騎行．他們從永寧門出發(fā)，沿著相同的道路騎行去秦嶺山腳下．小宇爸爸從永寧門先出發(fā)，小時后，小軒爸爸再出發(fā)，同時，小宇爸爸減慢騎行速度繼續(xù)向前騎行．小宇爸爸和小軒爸爸各自與永寧門的距離（千米）與小宇爸爸出發(fā)的時間（小時）之間的函數(shù)圖象如圖所示．請你根據(jù)圖中信息，解答下列問題．(1)小軒爸爸騎行的速度為______千米/小時．(2)求小時后小宇爸爸與永寧門的距離與之間的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍．(3)當小軒爸爸到達秦嶺山腳下時，小宇爸爸還需要多長時間才能到秦嶺山腳下？【答案】(1)(2)，(3)小時【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的應用，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．（1）由圖象即可得出小軒爸爸騎行的速度．（2）利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)圖象，即可出的取值范圍．（3）利用待定系數(shù)法求出小軒爸爸騎行的函數(shù)解析式，將代入解析式，可得，故根據(jù)圖象可得兩人到達時間差小時，即可求解．【詳解】（1）解：由圖象可得小軒爸爸在開始騎行一小時內(nèi)，騎行了千米，∴小軒爸爸騎行的速度為千米/小時，故答案為：．（2分）（2）設小時后小宇爸爸與永寧門的距離與之間的函數(shù)解析式為，由圖象可得其經(jīng)過，，將其代入中，可得，解得，故函數(shù)解析式為，的取值范圍是．（6分）（3）設小軒爸爸小時出發(fā)時，與永寧門的距離與之間的函數(shù)解析式為，由圖象可得其經(jīng)過，，將其代入中，可得，解得，故函數(shù)解析式為，（8分）將代入上式，可得，解得，（9分）由圖像可得小宇爸爸小時到達秦嶺山腳下，而小軒爸爸小時到達秦嶺山腳下，故兩人到達時間差（小時），∴當小軒爸爸到達秦嶺山腳下時，小宇爸爸還需要小時才能到秦嶺山腳下．（10分）24．（10分）（23-24八年級下·遼寧盤錦·階段練習）背景介紹：勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明精彩紛呈，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者，向常春在1994年構造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．小試牛刀：把兩個全等的直角三角形如圖（1）放置，其三邊長分別為a，b，c顯然，，，請用a，b，c分別表示出梯形，四邊形，的面積，再探究這三個圖形面積之間的關系，可得到．______，______，______，則它們滿足的關系式為______，經(jīng)化簡，可得到．（提示：對角線互相垂直的四邊形面積等于對角線乘積的一半）[知識運用]（1）如圖（2），鐵路上A，B兩點（看作直線上的兩點）相距30千米，C，D為兩個村莊（看作兩個點)，，垂足分別為A，B，千米，千米，則兩個村莊的距離為______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若要在上建造一個供應站P，使得，請用尺規(guī)作圖在圖（3）中作出P點的位置并求出的距離．【答案】【背景介紹】，，，[知識運用]（1）；（2）【分析】本題考查了勾股定理的證明，勾股定理的應用，線段垂直平分線的基本作圖，熟練掌握勾股定理和基本作圖是解題的關鍵．根據(jù)題意，設，根據(jù)題意，得，，繼而得到，，根據(jù)題意，，整理即可．[知識運用]（1）過點C作于點E，判定四邊形是矩形，得到，利用勾股定理解答即可；（2）作線段的垂直平分線，與交于點P，則點P即為所求，利用勾股定理解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意，設，根據(jù)題意，得，，∴，，根據(jù)題意，，整理，得．（2分）（1）解：連接過點C作于點E，由，則四邊形是矩形，∴，由勾股定理，得；故答案為：．（5分）（2）解：根據(jù)題意，得作線段的垂直平分線，與交于點P，如圖所示，則點P即為所求．設，（6分）根據(jù)題意，得，故，根據(jù)勾股定理，得，（8分）故，解得故的距離為．（10分）25．（12分）（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線分別交x軸、y軸于點B、點C，直線交x軸的正半軸于點A，且．(1)求直線的解析式；(2)點D是線段上一個動點（點D不與點A，C重合），連接，設點D的橫坐標為t，的面積為S，求S與t之間的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，過點A作，交直線于點E，交y軸于點F，以為底邊作等腰，其中點G在第四象限內(nèi)，且點H是x軸上的一點，連接．當時，求的最大值，并求出此時點H的坐標．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，，進而求出，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出，過點D作軸于K，則，根據(jù)進行求解即可；（3）過點D作軸于R，過點G作于