新高考數(shù)學一輪復習 講與練第20講 數(shù)列綜合（解析版）

第20講數(shù)列綜合學校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.特殊數(shù)列的求和公式(1)等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))2.數(shù)列求和的幾種常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.(2)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.(3)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解.(4)倒序相加法如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.考點和典型例題1、分組轉(zhuǎn)化求和【典例1-1】（2022·江西·臨川一中模擬預測（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0為數(shù)列的前n項和，SKIPIF1<0（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．1011【答案】D【詳解】解：因為當SKIPIF1<0為奇數(shù)時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶數(shù)時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故選：D【典例1-2】（2022·江蘇常州·模擬預測）己知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0之間插入n個1，構(gòu)成數(shù)列SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前100項的和為（

）A．178 B．191 C．206 D．216【答案】A【詳解】解：數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個1，構(gòu)成數(shù)列SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，1，1，SKIPIF1<0，1，1，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以共有SKIPIF1<0個數(shù)，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：A．【典例1-3】（2022·河北滄州·二模）（多選）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【詳解】因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，選項SKIPIF1<0錯誤；又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，選項B正確；SKIPIF1<0SKIPIF1<0故C正確SKIPIF1<0，選項D正確.故選：BCD【典例1-4】（2022·湖北·襄陽五中二模）已知數(shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（1）記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=_________；（2）記最接近SKIPIF1<0的整數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________．【答案】

SKIPIF1<0

2550【詳解】依題意，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即有SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；2550．【典例1-5】（2022·海南省直轄縣級單位·三模）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)由（1）知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【典例1-6】（2022·湖北武漢·模擬預測）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．(1)求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．【解析】(1)因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．(2)由（1）得，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．2、裂項相消法求和【典例2-1】（2022·全國·哈師大附中模擬預測（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前5項和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0前5項和為SKIPIF1<0故選：D【典例2-2】（2022·安徽·合肥一六八中學模擬預測（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項互異，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．4【答案】C【詳解】由題意，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.【典例2-3】（2022·湖南·長沙縣第一中學模擬預測）已知等比數(shù)列{SKIPIF1<0}各項均為正數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為方程SKIPIF1<0(m為常數(shù))的兩根，數(shù)列{SKIPIF1<0}的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前2022項和為_________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】等比數(shù)列{SKIPIF1<0}中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為方程SKIPIF1<0的兩根SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列{SKIPIF1<0}的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴數(shù)列SKIPIF1<0的前2022項和SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.【典例2-4】（2022·廣東·模擬預測）已知函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若函數(shù)SKIPIF1<0的圖像與x軸恰好有SKIPIF1<0個不同的交點，則SKIPIF1<0_________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0周期為4，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)周期為4，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0個不同的交點，根據(jù)圖象知，直線SKIPIF1<0與第SKIPIF1<0個半圓相切，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.【典例2-5】（2022·重慶·模擬預測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為Sn，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．【答案】(1)an＝2n﹣13(2)5【解析】(1)由題意知（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝2，解得an+1﹣an＝2（n≥2），又a2﹣a1＝2，所以{an}是公差為2的等差數(shù)列，則an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣13；(2)由題知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以n的最大值為5．【典例2-6】（2022·四川·綿陽中學實驗學校模擬預測（文））已知SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項公式．(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.3、錯位相減法求和【典例3-1】（2022·全國·模擬預測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解:由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，符合上式，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作差得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．易知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A．【典例3-2】（2022·上?！つM預測）設(shè)SKIPIF1<0是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線SKIPIF1<0相切，對每一個正整數(shù)n，圓SKIPIF1<0都與圓SKIPIF1<0相互外切，以SKIPIF1<0表示圓SKIPIF1<0的半徑，已知SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為_________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0的傾斜角SKIPIF1<0，設(shè)圓SKIPIF1<0、SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的切點分別為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是以首項SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0的等比數(shù)列，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，則有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0兩式相減得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0．【典例3-3】（2022·江蘇·南京市天印高級中學模擬預測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)證明數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,由已知SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0,兩式相減得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,

因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以數(shù)列SKIPIF1<0是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0；(2)由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例3-4】（2022·山東煙臺·三模）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，1為公差的等差數(shù)列.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，①所以SKIPIF1<0，②①-②得，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0