1.1.1集合的概念與表示（第2課時集合的表示）課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第一章預(yù)備知識1.1集合的概念與表示第2課時集合的表示北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握集合的兩種表示方法:列舉法和描述法.2.了解空集的含義.3.會用區(qū)間表示集合.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

集合的表示方法1.列舉法列舉法是把集合中的元素

出來寫在花括號“{

}”內(nèi)表示集合的方法,一般可將集合表示為{a,b,c,…}.

元素與元素之間必須用“,”隔開

2.描述法

通過描述元素滿足的條件表示集合的方法叫作描述法.一般可將集合表示為{x及x的范圍|x滿足的條件},即在花括號內(nèi)先寫出集合中元素的一般符號及范圍,再畫一條豎線“|”,在豎線后寫出集合中元素所具有的共同特征.一一列舉

名師點睛1.用列舉法表示集合時,必須注意以下幾點:(1)集合的元素必須是明確的;(2)不必考慮元素出現(xiàn)的先后順序;(3)集合的元素不能重復(fù);(4)集合的元素可以表示任何事物;(5)對含有較多元素的集合,如果該集合的元素具有明顯的規(guī)律,可用列舉法表示,但是必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后,才能用省略號表示,如N+也可表示為{1,2,3,…,n,…}.2.描述法的一般形式是{x∈I|p(x)}.其中“x”是集合中元素的一般符號的代表形式,簡稱代表元素;“I”是x取值范圍的一般代表形式;“p(x)”(可以是符號表達式,也可以是文字表述形式)是集合中元素x的共同特征的一般代表形式.通常用于表示無限集,或容易歸納其特征的集合.3.用描述法表示集合時,若需要多層次描述屬性時,可選用“且”與“或”等聯(lián)結(jié).如集合{x|x<0或x≥3}.4.元素的取值范圍,從上下文關(guān)系來看,如果x∈R是明確的,則∈R可以省略不寫,如集合D={x∈R|x<9}可以表示為D={x|x<9}.5.若描述部分出現(xiàn)代表元素以外的字母時,要對該字母說明其含義或指出其取值范圍.如{x∈Z|x=2m}中m未被說明,故該集合中元素是不確定的.6.所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi),如{x∈Z|x=2m,m∈N+},此時m∈N+不能寫到花括號外.思考辨析1.a與{a}有什么區(qū)別?

2.使用列舉法表示集合時,對于元素之間的排列順序有什么要求?

3.集合A={x|x>5}與B={t|t>5}是否表示同一個集合?

提示

a是一個元素,{a}是一個集合.提示

由于集合中的元素具有無序性,因此使用列舉法表示集合時,對于元素之間的排列順序沒有要求.提示

是.雖然表示代表元素的字母不同,但都表示由大于5的所有實數(shù)組成的集合,因而表示同一個集合.自主診斷1.[人教A版教材習(xí)題]用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?(1)由方程x2-9=0的所有實數(shù)根組成的集合;(2)一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6圖象的交點組成的集合;(3)不等式4x-5<3的解集.解

(1){x|x2-9=0}或{-3,3}.(3){x|4x-5<3}或{x|x<2}.2.[人教A版教材習(xí)題]把下列集合用另一種方法表示出來:(1){2,4,6,8,10};(2)由1,2,3這三個數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字(沒有重復(fù))所組成的一切自然數(shù);(3){x∈N|3<x<7};(4)中國古代四大發(fā)明.解

(1){x∈N|x=2k,k=1,2,3,4,5}.(2){1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}.(3){4,5,6}.(4){造紙術(shù),指南針,火藥,印刷術(shù)}.知識點2

集合的分類1.含有

的集合叫作有限集,含有

的集合叫作無限集.

2.不含任何元素的集合叫作

,記作

.

