江蘇省南通市如東高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE19-江蘇省南通市如東高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、單選題：本大題共10小題.在每小題供應(yīng)的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)直線斜率等于傾斜角的正切值，從而求出傾斜角【詳解】因?yàn)椋?，所以：k=由于：，則，即：=故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線斜率與傾斜角的關(guān)系2.某中學(xué)有中學(xué)生3500人，初中生1500人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從中學(xué)生中抽取70人，則n為()A.100 B.150C200 D.250【答案】A【解析】試題分析：依據(jù)已知可得：，故選擇A考點(diǎn)：分層抽樣3.在△ABC中，若，則A. B. C. D.或【答案】A【解析】由正弦定理有，所以，，又因?yàn)?故，選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了用正弦定理解三角形，屬于易錯(cuò)題．本題運(yùn)用大邊對大角定理是解題的關(guān)鍵．4.對一批產(chǎn)品的長度（單位：毫米）進(jìn)行抽樣檢測，樣本容量為200，下面為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，依據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品長度在區(qū)間的為一等品，在區(qū)間和的為二等品，其余均為三等品，則樣品中三等品的件數(shù)為（）A.30 B.40 C.50 D.60【答案】C【解析】【分析】由頻率分布直方圖計(jì)算一等品和二等品的頻率，求三等品的頻率，依據(jù)頻數(shù)=樣本容量頻率，計(jì)算樣本中三等品的件數(shù).【詳解】由頻率分布直方圖可知一等品的頻率是，二等品的頻率是，所以樣品中三等品的頻率是，所以樣品中三等品的件數(shù)是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖中頻率，頻數(shù)的計(jì)算.屬于較易題.5.已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值是()A.0 B. C.0或 D.或【答案】C【解析】【分析】由一般式方程可知直線垂直時(shí)，從而構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由直線垂直可得：，解得：或本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)直線垂直的位置關(guān)系求解參數(shù)值的問題，屬于基礎(chǔ)題.6.給出下列四個(gè)說法，其中正確的是（）A.線段在平面內(nèi)，則直線不在平面內(nèi)； B.三條平行直線共面；C.兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則肯定有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)； D.空間三點(diǎn)確定一個(gè)平面.【答案】C【解析】【分析】用立體幾何中的公理及公理的推論對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判別，可得到答案.【詳解】對A：依據(jù)立體幾何公理1：假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).明顯，A中的直線AB在平面內(nèi)，故A不正確；對B：三條平行直線，可以共面，也可以是其中一條直線平行于其它兩條直線確定的平面，故B不正確；對C：依據(jù)立體幾何公理3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.明顯，假如兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則肯定有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，故C正確；對D：依據(jù)立體幾何公理2：過不在同始終線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.明顯，隨意三點(diǎn)，不肯定確定一個(gè)平面.故D不正確；綜上所述，只有C正確.故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系中的三個(gè)公理，屬于基礎(chǔ)題.7.已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)A.1 B. C.或1 D.2或1【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意探討直線它在兩坐標(biāo)軸上的截距為0和在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，求出對應(yīng)的值，即可得到答案．【詳解】由題意，當(dāng)，即時(shí)，直線化為，此時(shí)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，滿意題意；當(dāng)，即時(shí)，直線化為，由直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，可得，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)或．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的應(yīng)用，以及直線在坐標(biāo)軸上的截距的應(yīng)用，其中解答中熟記直線在坐標(biāo)軸上的截距定義，合理分類探討求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.8.兩圓與的公切線條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】依據(jù)圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系，得到兩圓相外切，即可得到兩圓有3條公切線，得到答案.【詳解】由題意，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為；所以，且，所以，所以兩圓外切，此時(shí)兩圓有且僅有3條公切線．故選:C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，以及兩圓的公切線的條數(shù)的判定，其中解答中熟記兩圓的位置關(guān)系的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算實(shí)力.9.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同始終線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．己知的頂點(diǎn)，，且，則的歐拉線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由于，可得：的外心、重心、垂心都位于線段的垂直平分線上，求出線段的垂直平分線，即可得出的歐拉線的方程．【詳解】因?yàn)?，可得：的外心、重心、垂心都位于線段的垂直平分線上，，則的中點(diǎn)為,所以的垂直平分線的方程為：，即.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外心重心垂心性質(zhì)，考查了對新學(xué)問的理解應(yīng)用，屬于中檔題．10.如圖，直三棱柱中，，則異面直線和所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形中位線性質(zhì)平行移動(dòng)至，在中利用余弦定理可求得，依據(jù)異面直線所成角的范圍可知所求的余弦值為.【詳解】連接交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接設(shè)三棱柱為直三棱柱四邊形為矩形為中點(diǎn)且又，異面直線和所成角的余弦值為故選：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求解，關(guān)鍵是能夠通過平移將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角的求解問題；易錯(cuò)點(diǎn)是忽視異面直線所成角的范圍，造成所求余弦值符號錯(cuò)誤.二、多項(xiàng)選擇題：本題共2小題.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.11.已知，，是的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論肯定成立的有（）A. B.C.若，則 D.若，則是等腰三角形【答案】AC【解析】【分析】由結(jié)合誘導(dǎo)公式可推斷選項(xiàng)A，B，由三角形中大角對大邊結(jié)合正弦定理可推斷選項(xiàng)C，在三角形中若,則若或可推斷選項(xiàng)D.【詳解】由，則,故A正確.,故B不正確.由三角形中大角對大邊，，則，依據(jù)正弦定理有,故C正確.在三角形中若,則若或.所以或,則是等腰三角形或直角三角形,故D不正確.故選：AC【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的三角變換，考查誘導(dǎo)公式，正弦定理，屬于中檔題.12.正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，則下列說正確的是（）A.平面 B.平面C.異面直線與所成角為90° D.平面截正方體所得截面為等腰梯形【答案】ACD【解析】【分析】畫出圖形，依據(jù)題意，對選項(xiàng)逐項(xiàng)分析，求得結(jié)果.【詳解】對于選項(xiàng)A，，分別為棱和的中點(diǎn)，所以，利用線面平行的判定定理可得平面，所以A正確；對于選項(xiàng)B，在正方體中平面，所以，又，所以平面，若平面，則平面平面，這與平面與平面相交沖突，所以B不正確；對于選項(xiàng)C，與選項(xiàng)B同理可證平面，又，所以平面，從而得到，即異面直線與所成角為90°，所以C選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)D，在正方體中，平面平面，平面平面，平面平面，，所以平面截正方體所得截面為四邊形，因?yàn)?，，即四邊形為等腰梯形，所以D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有正方體的截面的有關(guān)性質(zhì)，線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題：本大題共4小題.不需寫出解答過程，請把答案干脆填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.一組數(shù)據(jù)：6，8，9，13的方差為______.【答案】【解析】【分析】先求出這組數(shù)的平均數(shù)，再求其方差.【詳解】6，8，9，13的平均數(shù)為所以這組數(shù)的方差為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查方差的求法，考查求平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.14.已知兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓的方程為________________.【答案】【解析】【分析】先求出圓心的坐標(biāo)和半徑,即得圓的方程.【詳解】由題得圓心的坐標(biāo)為（1,0），|MN|=所以圓的半徑為所以圓的方程為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程的求法，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的駕馭水平和分析推理實(shí)力.15.如圖，從高的電視塔塔頂測得地面上某兩點(diǎn)、的俯角分別為和，，則、兩點(diǎn)間的距離為______m.（俯角：在垂直面內(nèi)視線與水平線的夾角）【答案】【解析】【分析】本題首先可以依據(jù)題意得出以及的長度，然后依據(jù)余弦定理即可求出的長度.【詳解】因?yàn)楦叩碾娨曀敎y得地面上某兩點(diǎn)、的俯角分別為和，所以，，，因?yàn)?