新高考數學一輪復習 講與練第12講 導數的綜合應用（原卷版）

第12講導數的綜合應用學校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1、不等式恒成立(1)分離變量.構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.分類討論求參數：根據不等式恒成立求參數范圍的關鍵是將恒成立問題轉化為最值問題，此類問題關鍵是對參數分類討論，在參數的每一段上求函數的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內的函數值不滿足題意即可.雙變量恒成立含參不等式能成立問題(有解問題)可轉化為恒成立問題解決，常見的轉化有：(1)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)min.(2)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)max.(3)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)min.(4)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)max.2、利用導數研究函數的零點利用導數求函數的零點常用方法(1)構造函數g(x)，利用導數研究g(x)的性質，結合g(x)的圖像，判斷函數零點的個數.(2)利用零點存在定理，先判斷函數在某區(qū)間有零點，再結合圖像與性質確定函數有多少個零點.3、構造函數證明不等式(1)五個常見變形：xex＝ex＋lnx，eq\f(ex,x)＝ex－lnx，eq\f(x,ex)＝elnx－x，x＋lnx＝lnxex，x－lnx＝lneq\f(ex,x).(2)三種基本模式①積型：aea≤blnbeq\o(→,\s\up17(三種同構方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：aea≤（lnb）elnb……f（x）＝xex，,同右：ealnea≤blnb……f（x）＝xlnx，,取對：a＋lna≤lnb＋ln（lnb）……f（x）＝x＋lnx，))②商型：eq\f(ea,a)＜eq\f(b,lnb)eq\o(→,\s\up17(三種同構方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：\f(ea,a)＜\f(elnb,lnb)……f（x）＝\f(ex,x)，,同右：\f(ea,lnea)＜\f(b,lnb)……f（x）＝\f(x,lnx)，,取對：a－lna＜lnb－ln（lnb）……f（x）＝x－lnx，))③和差型：ea±a＞b±lnbeq\o(→,\s\up17(兩種同構方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：ea±a＞elnb±lnb……f（x）＝ex±x，,同右：ea±lnea＞b±lnb……f（x）＝x±lnx.))考點和典型例題1、不等式恒成立【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，則實數a的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，若對任意兩個不等的正實數SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，則實數a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-3】（2022·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0，若關于x的不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-4】（2022·全國·高三專題練習）設實數SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，則t的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-5】（2022·全國·高三專題練習）已知不等式SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，則實數a的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02、利用導數研究函數的零點【典例2-1】（2022·河南·模擬預測（理））已知函數SKIPIF1<0與函數SKIPIF1<0的圖象恰有3個交點，則實數k的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-2】（2022·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0與函數SKIPIF1<0的圖象有兩個不同的交點，則實數m取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-3】（2022·陜西·寶雞中學模擬預測）已知曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上有兩個公共點，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-4】（2022·江西·模擬預測（理））已知函數SKIPIF1<0）有三個零點，則實數a的取值范圍是（

）A．（0，SKIPIF1<0） B．（0，SKIPIF1<0） C．（0，1） D．（0，e）【典例2-5】（2022·浙江·赫威斯育才高中模擬預測）已知SKIPIF1<0，函SKIPIF1<0，若函數SKIPIF1<0有三個不同的零點，SKIPIF1<0為自然對數的底數，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03、構造函數證明不等式【典例3-1】（2021·重慶合川·高二階段練習）已知函數SKIPIF1<0(1)當SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0；(2)若函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有一個極值，求a的值．【典例3-2】（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學模擬預測）已知函數SKIPIF1<0(1)求證：函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一零點SKIPIF1<0；(2)若方程SKIPIF1<0有且僅有一個正數解SKIPI