名師點睛1.集合的分類是按照集合中元素是有限個還是無限個劃分的,不是按元素多少,一個集合中元素有很多,但是個數(shù)有限,也屬于有限集.2.空集中不含有任何元素,{0}不是空集,因為它含有元素0.有限個元素

無限個元素

空集

?思考辨析空集是有限集還是無限集?提示

空集可以看成包含0個元素的集合,所以空集是有限集.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)大于1的整數(shù)所構(gòu)成的集合可以用列舉法表示,屬于有限集.(

)(2)一元二次方程實數(shù)解的集合可以是空集.(

)×√2.[人教A版教材習(xí)題]下列集合中,哪些是有限集?哪些是無限集?(1)使得式子

有意義的所有實數(shù)組成的集合;(2)使得式子

有意義的所有自然數(shù)組成的集合;(3)方程x2=-1的所有實數(shù)解組成的集合.解

(2)(3)中的集合是有限集,(1)中的集合是無限集.知識點3

區(qū)間及其表示1.設(shè)a,b是兩個實數(shù),且a<b,我們作出規(guī)定

此條件不能省略集合表示符號表示數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}[a,b]

{x|a<x<b}(a,b)

{x|a≤x<b}[a,b)

{x|a<x≤b}(a,b]

這里的實數(shù)a,b稱為區(qū)間的端點.在數(shù)軸上表示區(qū)間時,用實心點表示

區(qū)間的端點,用空心點表示

區(qū)間的端點.

屬于不屬于2.實數(shù)集R也可用區(qū)間表示為(-∞,+∞),符號“∞”讀作“

”,“-∞”讀作“負(fù)無窮大”,“+∞”讀作“正無窮大”.還可把滿足x≥a,x>a,x≤b,x<b的實數(shù)x的集合分別表示為如下情況

集合表示符號表示數(shù)軸表示{x|x≥a}[a,+∞)

{x|x>a}(a,+∞)

{x|x≤b}(-∞,b]

{x|x<b}(-∞,b)

“∞”處一定要用開區(qū)間符號

無窮大3.[a,b]稱為閉區(qū)間,(a,b),(a,+∞),(-∞,b)稱為開區(qū)間,[a,b),(a,b],[a,+∞),(-∞,b]稱為半開半閉區(qū)間.名師點睛1.區(qū)間只能表示數(shù)集.2.區(qū)間符號中的兩個端點(字母或數(shù)字)之間只能用“,”隔開.思考辨析區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法,那么任何數(shù)集都能用區(qū)間表示嗎?提示

不是任何數(shù)集都能用區(qū)間表示,如集合{0,1,2}就不能用區(qū)間表示.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)集合{1}可用區(qū)間[1,1]表示.(

)(2)區(qū)間可以表示空集.(

)(3)有的集合和區(qū)間可以互化.(

)××√2.用區(qū)間表示下列集合:(1){x|-1≤x≤3};(2){x|0<x≤1};(3){x|2≤x<5};(4){x|0<x<2};(5){x|x<3};(6){x|x≥2}.解

(1)[-1,3].(2)(0,1].(3)[2,5).(4)(0,2).(5)(-∞,3).(6)[2,+∞).重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一集合的表示角度1用列舉法表示集合【例1】

用列舉法表示下列集合:(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合;(2)方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合;(3)由20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合.解

(1)設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)設(shè)方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合為B,那么B={0,1}.(3)設(shè)由20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合為C,那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}.規(guī)律方法

1.使用列舉法表示集合時,應(yīng)注意以下幾點:(1)在元素個數(shù)較少或元素間有明顯規(guī)律時可用列舉法表示集合;(2)“{}”表示“所有”的含義,不能省略,且元素?zé)o先后順序,滿足無序性.2.用列舉法表示集合時,要分清該集合是數(shù)集、點集,還是其他集合.變式訓(xùn)練1用列舉法表示下列集合:(1)直線x+y=3與x-y=1的交點組成的集合;(2)不大于10的非負(fù)奇數(shù)集;故所求集合為{(2,1)}.(2)不大于10的非負(fù)奇數(shù)集為{1,3,5,7,9}.(3)由題可知4-x的值為1,2,3,6,從而可以得到x的值為3,2,1,-2,所以A={-2,1,2,3}.角度2用描述法表示集合【例2】

用描述法表示下列集合:(1)函數(shù)y=-x的圖象上的點組成的集合;(2)數(shù)軸上離原點的距離大于3的點組成的集合;(3)不等式x-2<3的解組成的集合.解

(1){(x,y)|y=-x}.(2){(x)||x|>3}.(3)不等式x-2<3的解是x<5,則不等式x-2<3的解組成的集合用描述法表示為{x|x<5}.規(guī)律方法

1.用描述法表示集合時應(yīng)弄清楚集合的屬性,即它是數(shù)集、點集還是其他的類型.一般地,數(shù)集用一個字母代表其元素,點集用一個有序?qū)崝?shù)對代表其元素.2.若描述部分出現(xiàn)代表元素以外的字母,則要說明新字母含義或指出其取值范圍.變式訓(xùn)練2用描述法表示下列集合:(1)平面直角坐標(biāo)系中x軸上的點組成的集合;(2)曲線y=x2-4上的點組成的集合;(3)使函數(shù)

有意義的實數(shù)x組成的集合.解

(1){(x,y)|x∈R,y=0}.(2){(x,y)|y=x2-4}.(3){x|x≠1}.以下是兩位同學(xué)的答案,你認(rèn)為哪一個正確?請說明理由.學(xué)生甲:由

得x=0或x=1,故A={0,1};學(xué)生乙:問題轉(zhuǎn)化為求直線y=x與拋物線y=x2的交點,得到A={(0,0),(1,1)}.解

學(xué)生甲正確,學(xué)生乙錯誤.由于集合A的代表元素為x,這是一個數(shù),而不是點.因此滿足條件的元素只能為x=0,1;而不是實數(shù)對(0,0),(1,1),故學(xué)生甲正確.變式探究若把例3中的集合改為,哪位同學(xué)解答正確?解

代表元素是點,所以這是點集,學(xué)生乙正確.探究點二集合表示方法的選擇與轉(zhuǎn)換【例4】

[2024江西宜春開學(xué)檢測]試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?(1)由方程x2-9=0的所有實數(shù)根組成的集合;(2)由小于8的所有素數(shù)組成的集合;(3)一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6的圖象的交點組成的集合;(4)不等式4x-5<3的解集.解

(1)∵方程x2-9=0的實數(shù)根為-3,3,∴列舉法表示該集合為{-3,3}.(2)∵小于8的素數(shù)為2,3,5,7,∴列舉法表示該集合為{2,3,5,7}.∴列舉法表示該集合為{(1,4)}.(4)解不等式4x-5<3,得x<2,∴描述法表示該集合為{x|x<2}.規(guī)律方法

表示集合時,應(yīng)先根據(jù)題意確定符合條件的元素,再根據(jù)元素情況選擇適當(dāng)?shù)谋硎痉椒?值得注意的是,并不是每一個集合都可以用兩種方法表示出來.變式訓(xùn)練3用另一種方法表示下列集合:(1){絕對值不大于2的整數(shù)};(2){能被3整除,且小于10的正數(shù)};(3){-3,-1,1,3,5}.解

(1){-2,-1,0,1,2}.(2){3,6,9}.(3){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}.探究點三已知集合中元素個數(shù)求參數(shù)范圍【例5】

若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有1個元素,試求實數(shù)k的值,并用列舉法表示集合A.解

當(dāng)k=0時,原方程為-8x+16=0,解得x=2.此時集合A={2},滿足題意.當(dāng)k≠0時,要使關(guān)于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有兩個相等實根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此時方程的解為x1=x2=4,集合A={4},滿足題意.綜上所述,實數(shù)k的值為0或1.當(dāng)k=0時,A={2};當(dāng)k=1時,A={4}.變式探究1例5中,若集合A中含有2個元素,試求實數(shù)k的取值范圍.解得k<1,且k≠0.故k的取值范圍為{k|k<1,且k≠0}.變式探究2例5中,若集合A中至多有1個元素,試求實數(shù)k的取值范圍.解

①當(dāng)集合A中含有1個元素時,由例5知,k=0或k=1;②當(dāng)集合A中沒有元素時,方程kx2-8x+16=0無解,綜上,實數(shù)k的取值范圍為{k|k=0,或k≥1}.規(guī)律方法

1.解答與描述法有關(guān)的問題時,明確集合中代表元素及其共同特征是解題的切入點及關(guān)鍵點.2.本題因不能確定kx2-8x+16=0是否為一元二次方程,因而,需要分為k=0和k≠0兩種情況進行討論,從而做到不重不漏.3.解答集合與含有參數(shù)的方程的綜合問題時,一般要求對方程中最高次項的系數(shù)的取值進行分類討論,確定方程的根的情況,進而求得結(jié)果.需特別關(guān)注判別式在討論一元二次方程的實數(shù)根個數(shù)中的作用.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)用列舉法和描述法表示集合;(2)兩種表示法的綜合應(yīng)用;(3)區(qū)間.2.方法歸納:等價轉(zhuǎn)化.3.常見誤區(qū):點集與數(shù)集的區(qū)別.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)123456789A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點一]已知集合A={x|x(x+4)=0},則下列結(jié)論正確的是(

)A.0∈A

B.-4?A

C.4∈A

D.2∈AA解析

∵A={x|x(x+4)=0}={0,-4},∴0∈A.10111234567892.[探究點二]下列集合中,不同于另外三個集合的是(

)A.{0} B.{y|y2=0}C.{x|x=0} D.{x=0}D解析

由集合的含義知{0}={y|y2=0}={x|x=0},而集合{x=0}表示由方程x=0組成的集合,故選D.1011123456789AD解析

由

得k=3x=4y,將各個選項中的數(shù)對代入驗證,得A,D符合.故選AD.10111234567894.[探究點一、三]設(shè)集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,則a=

,此時集合A用列舉法表示為

.

-4{-1,4}解析

∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.10111234567895.[探究點三]已知集合A={x|2x+a>0},且1?A,則實數(shù)a的取值范圍是

.

{a|a≤-2}

解析

∵1?{x|2x+a>0},∴2×1+a≤0,即a≤-2.10111234567896.[探究點二]用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?(1)一年中有31天的月份的全體;(2)大于-3.5小于12.8的整數(shù)的全體;(3)梯形的全體構(gòu)成的集合;(4)所有能被3整除的數(shù)的集合;(5)方程(x-1)(x-2)=0的解集;(6)不等式2x-1>5的解集.1011123456789解

(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.(2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.(3){a|a是梯形}或{梯形}.(4){x|x=3n,n∈Z}.(5){1,2}.(6){x|x>3}.1011123456789B級關(guān)鍵能力提升練7.定義集合運算:A·B={z|z=x2(y-1),x∈A,y∈B}.設(shè)A={-1,1},B={0,2},則集合A·B中的所有元素之和為(

)A.0 B.1 C.2 D.3A解析

當(dāng)x=-1,y=0時,z=(-1)2×(0-1)=-1;當(dāng)x=-1,y=2時,z=(-1)2×(2-1)=1;當(dāng)x=1,y=0時,z=12×(0-1)=-1;當(dāng)x=1,y=2時,z=12×(2-1)=1.所以A·B={-1,1},所以A·B中所有元素之和為0.故選A.10111234567898.(多選題)下列關(guān)于集合的概念及表示正確的是(

)A.集合{y|y=2x2+1}與集合{(x,y)|y=2x2