，所以，故答案為?【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，余弦定理公式為，考查計(jì)算實(shí)力，是簡潔題.16.平面四邊形的對角線，的交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部，已知，，，，當(dāng)改變時(shí)，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，先在中，利用借助于余弦定理和正弦定理分別表示出，．然后再在中利用余弦定理表示出，最終借助三角恒等變換求出的最值．【詳解】如圖，設(shè)，在中，因?yàn)?，，，即．，，，．所以在中，．所以?dāng)時(shí)，最大值為，故的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.四、解答題：本大題共6小題.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，且為銳角.求：（1）的值；（2）的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】利用正弦定理得；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，再利用余弦定理求，最終利用三角形面積公式求解.【詳解】解：（1）在中，由正弦定理得：，解得；（2）因?yàn)?，且為銳角，所以，在中，由余弦定理得：，即解得(負(fù)值舍去)；所以的面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理.屬于較易題.18.如圖在長方體中，，分別為，的中點(diǎn)，，.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】連接，利用線面平行的判定定理證明；連接，則為所求的角，在中計(jì)算出此角的正弦值即可.【詳解】解：（1）連接，由，分別為，的中點(diǎn)，可得，在長方體中，，，因此四邊形為平行四邊形，所以所以，平面，平面，所以平面；（2）在長方體，連接，因平面，所以在平面中的射影為，所以為直線與平面所成角，由題意知：，在中，，即直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及求線面角的過程.屬于中檔題.19.已知直線，圓.（1）求證：直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線與圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)弦長最短時(shí)，求此時(shí)直線的方程.【答案】（1）證明見解析，；（2）.【解析】【分析】（1）將直線化為，利用，求得直線所過的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）依據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)直線時(shí)，弦長最短，依據(jù)直線的斜率為，可得直線的斜率為1，從而求得直線的方程.【詳解】（1）直線可化為：，可得所以直線過定點(diǎn).（2）由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)直線時(shí)，弦長最短，因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的斜率為1，此時(shí)直線的方程為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與圓的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有直線過定點(diǎn)問題，過肯定點(diǎn)圓的最短弦所在直線方程的求解問題，屬于簡潔題目.20.如圖，四棱錐中，點(diǎn)，分別是側(cè)棱，上的點(diǎn)，且底面.（1）求證：；（2）若底面，，，求證：.【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見詳解.【解析】【分析】（1）依據(jù)線面平行的性質(zhì)，即可推證線線平行；（2）先推證直線平面，再由線面垂直推證線線垂直即可.【詳解】（1）因?yàn)?/平面，平面，平面平面，由線面平行的性質(zhì)，即可得//，即證.（2）在中，因?yàn)?，且，由正弦定理可得，解?故可得，即；又平面，平面，故可得，又平面，且，故可得平面，又因?yàn)槠矫妫瑒t；又因?yàn)?/，故可得，即證.【點(diǎn)睛】本題考查由線面平行，推證線線平行，以及由線面垂直推證線線垂直，屬綜合基礎(chǔ)題.21.依據(jù)國際海洋平安規(guī)定：兩國軍艦正常狀況下（聯(lián)合軍演除外），在公海上的平安距離為20（即距離不得小于20），否則違反了國際海洋平安規(guī)定.如圖，在某公海區(qū)域有兩條相交成60°的直航線，，交點(diǎn)是，現(xiàn)有兩國的軍艦甲，乙分別在，上的，處，起初，，后來軍艦甲沿的方向，乙軍艦沿的方向，同時(shí)以40的速度航行.（1）起初兩軍艦的距離為多少？（2）試推斷這兩艘軍艦是否會(huì)違反國際海洋平安規(guī)定？并說明理由.【答案】（1）；（2）甲、乙這兩艘軍艦不會(huì)違法國際海洋平安規(guī)定，答案見解析.【解析】【分析】（1）在中，干脆利用余弦定理即可得到的長；（2）設(shè)小時(shí)后，甲、乙兩軍艦分別運(yùn)動(dòng)到，，分，兩種狀況探討求出CD的長，進(jìn)一步求得最小值即可.【詳解】解：（1）連結(jié)，中，由余弦定理得所以：起初兩軍艦的距離為.（2）設(shè)小時(shí)后，甲、乙兩軍艦分別運(yùn)動(dòng)到，，連結(jié)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以經(jīng)過小時(shí)后，甲、乙兩軍艦距離因?yàn)橐驗(yàn)?，所以?dāng)時(shí)，甲、乙兩軍艦距離最小為.又，所以甲、乙這兩艘軍艦不會(huì)違法國際海洋平安規(guī)定.【點(diǎn)晴】本題考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，數(shù)學(xué)建模實(shí)力，是一道中檔題.22.已知圓和點(diǎn).（1）過點(diǎn)向圓引切線，求切線的方程；（2）求以點(diǎn)為圓心，且被直線截得的弦長為8的圓的方程；（3）設(shè)為（2）中圓上隨意一