空間直線平面的垂直課件 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第四節(jié)空間直線、平面的垂直課前自主預(yù)習(xí)案課堂互動探究案課前自主預(yù)習(xí)案必

備

知

識1.直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的________，平面α叫做直線l的________．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足．垂線垂面(2)判定定理與性質(zhì)定理定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，“相交”是定理的關(guān)鍵詞，應(yīng)用定理時不能省略那么該直線與此平面垂直性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線________平行a⊥α2.平面與平面垂直(1)定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是________，就說這兩個平面互相垂直．直二面角(2)判定定理與性質(zhì)定理定理文字語言圖形語言符號語言判定定理實際應(yīng)用：找出一個平面的垂面的依據(jù)如果一個平面過另一個平面的______，那么這兩個平面垂直性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一定不能漏掉“垂直于交線”這一條件一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直垂線b⊥α【常用結(jié)論】1．若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線．2．若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．3．垂直于同一條直線的兩個平面平行．4．一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．5．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．夯

實

基

礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)已知直線a，b，c，若a⊥b，b⊥c，則a∥c.(

)(2)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(

)(3)若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面．(

)(4)垂直于同一個平面的兩個平面平行．(

)××××2．(教材改編)已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(

)A．m∥l B．m∥nC．n⊥l

D．m⊥n答案：C解析：對于A，m與l可能平行或異面，故A錯；對于B、D，m與n可能平行、相交或異面，故B、D錯；對于C，因為n⊥β，l?β，所以n⊥l，故C正確．故選C.3．(教材改編)在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心．答案：(1)外(2)垂解析：(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．(2)如圖2，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于H，D，G．∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高．同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心．4．(易錯)“直線與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直”是“直線與平面α垂直”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：B解析：根據(jù)直線垂直平面的定義，由“直線與平面α垂直”可推出“直線與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”，反之不能由“直線與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”推出“直線與平面α垂直”．故選B.

答案：5

因為PA?平面PAB，PA?平面PAD，所以平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，因為AB⊥AD，AB⊥PA，AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD，因為AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，同理可得BC⊥平面PAB，BC?平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC，因為AB∥CD，所以CD⊥平面PAD，CD?平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD，故互相垂直的面有5對．課堂互動探究案1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系，并會證明．2．掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用．問題思考·夯實技能【問題1】如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線就垂直于這個平面嗎？提示：不一定．如圖，當(dāng)平面α內(nèi)的無數(shù)條直線a，b，c，…都互相平行時，直線l在保證與直線a，b，c，…都垂直的條件下，與平面α可能平行、垂直也可能斜交．【問題2】當(dāng)兩個平面互相垂直時，一個平面內(nèi)一條直線垂直另一個平面內(nèi)任意一條直線？提示：不一定．當(dāng)兩個平面互相垂直時，一個平面內(nèi)的一條直線只有垂直于這兩個平面的交線時，這條直線才垂直于另一個平面．

題后師說證明直線與平面垂直的常用方法(1)判定定理，它是最常用的思路．(2)垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)．(3)面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)．(4)面面垂直的性質(zhì)．鞏固訓(xùn)練1如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．(1)證明：CD⊥AE；(2)證明：PD⊥平面ABE.證明：(1)在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA.又CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，∵AE?平面PAC，故CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得PA＝AC，∵E是PC的中點，∴AE⊥PC，由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.題型二

平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2[2023·全國乙卷]如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設(shè)AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1-BB1C1C的高．解析：(1)證明：因為A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，因為∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，又A1C∩AC＝C，A1C，AC?平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，又BC?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)如圖，過點A1作A1H⊥CC1，交CC1于點H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1H?平面ACC1A1，所以A1H⊥平面BB1C1C，即四棱錐A1-BB1C1C的高為A1H.

題后師說(1)面面垂直的方法：①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用：①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．

解析：(1)證明：依題意平面EFM∥平面SCD，由于平面EFM∩平面ABCD＝EM，平面SCD∩平面ABCD＝CD，所以EM∥CD，由于正方形ABCD中，E是AD的中點，所以M是線段BC的中點．(2)證明：由于平面SAD⊥平面ABCD，且交線為AD，由于CD⊥AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面SAD，由于CD?平面SCD，所以平面SAD⊥平面SCD.

題后師說(1)對于三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化．(2)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證．

1．[2024·廣東深圳模擬]若直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面α外，則“b⊥a”是“b⊥α”的(

)A．充要條件

B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件

D．必要不充分條件答案：D解析：如圖所示，若直線b與平面α相交點A，但不垂直時，當(dāng)直線a垂直于直線b在平面α內(nèi)的射影，此時b⊥a，得不出b⊥α.因為b⊥α，且直線a在平面α內(nèi)，所以b⊥a，則“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分條件，故選D.2．空間中直線l和三角形的兩邊AC，BC同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關(guān)系是(

)A．平行B．垂直C．相交D．不確定答案：B解析：因為三角形的兩邊AC，BC有交點C，且直線l和AC，BC同時垂直，所以該直線垂直平面ABC，故該直線與AB垂直．故選B.3．[2024·九省聯(lián)考]設(shè)α，β是兩個平面，m，l是兩條直線，則下列命題為真命題的是(

)A．若α⊥β，m∥α，l∥β，則m⊥lB．若m?α，l?β，m∥l，則α∥βC．若α∩β＝m，l∥α，l∥β，則m∥lD．若m⊥α，l⊥β，m∥l，則α⊥β答案：C