新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章 第08講 拓展一 空間幾何體內(nèi)接球與外接球問(wèn)題 講（學(xué)生版）

第08講拓展一：空間幾何體內(nèi)接球與外接球問(wèn)題(精講）目錄第一部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：空間幾何體的內(nèi)切球問(wèn)題高頻考點(diǎn)二：空間幾何體的外接球問(wèn)題模型1：長(zhǎng)（正）方體模型——公式法模型2：墻角型，對(duì)棱相等型——補(bǔ)形法（補(bǔ)長(zhǎng)方體或正方體）模型3：?jiǎn)蚊娑ㄇ蛐姆ǎǘ?算）模型4：雙面定球心法（兩次單面定球心）第一部分：典型例題剖析第一部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：空間幾何體的內(nèi)切球問(wèn)題建立模型球的內(nèi)切問(wèn)題（等體積法）例如：在四棱錐SKIPIF1<0中，內(nèi)切球?yàn)榍騍KIPIF1<0，求球半徑SKIPIF1<0.方法如下：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，可求出SKIPIF1<0.典型例題例題1．（2022·江蘇·蘇州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期末）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若球SKIPIF1<0在三棱錐SKIPIF1<0的內(nèi)部且與四個(gè)面都相切（稱球SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的內(nèi)切球），則球SKIPIF1<0的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·全國(guó)·高一）某學(xué)校開(kāi)展手工藝品展示活動(dòng)，小明同學(xué)用塑料制作了如圖所示的手工藝品，其外部為一個(gè)底面邊長(zhǎng)為6的正三棱柱，內(nèi)部為一個(gè)球，球的表面與三棱柱的各面均相切，則該內(nèi)切球的表面積為_(kāi)__________，三棱柱的頂點(diǎn)到球的表面的最短距離為_(kāi)__________.例題3．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，直三棱柱SKIPIF1<0有外接圓柱SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，且三棱柱SKIPIF1<0有一個(gè)內(nèi)切球，求三棱柱SKIPIF1<0的體積；題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高一）已知點(diǎn)O到直三棱柱SKIPIF1<0各面的距離都相等，球O是直三棱柱SKIPIF1<0的內(nèi)切球，若球O的表面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為4，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·湖南·高一期末）已知圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的表面積為_(kāi)_____.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））若正四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)接于球SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0過(guò)球心SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的半徑與正四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)切球的半徑之比為_(kāi)_________.4．（2022·廣西玉林·模擬預(yù)測(cè)（理））若正四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)接于球O，且底面SKIPIF1<0過(guò)球心O，球的半徑為4，則該四棱錐內(nèi)切球的體積為_(kāi)________．高頻考點(diǎn)二：空間幾何體的外接球問(wèn)題模型1：長(zhǎng)（正）方體模型——公式法建立模型正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)（1）設(shè)長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條邊長(zhǎng)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則外接球半徑SKIPIF1<0；（2）設(shè)正方體邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則外接球半徑SKIPIF1<0；典型例題例題1．（2022·貴州黔西·高二期末（理））若一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬，高分別為4，2，3，則這個(gè)長(zhǎng)方體外接球的表面積為_(kāi)_____________．例題2．（2022·新疆·烏蘇市第一中學(xué)高一期中）正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為2，則此正方體外接球的表面積是______.題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高一期末）正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比是（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·河北·深州長(zhǎng)江中學(xué)高三期中）已知某正方體外接球的表面積為SKIPIF1<0，則該正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)_____．3．（2021·福建·莆田錦江中學(xué)高一期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則其外接球的表面積為_(kāi)_____．模型2：墻角型，對(duì)棱相等型——補(bǔ)形法（補(bǔ)長(zhǎng)方體或正方體）建立模型①墻角模型（三條線兩個(gè)垂直）題設(shè)：三條棱兩兩垂直（重點(diǎn)考察三視圖）②對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高一）若三棱錐SKIPIF1<0的三條側(cè)棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩互相垂直，且SKIPIF1<0，則其外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·江蘇·南京師大附中高一期末）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)________；外接球體積為_(kāi)________．題型歸類練1．（2022·遼寧·本溪高中高一階段練習(xí)）已知正三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則此三棱錐的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．3SKIPIF1<0 C．6SKIPIF1<0 D．9SKIPIF1<02．（2022·安徽·高一階段練習(xí)）鱉臑是我國(guó)古代對(duì)四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐的稱呼．如圖，三棱錐SKIPIF1<0是一鱉臑，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·河北·滄縣中學(xué)高一期中）三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0兩兩垂直，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為_(kāi)__________.4．（2022·貴州·清華中學(xué)高三階段練習(xí)（理））四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則經(jīng)過(guò)A，B，C，D的外接球的表面積是__________．模型3：?jiǎn)蚊娑ㄇ蛐姆ǎǘ?算）建立模型單面定球心法（定+算）步驟：①定一個(gè)面外接圓圓心：選中一個(gè)面如圖：在三棱錐SKIPIF1<0中，選中底面SKIPIF1<0，確定其外接圓圓心SKIPIF1<0（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角形用正弦定理定外心SKIPIF1<0）；②過(guò)外心SKIPIF1<0做（找）底面SKIPIF1<0的垂線，如圖中SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,則球心一定在直線（注意不一定在線段SKIPIF1<0上）SKIPIF1<0上；③計(jì)算求半徑SKIPIF1<0:在直線SKIPIF1<0上任取一點(diǎn)SKIPIF1<0如圖：則SKIPIF1<0，利用公式SKIPIF1<0可計(jì)算出球半徑SKIPIF1<0.典型例題例題1．（2022·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高一期末）在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0都是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的等邊三角形，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則該四面體外接球的表面積為_(kāi)________.例題2．（2023·山西大同·高三階段練習(xí)）球內(nèi)接直三棱柱SKIPIF1<0，則球表面積為_(kāi)__________.例題3．（2022·廣西賀州·高一期末）已知SKIPIF1<0的三個(gè)頂點(diǎn)都在球SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且三棱錐SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．36SKIPIF1<0例題4．（2022·河南開(kāi)封·高二期末（理））已知球SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的外接球，球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，正三角形SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值為_(kāi)_____．題型歸類練1．（2022·河北·衡水市第十三中學(xué)高一階段練習(xí)）在正四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0截四棱錐SKIPIF1<0外接球的截面面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（

）A．64π B．128π C．40π D．80π3．（2022·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)高一期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對(duì)的邊為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在球SKIPIF1<0的球面上，且點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·河南·汝州市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知點(diǎn)SKIPIF1<0在同一個(gè)球的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若四面體SKIPIF1<0的體積的最大值為SKIPIF1<0，則這個(gè)球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知球SKIPIF1<0是正三棱錐SKIPIF1<0的外接球，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)E在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是___________.模型4：雙面定球心法（兩次單面定球心）建立模型如圖：在三棱錐SKIPIF1<0中：①選定底面SKIPIF1<0，定SKIPIF1<0外接圓圓心SKIPIF1<0②選定面SKIPIF1<0，定SKIPIF1<0外接圓圓心SKIPIF1<0③分別過(guò)SKIPIF1<0做面SKIPIF1<0的垂線，和SKIPIF1<0做面SKIPIF1<0的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為外接球球心SKIPIF1<0.典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的投影與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0異側(cè)，則球SKIPIF1<0的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF